2025年新高考数学一轮复习第3章重难点突破09导数中的“距离”问题(八大题型)(学生版+解析)

重难点突破09导数中的“距离”问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：曲线与直线的距离 2题型二：曲线与点的距离 3题型三：曲线与圆的距离 3题型四：曲线与抛物线的距离 4题型五：曲线与曲线的距离 4题型六：横向距离 5题型七：纵向距离 6题型八：直线与两曲线交点的距离 703过关测试 8

导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（

）A．3 B． C． D．3或【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（

）A． B．6 C．8 D．12【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或3【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（

）A． B．8 C．4 D．16题型二：曲线与点的距离【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为.题型三：曲线与圆的距离【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为．【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知且，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(

)A． B．9 C． D．【变式3-2】若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为．【变式3-3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1 C． D．题型四：曲线与抛物线的距离【典例4-1】设，当a，b变化时，的最小值为_______.【典例4-2】设.，则的最小值为A． B．1 C． D．2【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．题型五：曲线与曲线的距离【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.【典例5-2】设，，则的最小值为．【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为.【变式5-2】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为.【变式5-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为．【变式5-5】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A． B．C． D．【变式5-6】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．题型六：横向距离【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，的图象与直线y=m分别交于A、B两点，则（）.A．B．，曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交C．的最小值为1D．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为．【变式6-1】已知直线，分别与直线和曲线交于点M，N两点，则线段MN长度的最小值是．【变式6-2】直线分别与曲线，直线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式6-4】已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【变式6-5】已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．题型七：纵向距离【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：①，使得；②当时，取得最小值；③的最小值为2；④最小值小于．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例7-2】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为A． B．2 C． D．【变式7-1】动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型八：直线与两曲线交点的距离【典例8-1】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．e【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线分别与直线及曲线交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（

）A． B． C． D．1．已知直线与曲线和直线分别交于P，Q两点，则的最小值为．2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（

）A． B．2 C． D．44．已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．6．若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．7．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．8．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．9．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．10．若点，，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．211．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．13．已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．1014．（2024·新疆·二模）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．15．（2024·全国·模拟预测）已知，，的最小值为（

）A． B．2 C． D．16．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．17．（2024·山东·模拟预测）若，，，求的最小值为（

）A． B． C． D．18．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.20．（2024·河北石家庄·一模）若实数满足，则的最小值为．21．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为．22．（2024·江西·一模）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为．23．（2024·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为．24．（2024·广东佛山·一模）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为.25．已知函数的最小值是，则的值是重难点突破09导数中的“距离”问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：曲线与直线的距离 2题型二：曲线与点的距离 7题型三：曲线与圆的距离 8题型四：曲线与抛物线的距离 12题型五：曲线与曲线的距离 14题型六：横向距离 19题型七：纵向距离 23题型八：直线与两曲线交点的距离 2603过关测试 28

导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【解析】表示点与点的距离的平方，点在曲线上，点在曲线上，如图，可得，设与平行的直线与曲线相切于点，．，，①点与点的距离的平方的最小值等于点，到直线的距离．，②结合①②得，，或，.故选：D.【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方.∵∴∵直线的斜率为1∴令，解得，则，即曲线在处的切线和直线平行，则最短距离为点到的距离，∴的最小值为故选：B【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减．由，所以，易得函数为在上单调递增函数，为零点，此时M的坐标为，由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.故选:【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当函数在点处的切线与平行时，最小.，令得或（舍），所以切点为，所以的最小值为切点到直线的距离，所以的最小值为.故选：D.【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（

）A． B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】由题意，设函数，直线，设直线与函数的切点为可得，可得，解得，可得，即切点坐标为，则切点到直线的距离为，又因为表示点到直线的距离为平方，所以的最小值为.故选：C.【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或3【答案】A【解析】因为，令，解得，而，则函数的图象在点处的切线方程为，则，即点到直线的距离为，所以，解得或，当时，与函数的图象相交，所以.故选：A.【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】由，得，令，则，令得，当时，单调递减，当时，单调递增；由，得，令，的图像如下图：则表示上一点与上一点的距离的平方，显然，当过M点的的切线与平行时，最小，设上与平行的切线的切点为，由，解得，所以切点为，切点到的距离的平方为，即的最小值为8；故选：A.【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【解析】由得，，，即，，的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，显然直线与直线的距离的平方即为所求，由，得，设切点为，，则，解得，直线与直线的距离为，的最小值为8．故选：B.题型二：曲线与点的距离【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，记，，易知是增函数，且的值域是，∴的唯一解，且时，，时，，即，由题意，而，，∴，解得，．∴．故选：C．【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为.【答案】【解析】设点的坐标为，对函数求导得，由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，得，由两点间的距离公式得，由于的最小值为，即，，解得，因此，.故答案为：题型三：曲线与圆的距离【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为．【答案】【解析】由题意得，即圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，设，由于与关于对称，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，最小值为，故的最小值为，则的最小值等于.故答案为：【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知且，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【解析】代数式可以看成点到点距离的平方，点在平面直角坐标系中，表示单位圆上的点，点表示曲线上的点，如下图所示：

