初升高式的运算及因式分解

式的运算及因式分解

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式3+6)(。—力=/一〃；

(2)完全平方公式(a±hj=a±2aZH-.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+力Q—abr2b)=3a+；

(2)立方差公式(々一力(五+ah-2b)=3a-；

(3)三数和平方公式(a+Z?4-c)2=a2+Z/+。2+2(必+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(a+力］=d+3*ZH-3a%+；

(5)两数差立方公式(a—6)3=a?-3a2h+3a方一占3

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+1)(%—1)(X"—X+1)(X^+X+1).

例2已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求/+h2+。2的值

二次根式

一般地，形如Gm20)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能

够开得尽方的式子称为无理式.例如3a+^^+2b,从等是无理式,

而VSY++iJ2xy+y2,等是有理式.

2+

例3:试比较下列各组数的大小:

2

(1)厄-而和VTT-丽；(2)和2行一遍.

娓+4

例4化简：(百+夜严-夜严.

分式

1.分式的意义

4A

形如有的式子，若5中含有字母，且BwO,则称j为分式.当M#)时,

分式《具有下列性质：

B

AAxM

~B~BxM

A_A^M

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像工,竺在义这样，分子或分母中乂含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

例5(1)试证：一!—=--——(其中〃是正整数)；

〃(〃+1)nn+\

(2)计算：—+—++—!—

1x22x39x10

(3)证明：对任意大于i的正整数小有一!一+」_+11

H------<一■

2x33x4n(n+1)2

因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,

另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1：分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy-^-aby2；(4)xy-\+x-y.

2.提取公因式法

例2分解因式：（1）a2（p-5）+a（5-b）(2)d+9+3f+3/

3：公式法

例3分解因式：（1）一4+16（2）（3x+2y）2-（x-y）2

4.分组分解法

例4(1)X2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

5.关于x的二次三项式“V+bx+c（存0）的因式分解.

若关于x的方程依2+/?x+c=0（〃。0）的两个实数根是玉、七，则二次三项式

ax2+Z?x+c伍工（））就可分解为a（x-4）（无一天）.

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)x+2x—1；(2)x2+4孙-4y2.

习题

1、已知x+y=l,求/+炉+3盯的值.

2、若J（l-〃）2+J（l+〃）2=2,则。的取值范围是

1]]]]

1+V26+66+〃675+76

4、已知：x=-,y=-,求的值•

23«+6

5、解方程2。2+4)-3(%+4)-1=0.

xx

---+----+++

1x32x43x5-----9x11

7.在实数范围内因式分解：

(1)%2—5x+3；(2)—2>/2x—3；

(3)3x~+4xy—y"；(4)(x~-2x)~-7(x~-2x)+12.

8.&48C三边a,b,c满足L+〃+(?=。匕+讥，+的，试判定AABC的形状.

9.分解因式：/+%一(/—〃).

一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问

题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设灯和心分别是一元二次方程+方0(〃当)).则

-b+\lb2-4ac-b-ylb2-4ac

12a22a

-b+\Jb2-4ac-b-yjb1-4ac2\]b2-4ac

2a

_A/Z72-4ac_>/A

I«I=Td,

于是有下面的结论：

若Xi和也分别是一元二次方程。*2+必+。=0(40),贝!][X]一力|=^^(其中A=b?