2025年中考数学思想方法复习【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想（原卷版）

数式规律中的猜想归纳思想

知识方法精讲

1.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

(1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字

与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

(2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

2.猜想归纳思想

归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、

图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析

推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类

比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察一归纳一猜想一证明(验证)”，具体做法：

(1)认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；

(2)根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个

一般性的结论；

(3)结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。

归纳猜想类问题可以分成四大类：

(1)数式归纳猜想题

这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一

般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的

关键。

(2)图形归纳猜想题

此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为

载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关

系。

(3)结论归纳猜想题

结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，

是解题的关键。

（4）类比归纳猜想题

类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些

己知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、

学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•天桥区期末）己知S=2+4+6+...+2020,T=1+3+5+...+2021,贝!—T的

值为（）

A.-1010B.-1011C.1010D.1011

2.（2021秋•迁安市期末）如图，某“学子餐厅”把用"7密码做成了数学题.小红在餐厅

就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅网络.则他输入的密码（）

账号：XueZiCanTing

304*5=120917

205*7=101217

903*1=270428

学子餐厅欢迎你!407*2=密码

A.28140B.110908C.280930D.280908

3.（2021秋•鼓楼区校级期末）有依次排列的3个数：2,9,7,对任意相邻的两个数，都

用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2,7,9,-2,

7,这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2,5,1,2,9,-11,

-2,9,7,继续操作下去，从数串2,9,7开始操作第2022以后所产生的那个新数串的所

有数之和是（）

A.20228B.10128C.5018D.2509

4.（2021秋•长寿区期末）观察：世界上著名的莱布尼茨三角形，如图所示:

请仔细观察排列规律，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）

22

111

--

3-63

21

41

11

-

55

201

111—1

--

£6

63106030

11111

-一-

77

421010542

5.（2021秋•嵩县期末）计算1+2-3-4+5+6-7-8+...+2017+2018-2019-2020+2021

的值为（）

A.1B.0C.2021D.-2021

6.（2021秋•费县期末）已知网，%,马，…J都是不等于0的有理数，若乂=㈤，则%

-再

等于1或一1；若%=况+⑷，贝1］为等于2或一2或0；若%。=况+凶+包+…+皿，

演x2xxx2x3x20

则外o所有可能等于的值的绝对值之和等于（）

A.0B.110C.210D.220

7.（2021•云南模拟）-组按规律排列的多项式：a-b,a2+b3,a3-b5,…，

其中第〃个式子是（）

A.an+(—1)"+%2〃一3B.an+

C.优+(—D.优+(—

8.(2021•任城区二模)记=%+&+…+〃〃，令北二邑+“+…+%,则1为a2,…,

n

an9这列数的“凯森和”.已知《,a2,…Goo的"凯森和”为2004,那么18,%,%,...a500

的“凯森和”为()

A.2018B.2019C.2020D.2021

二.填空题（共14小题）

9.（2021秋•邵阳县期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为50,我们发

现第I次输出的结果为25,第2次输出的结果为32,…，则第2022次输出的结果为.

二x为偶数四

输

输入x

x为奇数|x+7

10.（2021秋•青神县期末）根据下列各式的规律，在横线处填空:

11.（2021秋•鲁甸县期末）一列关于a的单项式：a3,a5,a1,a9,,按上述规律，

第"个单项式为—.

12.（2021秋•石景山区期末）一组按规律排列的代数式：a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b1,

则第5个式子是—；第2022个式子是—.

13.（2021秋•新邵县期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2,

结果输出的是1,返回进行第2次运算则输出的结果是6,第3次运算则输出的结果是3,……,

则第2021次输出的结果是.

14.（2021秋•成都期末）小海在学习之余喜欢做智力闯关游戏，如图所示的游戏中，各正

方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出c-6的值为—.

abcdefghijkImnopqrstuvwxyz,如果规定a又接在z的后面，使26个

字母排成一个圈.代数式“x+2”代表把一个字母换成字母圈中从它开始逆时针移动2位

的字母，例如：密码“k”表示“i”，翻译成汉语就是“我。又如密码“rgp”表示“pen”,

翻译成汉语就是“钢笔”，此时代数式“x+2”就是破译此密码的“钥匙”，如果密码

"Fxjxpqrabkq"的钥匙是"x-3",则此密码翻译成汉语就是.

16.（2021秋•房山区期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个

至第4个台阶上依次标着-3,-2,-1,0,且任意相邻4个台阶上数的和都相等.

（1）第5个台阶上的数x是—；

（2）若第“个-2出现在第2022个台阶上，贝IJ”的值为.

