湖北省武汉市青山区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

青山区2023—2024学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷本试卷满分120分考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这个事件是（

）A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件2．下列图形中是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．解一元二次方程，配方后正确的是（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．5．已知的半径是，点P是直线l上一点，且．那么直线l与的公共点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无法确定6．已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值（

）A．2 B． C． D．7．如图，在中，，边在x轴上，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（

）A． B． C． D．8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车直行的概率为（

）A． B． C． D．9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（

）A．20m B．30m C．40m D．50m10．抛物线与x轴交于A，B两点，D是以为圆心，2为半径的上一动点，E为中点，则线段的长可能为（

）

A．1 B．2.5 C．4 D．5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．11．点P（2，-1）关于原点成中心对称的点Q的坐标是.12．某篮球运动员在罚球线上投篮的结果如下表所示：投篮次数50100150200250300500投中次数m286078104123152251投中频率0.560.600.520.520.490.510.50那么估计这名篮球运动员投篮一次投中的概率是（结果精确到0.01）．13．某商品原售价为5000元/吨，经过连续两次降价后，现售价为3000元/吨．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，列出方程为：．14．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是m．15．已知抛物线经过点，且满足．下列四个结论：①抛物线的对称轴是；②b与c同号；③若，则不等式的解集；④抛物线上的两个点，，当，且时，．其中一定正确的是．（填写序号）16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．18．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，求证：．19．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．(1)随机抽取1张卡片，则取出的卡片上数字为偶数的概率为______．(2)若一次性抽取两张卡片，请用画树状图法或列表法求两张卡片上的数字和为奇数的概率．20．如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，．(1)求证：为的切线；(2)延长交于点E，连接，若且，求的半径．21．如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，点D为与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．(1)画圆心O，并过点B作的切线BE；(2)作弦，并在上画点G，使．22．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）．(1)若．①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；(2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．23．已知为两对角线的交点，直线过顶点，且绕点顺时针旋转，过点，分别作直线的垂线，垂足为点，．(1)如图1，若直线过点，求证：；(2)如图2，若，，求的度数；(3)如图3，若为菱形，，，，直接写出的长．24．已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出点A、B、C的坐标；(2)如图1，过点A作直线交抛物线于点P，连接、，若，求点P的坐标；(3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，若，求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标．

参考答案与解析

1．A2．C3．D4．D5．C6．D7．C8．C9．C10．B11．(-2,1)12．0.5013．14．15．①②④16．##17．，解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得，，∴方程为，∴解得：．18．见解析证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，∴，．∵B，C，E三点在同一直线上，∴，∴为等边三角形，∴．∴，∴．19．(1)(2)（1）解：∵有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，∴偶数卡片为，∴设取出的卡片上数字为偶数的结果为事件A．∴；（2）解：根据题意列表如下：，由上表可知，一次性抽取两张卡片，有20种等可能的结果，其中“两张卡片上数字和为奇数”的结果有12种．∴P（两张卡片上数字和为奇数）．20．(1)见解析(2)（1）解：连接，，在和中，，∴，∴，∴，又∵为半径，∴为的切线；（2）解：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，设，，则，，，在和中，和，即，解得：，∴的半径为．21．(1)见解析(2)见解析（1）解：∵过格点A，B，C，点D为与格线交点，∴取格点上的点A，B，H，C，连接，相交于点，即为圆心，∵直径的纵横比为，化简纵横比可为，即切线纵横比应为，∴取格点，连接交点即为点，连接即为切线，如下图所示：（2）解：连接，用无刻度直尺平移至点A画直线交于点，连接，作交于点，则，∴，22．(1)①4m；②，；(2)（1）解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，，∴抛物线的顶点在直线上移动，∵抛物线，∴，∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m，∴此时抛物线与轴交点为，∴根据对称性：，∴该球在运行过程中离地面的最大高度为；②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，∴由（1）知：，即：，∴解得：，，∴该球运行路线的解析式为：，∴令，则，解得：或（舍），∴此球落地点离发球机的水平距离为；（2）解：若，∴，∴，整理得：，∴，∵篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，又∵距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，∴将代入中得：，解得：，∴将代入中得：，解得：，∴当时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．23．(1)证明见解析(2)(3)的长为（1）证明：点为两对角线的交点，，∵直线过顶点，过点分别作直线的垂线，垂足为点，，在和中，，，．（2）解：如图，连接，并延长交于点，，，，，，，又，，，在和中，，，，∴在中，，，，，∴在中，，，是等边三角形，．（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，，设，则，在中，，，在中，，即，解得，，，，即，是梯形的中位线，，即，解得，所以的长为7．24．(1)，，(2)点P的坐标为或；(3)证明见解析；定点（1）解：抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，令，则，解得：，，，；令，则，；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，如图