，由，所以曲线在点处的切线方程为：，此时直线与直线垂直于点，交圆于点，由数形结合思想可以确定：当点运动到点时，当点运用到点时，有最小值，即，故选：B【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(

)A． B．9 C． D．【答案】C【解析】由可得在以为圆心，1为半径的圆上，表示点与点的距离的平方，即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得，即有，由在时递增，且，可得m＝1，即切点为，圆心与切点的距离为，由此可得的最小值为．故选：C．【变式3-2】若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为．【答案】/【解析】设圆的圆心为，半径为，当垂直于抛物线在点处的切线时，取得最小值，为，如图所示，设点，则直线的斜率为，且，由知，，所以在点处的切线的斜率为，因为直线与切线垂直，所以，所以，所以，即，因为恒成立，所以，即，此时，所以，即的最小值为．故答案为：．【变式3-3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．设图象上一点，令图象上一点的切线为由的导数为，即切线的斜率为，当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，此时，即有，由，可得，递增，又，所以，，所以点到点的距离最小，且为，则线段的长度的最小值为，故选：A．题型四：曲线与抛物线的距离【典例4-1】设，当a，b变化时，的最小值为_______.【答案】.【解析】，函数表示点和的距离加上的纵坐标，画出和的图像，如图所示：故，当共线时等号成立.设，则，，当时，，故，函数单调递增；当时，，故，函数单调递减.，故.综上所述：的最小值是.故答案为：.【典例4-2】设.，则的最小值为A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，容易知道图象是抛物线图象的上半部分，记抛物线焦点为，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：则，当且仅当在线段上时，取最小值.设这时点坐标为，又，所以有，解得，即该点为，所以，因此.故选：A.题型五：曲线与曲线的距离【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.【答案】【解析】由于曲线是由向右平移1个单位得到的，是由现右平移1个单位得到的，所以的最小值可以看成曲线上的点与上的点间的最小值，因为与互为反函数，其图象关于直线对称，所以所求的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的2倍，设与直线平行的直线与曲线相切于点，因为，由，得，所以切点，所以点到直线的最小距离为，所以的最小值为，故答案为：【典例5-2】设，，则的最小值为．【答案】【解析】由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离，而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称，所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离，显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离，对于，设切点为，有，则，故，则，故，对于，设切点为，有，则，故，则，故，所以，所以题设式子的最小值为.故答案为：.【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为.【答案】【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴.故答案为：.【变式5-2】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为.【答案】/【解析】由，得：，.所以与互为反函数．则它们的图象关于对称．要使的距离最小，则线段垂直直线.点在曲线上，点Q在曲线上，设，.又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线的最短距离所以当，即时，d取得最小值，则的最小值等于.故答案为：【变式5-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【解析】由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得：；由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得；由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..故答案为：.【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为．【答案】【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又，在定义域上分别单调递增、单调递减，所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，设动点，，当且仅当满足：时，取得最小值，由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组，，所以，，所以的最小值为．故答案为：.【变式5-5】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称先求出曲线上的点到直线的最小距离．设与直线平行且与曲线相切的切点，．，，解得．．得到切点，点P到直线的距离．最小值为．故选：B．【变式5-6】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，又，即点在函数的图象上，所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍，由，则，函数在点处的切线斜率为，令，解得，，所以点到直线距离的最小值为，所以这，两点之间距离的最小值为.故选：D【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为与互为反函数，所以其图象关于直线对称，先求出曲线上的点到直线的最小距离，该距离的2倍即为所求.设与直线平行且与曲线相切的直线切点为，因为，所以，解得，所以，即切点为，点P到直线的距离，所以线段的最小值为.故选：B题型六：横向距离【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，的图象与直线y=m分别交于A、B两点，则（）.A．B．，曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交C．的最小值为1D．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线【答案】ACD【解析】设A、B的横坐标分别为x1，x2，则由于，故，故A正确；当时,,所以曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线斜率相等，两切线不相交，故B错误；,设则,是单调递增函数，且,所以在上单调递减，在上，单调递增，所以,故C正确；曲线在点A处的切线方程为,若此切线同时也是曲线的切线，可设切点为,则,消去得,设,,因为的图象是连续的，所以至少有两个零点（可以证明恰有两个零点，因与本题结论无关，在此从略），故有解，进而得到的值是存在的且大于零的，故D正确.故选：ACD.【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为．【答案】【解析】，设与平行的的切线的点为，则切线斜率为，切线方程为，则与，被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段的最小值，因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，可得，线段的最小值，故答案为.【变式6-1】已知直线，分别与直线和曲线交于点M，N两点，则线段MN长度的最小值是．【答案】【解析】设与平行且与相切的直线的切点为，因为，，切点为，切线方程为，即，长度的最小值就是被与截得的弦长，则有，故答案为：.