初升高数学最值专题PA+kPB型之阿氏圆问题 【学生版】

阿氏圆问题

课中讲解

模型来源

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k

（krl）,则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家

阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆

模型建立

如图1所示，。0的半径为R,点3都在。O外，P为。。上一动点，已知

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R=-OB,连接PA.PB,则当"PA+gPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

2

解决办法：如图2,在线段0B上截取0C使。。=3兄则可说明ABP。与△PCO相

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似，则有故本题求+的最小值可以转化为“%+PC，的最小值，其中与

4与。为定点，P为动点,故当A、P、C三点共线时，“雨+产0值最小。

技巧总结

计算四+〃。片的最小值时.利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似二角形

问题：在圆上找一点P使得Q4+A尸3的值最小，解决步骤具体如下:

1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,0B

OP

2.计算出这两条线段的长度比——=k

OB

OC

3.在OB上取一点C,使得一二k,即构造CPOMsCBO尸,

OP

PC

则一=k,PC=kPB

PB

4.则++当A、P.C三点共线时可得最小值

例1.已知NAOB=90。，OB=4,OA=6,0c半径为2,P为圆上一动点.

(I)求的最小值为_________

2

(2)求尸的最小值为

0B

例2.菱形ABC。边长为4,NABC=60°,点E为边AB的中点，点尸为AD上一动点，连

接律、BF,并将AB/沿M赛折得连接E'C,取EC的中点为点G,连接DG,

则2OG+-EC最小值为

2

例3.(1)如图1,已知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动

点，求PD+'PC的最小值和Po-Lpc的最大值.

⑵如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，

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那么PO+-PC的最小值为_______；PD一一PC的最大值为_________

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(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60°,圆B的半径为2.点P是圆B上的一个

动点.那么PO+!PC的最小值为；尸。一!PC的最大值为

过关检测

1.如图，点C坐标为(2.5),点A的坐标为(70),(DC的半径为点B在。C上一动

点，0B+45AB的最小值为.

2.如图，在RTZXABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半

径为0,点P为圆B上的一动点，求4尸+一产。的最小值.

2

3.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。0上一动点，则&P4+P5的最小

AB

4.如图，等边4ABC的边长为6,内切圆记为。O,P是。0上一动点，则2尸B+PC的最

小值为.

例4.(2018・七中育才校二诊)已知：如图1,抛物线^=/+加+。与4轴交于A(T,o),

8(3,0)两点，与)，轴交于点。，点。为顶点.

(1)求抛物线解析式及点。的坐标；

(2)若直线/过点。，P为直线/上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形

有.且只有三个时，求直线/的解析式：

(3)如图2,E为08的中点，将线段QE绕点O顺时针旋转得到OF,旋转角为

a(0°<a<90°),连接E8、EC、当E8+』EC取得最小值时，求直线BE与抛物线的交

2

点坐标.

过关检测

1.如图，直线/:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、8两点，抛物线

y=浸-2or+a+4(a<0)经过点8,交x轴正半轴于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接40、BM,设点

M的横坐标为加，的面积为S,求S与相的函数表达式，并求出S的最大值及

此时动点M的坐标；

(3)将点A绕原点旋转得点4,连接CT、囱V,在旋转过程中，一动点M从点8出

发，沿线段BN以每秒3个单位的速度运动到4,再沿线段A!C以每秒1个单位长度的

速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？

备用屋

学习任务

1.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合方=左伏＞0且女工1）的点P会组成一个圆.这个

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标中，在x轴，y轴上分别有点C（肛0）,D（0,/i）,点

尸是平面内一动点，且。尸=〃，设竺=火，求PC+H7）的最小值.

OD

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:O£）=A；

第二步：证明血=加；第三步：连接CA1,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在OD上取点使得OM:OP=OP:OD=Z,

又・.NPOD=ZMOP,:MOM~tsDOP.

任务：

（1）将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在RlAABC中，ZAG?=90°,AC=4,BC=3,。为AABC内一动点,

2

满足CD=2,利用（1）中的结论，请直接写出4。+±8。的最小值.

3

2.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),8(0,2),C(4,0),D(3,2),P是4AOB外

部第一象限内的一动点，且/BPA=135。，则2PD十PC的最小值是多少？

3.如图，RtAAZ?C,Z/4CZ?=90%AC=BC=2,以。为顶点的正方形。K”(C、D、E.

尸四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点。自由转动，且CD=&,连接AF,BD

(1)求证：△BOCg/XAFG

(2)当正方形COEr有顶点在线段AB上时，直接写出BD+返4。的值；

2

(3)直接写出正方形COE尸旋转过程中，8。+返4垃的最小值.

2

4.如图，抛物线)，=-f+bx+c与直线AB交于A(T-4),8(0,4)两点，直线

AC:y=-(X-6交y轴于点C.点E是直线A6上的动点，过点£作所_1工轴交AC

于点尸，交抛物线于点G.

(1)求抛物线^=-/+加的表达式;

(2)连接G8,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点“，连接HF,当