数学课堂探究：用样本的频率分布估计总体的分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．对频率分布直方图的理解剖析:(1)频率分布直方图的纵坐标为eq\f（频率,组距），而不是eq\f（频数,组距）．（2）因为小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．(3)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1．（4）同样一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同．（5）同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同．但是,它们都可以近似地看做总体的分布．（6)从频率分布直方图中可以清楚地看出数据分布的总体趋势．(7)频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此它们会随样本的改变而改变．2．频率分布表、频率分布直方图与频率分布折线图的关系剖析：频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频率，以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小．在反映样本的频率分布方面，频率分布表比较准确，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用．频率分布折线图的优点是反映了数据的变化趋势．题型一样本的频率分布【例1】一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下：组别［0,10)[10，20）［20，30)［30,40)［40，50）[50，60)［60，70］频数1213241516137则样本数据落在［10，40)上的频率为（)A．0．13B．0．39C．0．52D．0．64解析：样本数据落在［10,40)上的频数为13＋24＋15＝52，故其频率为eq\f(52,100）＝0．52．答案：C此范围上的频率为频数除以样本容量，注意频数之和应为样本容量,频率之和为1．题型二频率分布直方图的识读与应用【例2】图1是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入（单位:元)在［1000,1500），［1500，2000),［2000,2500)，［2500，3000)，[3000，3500),［3500，4000)的人数依次为A1，A2，…，A6．图2是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n＝__________，输出的S＝__________．(用数字作答）图1图2解析:∵月收入在[1000，1500）的频率为0．0008×500＝0．4，且有4000人，∴样本的容量n＝eq\f(4000，0.4）＝10000．由图2知输出的S＝A2＋A3＋…＋A6＝10000－4000＝6000．答案：100006000反思本题是把统计图表和程序框图结合起来的一类综合问题,对于频率分布直方图的识读，最主要的是把握好频率＝eq\f(频数,样本容量）这一核心关系，再者每个矩形的面积等于相应组的频率，各组的频率和等于1，也就是各小矩形的面积的和等于1．题型三茎叶图的制作与识读【例3】某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A．将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25公顷，所得每公顷产量数据(单位：千克)如下：品种A：357，359,367，368，375,388,392，399,400,405,412,414,415,421，423，423,427，430，430,434,443,445，445,451，454品种B：363,371,374,383,385，386,391,392,394，394，395,397，397,400，401，401,403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）试用茎叶图表示两个品种每公顷的产量．（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？解：(1)（2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况,便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．反思茎叶图在样本数据较少、较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布,还可以用来分析样本数据的一些数字特征，用以判断数据的稳定程度．题型四频率分布直方图的实际应用【例4】某校为庆祝“五一劳动节”,进行模具制作评比，作品上交时间为5月1日至31日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图（如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1）本次活动共有多少件作品参加评比？(2）哪组上交的作品数最多?有多少件？（3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高?解：（1）依题意知第三组的频率为eq\f（4,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝eq\f(1，5)．又因为第三组的频数为12,所以本次活动的参评作品有eq\f(12,\f(1,5))＝60(件)．(2)根据题中频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×eq\f(6，2＋3＋4＋6＋4＋1)＝18(件)．（3)第四组的获奖率是eq\f(10,18）＝eq\f（5,9），第六组上交的作品数量为60×eq\f（1，2＋3＋4＋6＋4＋1)＝3（件)，所以第六组的获奖率为eq\f(2,3)＝eq\f(6，9)，显然第六组的获奖率较高．反思(1）在频率分布直方图中,组距是一个固定值,所以各长方形高的比就是各组上交作品的频率比．（2）每组上交的作品数量等于总容量乘各组作品占总容量的比例．(3)通过频率分布直方图传递信息、掌握信息是关键．题型五易错辨析【例5】观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在［2700，3000)g内的频率为()A．0