【变式6-2】直线分别与曲线，直线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则，又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，由曲线，得，所以切点为，可求得点到直线的距离最小值为故，故选：C【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，直线与直线的交点，直线与曲线交点，满足，则，设，，则，由，得；，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，故选：B．【变式6-4】已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因为直线分别与曲线和曲线交于两点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，设，则，因为函数在上都为增函数，所以函数在为增函数，又，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：A.【变式6-5】已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因为函数的图像与直线分别交于两点，所以，，其中，且，所以，令，则，令得：；所以易得：时，；时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，即的最小值为.故答案为：B.题型七：纵向距离【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：①，使得；②当时，取得最小值；③的最小值为2；④最小值小于．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由直线与两曲线分别交于两点可知：曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.令，则，令，，由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.是对勾函数，在上是减函数，，故③错误，④正确.故选：C【典例7-2】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.直线分别与曲线和曲线交于，两点，设，，且，，，．，，，令解得，（舍），当时，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增．所以，综上可知的最小值为．故选：D.【变式7-1】动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，当时，，当，，所以在上递减，在上递增，所以当时取得最小值，所以的最小值为，故选：A【变式7-2】已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，当时，，当，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故选：D.题型八：直线与两曲线交点的距离【典例8-1】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【解析】设与直线垂直，且与相切的直线为，设与直线垂直，且与相切的直线为，所以，，设直线与的切点为，因为，所以，解得，，即，设直线与的切点为，因为，所以，解得，，即，此时，所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.故选：B【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】令，则，时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．所以直线在曲线的上方，由，则，由，则，则．令，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，．故选：C．【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线分别与直线及曲线交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，由，得，，，，则，，则，在上递减，在上递增，，即两点间距离的最小值为，故选：D.1．已知直线与曲线和直线分别交于P，Q两点，则的最小值为．【答案】4【解析】设点P到直线的距离为d，则，所以当点P到直线的距离最小时最小，又当曲线在点P处的切线与直线平行时d最小，所以此时最小，设，因为函数的定义域为，，令，解得或（舍去），所以切点为，点P到直线的距离，所以的最小值为4，故答案为：4.2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为，则，解得，所以切点为，代入切线方程，可得，即切线为，由两平行线间的距离，所以最小值为，故选：C．4．已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函数的定义域为全体正实数，，当时，单调递增，当时，单调递减，函数图象如下图：过点的曲线的切线与直线平行时，最小，即有，所以，故选：A5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：D6．若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由题意知，则在点处的切线斜率为，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，由，得，则，所以点到直线的距离.所以动点到直线的距离的最小值为.故选：A7．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】与互为反函数，它们图像关于直线对称；故可先求点P到直线的最近距离d，又，当曲线上切线的斜率时，得，，则切点到直线的距离为，所以的最小值为．故选：D．8．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，设，则，令得，则当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以与无交点，则与也无交点，下面求出曲线上的点到直线的最小距离，设与直线平行且与曲线相切的切点，，，，解得，，得到切点，到直线的距离，的最小值为，故选：D．9．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C10．若点，，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行，直线与之间的距离为的最小值，故选：B11．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，则点在函数上，，则点在函数上，则表示、两点的距离的平方，要求的最小值，即求的最小值，当过的点切线与直线平行时，点到直线的距离即为的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距离，即，所以的最小值为；故选：C12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，点是函数图像上一点，点是直线上一点函数的导函数为，所以其图像上一点处切线的斜率为当过点的切线与直线平行时，点与点之间的距离最小且两点间的距离可转化两平行线之间的距离此时有，，从而可得此时函数图像上过点的切线方程为化简为，其与直线间的距离为所以的最小值为.故选：C.13．已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为实数a，b，c，d满足：，所以，.所以点在曲线上，点在上.所以的几何意义就是曲线上的任一点到上的任一点的距离的平方.由几何意义可知，当的某一条切线与平行时，两平行线间距离最小.设在点处的切线与平行，则有：，解得：，即切点为.此时到直线的距离为就是两曲线间距离的最小值，所以的最小值为.故选：B14．（2024·新疆·二模）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，则的最小值即为曲线的点到直线的距离最小值的平方，设，则，令，解得，，曲线与平行的切线相切于，则所求距离的最小值为点到直线的距离的平方，即.故选：D.15．（2024·全国·模拟预测）已知，，的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B