浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=xx2−2x−3≤0，A．1,3 B．1,3 C．−1,1 D．−1,12．已知复数z满足z=−zi（i为虚数单位），且z=A．2i B．−2i C．2+2i3．已知随机变量X1，X2分别满足二项分布X1~B(n1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若0<x<12，则A．3+22 B．6 C．425．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg2≈0.3A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时6．已知定义在R上的函数fx满足sinA．fπ3<3fπ6 B．7．已知数列an，bn满足a1=b1=1A．2n−1 B．C．2n+12 8．已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=23，二面角D−AB−C的大小为23πA．40π B．52π C．72π D．84π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知平面向量a=3,1A．若a∥b，则x=−33 B．若C．若a+b=7，则x=0 10．已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠DAB=π3，A1A．OA,B．OA,C．直线OP//平面CD．向量CP在平面AB111．已知函数fx=cosA．将函数y=fx的图象右移π12个单位可得到函数B．将函数y=fx的图象右移π6个单位可得到函数C．函数y=fx与y=gx的图象关于直线D．函数y=fx与y=gx的图象关于点12．（多选）已知数据x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，若去掉x4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记x1，xA．xB．xC．sD．s三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．直线y=3的倾斜角是14．已知二项式1+2xn的展开式中含x2的项的系数为84，则n=15．位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=70°，∠BDC=30°，CD=108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为米.（结果保留整数，参考数据：cos80°≈0.17416．已知点P是双曲线C：x2a2−y2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，b=8，角C为锐角，已知△ABC的面积为47（1）求c；（2）若CD为AB上的中线，求∠BDC的余弦值.18．已知Sn为公差为2的等差数列an的前n项和，若数列（1）求an（2）求数列S2n的前19．已知直三棱柱ABC−A1B1C1，AB=AC=12A（1）证明：平面BDA⊥平面ECA（2）若点B1到平面ECA1的距离为47，求直线20．已知点F1，F2为椭圆C：x22+y2=1的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足F1（1）当k=1时，求PF（2）记△PF1G，△QF2G的面积分别为21．我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据α=0.05的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求PB参考公式与数据：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82822．定义满足fx0=f'x0（1）证明：对于∀a∈R，函数y=fx（2）设x0为函数y=fx的然点，判断函数

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由不等式x2−2x−3≤0，可得x+1x−3≤0，

解得：由不等式3x−1≤1，可得3x−1−1≤0，即3−x+1x−1≤0，即x−1x−4≥0x≠1，

故答案为：D.【分析】先解不等式求集合A,B，再根据集合的交集的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设复数z=a+bi，a,b∈R，则z=a−bi因为复数z满足z=−zi，所以a+bi=−a−bi×i⇒a+b+a+bi=0⇒a=−b，

又因为z=所以z=1−i或z=−1+i，则z2=1−i故答案为：B.【分析】设复数z=a+bi，结合共轭复数的定义以及复数相等的充要条件、复数的模公式求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：因为X1~B(所以D(X所以n1>n若D(X1)>D(所以“n1>n故答案为：C.【分析】本题考查二项分布的方差，利用二项分布的方差公式D(x)=np(1-p)可求出D(X4．【答案】A【解析】【解答】解：因为0<x<12，所以1−2x>0，且则1x当且仅当1−2xx=2x1−2x时，即x=2−故答案为：A.

【分析】由题意可得：1−2x>0，2x+(1−2x)=1，利用配凑法，结合基本不等式求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x分钟，由题意可得：1⋅2x23则x=4×23lg2故答案为：C.【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x分钟，由题意列等式，化简结合对数的运算性质求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：构造函数Fx=f求导可得F'x=f'xcos则Fx=f故Fπ6<F故答案为：B.【分析】构造函数Fx=fxcos7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：an+1因为an+1=an+bn故数列an的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且公比为2由a1=b1=1，可得a其中奇数项的通项公式为an偶数项的通项公式为an故数列an的通项公式为a故答案为：D.【分析】根据已知递推关系，求得an+2an=2，即数列an8．【答案】B【解析】【解答】解：记AB中点E，连接CE,DE，如图所示：

因为△ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=23，所以AB⊥CE,AB⊥DE，所以二面角D−AB−C的平面角为∠CED=2取三角形ABC的外心O1，设外接球的球心为O，则OO1且OA=OB=OC=OD=r，其中r为四面体ABCD外接球的半径，过点D作DG垂直平面ABC，垂足为点G，由对称性可知点G必定落在O1E的延长线上，如图所示：设DF=x，由正弦定理可得：C1O=12×由勾股定理可得：DE=2故EG=DE⋅cosπ−∠CED=DE⋅OO1=FG=由OD=OC=r，可得r2=12+3故四面体ABCD的外接球的表面积为4πr故答案为：B.【分析】根据题意，画出几何图形，找出外接球球心的位置，利用OD=OC=r以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径，代入球的表面积公式求解即可.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：平面向量a=3,1，b=x,−3，

