数学自我小测：复数的乘法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．设复数z1＝1＋i,z2＝x＋2i（x∈R），若z1z2∈R,则x等于(）A．－2B．－1 C．1D．2．集合M＝｛x｜x＝in＋1，n∈N}的真子集的个数是(）A．1B．15C．3D3．设z的共轭复数是eq\x\to(z），若z－eq\x\to(z)＝4i，z·eq\x\to（z)＝8，则z＝（)A．－2－2iB．2＋2i C．－2＋2iD．2＋2i或－2＋2i4．已知z＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r（2)））)2015＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1－i,\r(2）))）2015，则下列结论正确的是(）A．z为虚数B．z为纯虚数 C．z为有理数D．z为无理数5．z1，z2是复数，且zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2）＜0，则正确的是（)A．zeq\o\al(2，1)＜－zeq\o\al(2,2）B．z1，z2中至少有一个是虚数C．z1，z2中至少有一个是实数D．z1，z2都不是实数6．已知(a－i）2＝2i,则实数a＝__________。7．复数（1＋ai)（2－i)的实部与虚部相等，则实数a＝________。8．(1＋i)2016＋（1－i)2016的值是________．9．已知z1，z2∈C，且z1·z2≠0，A＝z1·eq\x\to（z2）＋eq\x\to（z1)·z2，B＝z1·eq\x\to(z1）＋z2·eq\x\to（z2)，问A，B可否比较大小？并说明理由．10．设等比数列{zn}，其中z1＝1，z2＝a＋bi，z3＝b＋ai（a,b∈R，且a＞0）．（1)求a，b的值;（2）求z8的值．参考答案1．解析：∵z1z2＝(1＋i)（x＋2i)＝(x－2）＋(x＋2）i，又∵z1，z2∈R，∴x＋2＝0，∴x＝－2.答案：A2．解析:当n∈N时，x＝in＋1的值只有i，－i,1，－1，故M中有4个元素,所以M一共有24－1＝15个真子集．答案：B3．解析:设z＝x＋yi（x,y∈R），则eq\x\to（z)＝x－yi，依题意有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋yi－x－yi＝4i，，x＋yix－yi＝8，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2yi＝4i，,x2＋y2＝8，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝2。))即z＝2＋2i或－2＋2i.答案：D4．解析:z＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1＋i，\r（2））））2014·eq\f(1＋i,\r(2)）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1－i,\r(2))))2014·eq\f(1－i，\r(2)）＝i1007·eq\f（1＋i,\r(2))＋（－i)1007·eq\f（1－i,\r（2）)＝－i·eq\f（1＋i,\r(2）)＋i·eq\f(1－i,\r(2)）＝eq\f（2,\r（2))＝eq\r（2)，故z是无理数．答案:D5．解析:取z1＝2，z2＝4i，则zeq\o\al(2，1)＋zeq\o\al（2，2)＝22＋(4i)2＝4－16＜0，这时满足条件，但z1∈R，所以D错，又当z1，z2均为实数时，显然不满足条件,所以C错；取z1＝3＋4i，z2＝2－6i，则zeq\o\al（2,1）＋zeq\o\al(2，2）＝（3＋4i)2＋(2－6i）2＝（－7＋24i)＋(－32－24i)＝－39＜0，但这时不能有zeq\o\al(2，1）＜－zeq\o\al(2，2),故A错．答案：B6．解析：由题意，a2－1－2ai＝2i，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,,－2a＝2，)）∴a＝－1。答案:－17．解析：(1＋ai)(2－i)＝(2＋a）＋(2a－1）i,依题意应有2＋a＝2a－1，解得答案：38．解析：（1＋i)2016＝[（1＋i）2］1008＝(2i）1008＝21008·i1008＝21008·i4×252＝21008，同理（1－i）2016＝［（1－i）2］1008＝（－2i）1008＝21008·i1008＝21008。于是原式＝21008＋21008＝21009.答案：210099．解：因为A＝z1·eq\x\to（z2)＋eq\x\to（z1)·z2,故eq\x\to（A）＝z2·eq\x\to(z1）＋z1·eq\x\to(z2）＝A，即A∈R,而B＝z1·eq\x\to(z1）＋z2·eq\x\to(z2)＝｜z1｜2＋｜z2｜2∈R，所以A，B可以比较大小，且有A－B＝z1·eq\x\to(z2)＋z2·eq\x\to（z1)－(z1·eq\x\to(z1)＋z2·eq\x\to(z2））＝z1(eq\x\to（z2)－eq\x\to(z1))＋z2（eq\x\to（z1)－eq\x\to(z2））＝－(z1－z2)(eq\x\to(z1－z2))＝－|z1－z2｜2≤0,故有A－B≤0,即A≤B。10．解：（1)∵z1,z2,z3成等比数列，∴zeq\o\al（2,2)＝z1z3,即（a＋bi)2＝b＋ai，a2－b2＋2abi＝b＋ai，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2－b2＝b，,2ab＝a，))(a＞0)，解得a＝eq\f（\r（3）,2)，b＝eq\f(1，2）.（2）∵z1＝1，z2＝eq\f（\r（3),2）＋eq\f(1，2)i,∴公比q＝eq\f(\r(3），2）＋eq\f（1，2)i，于是zn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3），2）＋\f(1，2)i))n－1,∴z8＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3）,2）＋\f（1,2）i))7＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,2）＋\f(1，2)i)）2·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),2)＋\f（1,2）i）)5＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＋\f(\r(3），2)i)）3·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r（3），2）＋\f（1,2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1