A、若aB、若a⊥b，则3x+1×C、若a+b=7，则a⃗D、若a,b=5π6故答案为：ABD.【分析】根据向量共线定理求解即可判断A；根据向量垂直，向量的数量积为0，求解即可判断B；根据向量的模公式求解即可判断C；根据向量的夹角公式求解即可判断D.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：四棱柱ABCD−A1BA、易知BD=B1D1，则向量OA→,B1B、两个向量OA,OD都在平面OAD，显然直线AB与平面OAD是相交关系，AB不与平面故OA⃗C、由于BD//B1D1，AB1//DC1从而有平面AB1D1//平面C1BD，且OP⊂D、取AB,OC=OCOA=其中OC⋅因为底面ABCD为菱形，且∠DAB=π3，A1得AD2=AB2，AA1⋅AB其中OC⋅OA=[1所以OC⋅OA=0，即OC因为OC⊥B1D1，OC⊥OA，且B1D1⊂平面所以OC⊥平面AB1D1，所以向量CP在平面故答案为：BCD.【分析】易知BD=B1D1，容易判断OA⃗,B1D1⃗,AB1⃗11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：AB、函数gx=sin2x+则将函数y=fx的图象右移π12个单位可得到C、由A选项可知，gx=fx−π12，则函数y=fD、若函数y=fx与y=gx的图象关于点则在y=fx上取点Ax1,y1关于所以y1=cos故答案为：ACD.【分析】先将函数y=gx化为gx=cos212．【答案】A,C【解析】【解答】解：由x1<x2<x3<x4<x5由s==>14故答案为：AC.【分析】由题意，根据去掉x4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，列出不等式变形化简即可判断AB；根据方差公式作差后变形，再利用x13．【答案】0【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为α∈0,π，易知直线y=3的斜率为0，则tanα=0则直线y=3故答案为：0.【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可.14．【答案】7【解析】【解答】解：二项式1+2xn展开式的通项为：Tr+1=Cnr2xrr=0,1，2，⋯，n，

因为该项的系数为84，所以2n(n−1)=84，即n2−n−42=0，解得故答案为：7.【分析】写出二项展开式的通项，根据通项公式求解即可.15．【答案】310【解析】【解答】解：设AB=h米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，所以∠BCA=80°，

在△ABC中，ABBC=tan在△BCD中，因为∠BCD=70°，∠BDC=30°，

所以∠CBD=180°−70°−30°=80°，由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin即h=BCtan故答案为：310.【分析】设AB=h米，在△ABC中，求得h=BCtan80°，在△BCD中利用正弦定理求出16．【答案】6【解析】【解答】解：由双曲线C：x2a2−y2b2=1a,b>0与圆设点P关于双曲线C的渐近线y=−bax的对称点为Q，则Q恰好在y且OQ=OP=由点P与点Q关于渐近线y=−bax对称，所以直线PQ所以33b+a2+则e=ca=故答案为：62【分析】由题意，联立双曲线与圆的方程，求得点P的坐标，再求得其对称点Q的坐标，根据kPQ⋅−17．【答案】（1）解：因为△ABC的面积为47，所以1又因为a=4，b=8，所以sinC=74，由角C根据余弦定理可得c2=a（2）解：因为CD为AB上的中线，所以CD=则CD⃗=14b则cos∠BDC=【解析】【分析】（1）由题意，根据三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；（2）因为CD为AB上的中线，所以CD=12（1）由△ABC的面积为47可得：1因为a=4，b=8，解得：得sinC=由角C为锐角得cosC=故c2=a（2）因为CD为AB上的中线，所以CD=所以CD2=1解得：CD=4故cos∠BDC=18．【答案】（1）解：因为Sn为公差为2的等差数列an的前n项和，所以Sn=na1+nn-1，an=a故an（2）解：由（1）得Sn=n故数列S2n的前n项和为【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得2⋅S2a2=S1（2）由（1）得Sn=n2+n（1）因为数列Snan因为Sn为公差为2的等差数列an的前则2⋅2a1故an（2）由（1）得Sn=n故数列S2n的前n项和为19．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，AB⊥AC，AA1⊥平面ABC，以A为原点，AB，AC，A则A10,0,4，B2,0,0，B12,0,4则BD=−2,2,1，AB=设BE=t，则E2,0,t，设平面BDA和平面ECA1的法向量分别为则n1⋅BD=−2xn2⋅EC=−2x因为n1⋅n2=0（2）解：设点E2,0,t，由A1C=0,2,−4，A由A1B1=2,0,0得点B1到平面由BD=−2,2,1，n=43,4,2得，直线【解析】【分析】（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDA和平面ECA（2）设出E点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点E坐标，再代入线面角的向量公式求解即可.20．【答案】（1）解：根据题意，作出图形，如图所示：设点Px1,y1当k=1时，直线PF1的方程为：x22+由韦达定理可得：x1则x1即PF（2）解：直线PF1的斜率为kk>0，设直线P联立x22+由韦达定理可得：y1S1=1当且仅当1k=2k，即k=22时等号成立，故【解析】【分析】（1）由题意作出图形，易知F11,0，根据椭圆的性质可得（2）设直线PF1的方程为：x=yk−1（1）设直线PF1与椭圆的另一个交点为Q'，由椭圆的对称性得Q设点Px1,因为C：x22+y2所以当k=1时，直线PF1的方程为：联立直线y=x+1与椭圆x2+2y