1,-4,9,-16,25,-36,...；

-1,—6,7,-18,23,—38,…；

-2,8,-18,32,-50,72,…；

那么取每行数的第10个数，则这三个数的和为—.

18.（2021秋•成华区期末）已知a2=—a1-1,a3=—,6Z4=—a3—1»a5=—,.......

2a2a4

（即当〃为大于1的奇数时，an=—；当〃为大于1的偶数时，an=-anl-l）f按此规律,

%

a2022=------•

19.（2021秋•汕尾期末）在2022年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏.她在

A,B,C三个盘子里分别放了一些小球，小球数依次为4,瓦，c0,记为Go=（a（）,b0,

c0）.游戏规则如下：三个盘子中的小球数/片为则从小球最多的一个盘子中拿出两

个,给另外两个盘子各放一个，记为一次操作；〃次操作后的小球数记为G'=（%，"，c"）.若

G0=(3,5,19),贝I]G3=,G2022=.

20.(2021秋•庆阳期末)观察以下等式：

第1个等式：Ix2x3x4+1=52=(12+3xl+l)2,

第2个等式：2x3x4x5+1=11?=02+3x2+1)2,

第3个等式：3x4x5x6+1=19?=(32+3x3+iy,

第4个等式：4x5x6x7+1=29?=(42+3x4+l)2,

按照以上规律，写出第〃个等式：—.（用含〃的代数式表示）

21.（2021秋•七星关区期末）观察下列等式:

@---=-1-x-；®---=-x-；

23234545

111111

计算:---------1------------1------------1------------1-+H--的----结----果----为---------

1x22x33x44x5…2019x20202020x2021

22.（2021秋•唐县期末）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三

角”（如图），此图揭示了（。+6）"（〃为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨

辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方（左右）两数之和.

例如：（°+斤=。+6,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2；

（a+by^a2+2ab+b2,它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1,系数分别为1,2,

1,系数和为4；

（«+Z））3=（z3+3a26+3（zZ>2+Z）3,它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2,系数分别为

1,3,3,1,系数和为8；

则（。+6）4的展开式中系数和为

1

11

121

1331

三.解答题（共8小题）

23.(2021秋•思明区校级期末)观察下面等式：

,122132,142,152

]---------•1]-----=----*]----=----•]-----=----•

1x31x3'2x42x4'3x53x5'4x64x6''

根据你观察到的规律，解决下列问题：

(1)写出第〃个等式，并证明；

(2)计算：

(1+—)x(1+^—)x(1+—)x(1+^—)x...x(l+---------)x(1+---------).

1x32x43x54x62020x20222021x2023

24.（2021秋•中山市期末）仔细观察下列三组数:

第一组：1,-4,9,-16,25,

第二组：0,-5,8,-17,24,

第三组：0,10,-16,34,-48,

根据它们的规律，解答下列问题:

（1）取每组数的第10个数，计算它们的和;

（2）取每组数的第"个数，它们的和能否是-1,说明理由.

25.（2021秋•任城区期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题:

1+8=3"

1+8+16=5"

1+8+16+24=7?,

1+8+16+24+32=/.

（1）第4个等式中正整数左的值是；

（2）第5个等式是：—；

（3）第力个等式是：.（其中”是正整数）

26.(2021秋•苏州期末)观察下列等式:

11I

第1个等式：

11x22

111

第2个等式：

22x323

111

第3个等式：

33x434

111

第4个等式：

44x545

请解答下列问题:

(1)按以上规律写出：第〃个等式为=—("为正整数);

(2)%+2+%+。4+...+%00的值^；

1111

(3)探究计算:-------F-------+---------+...H-------------------

1x44x77x102020x2023

27.(2021•安徽模拟)观察以下等式:

第1个等式：，=!x(i-3，

1x323

第2个等式：_L=lx(l-i),

3x5235

第3个等式：-^=-x(l-l),

5x7257

按照以上规律，解决下列问题:

(1)写出第4个等式:

(2)写出你猜想的第〃个等式：—(用含"的式子表示)，并证明;

计算贵+/7+£+…+1

(3)应用:的值.

2019x2021

28.(2021•德州模拟)阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位

的数称为第一项，记为生,排在第二位的数称为第二项，记为。2,依次类推，排在第〃位

的数称为第〃项，记为巴.所以，数列的一般形式可以写成：%,%,%，…，％，・・・・

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列

叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1,3,5,7,

…为等差数列，其中q=1,%=7，公差为d=2.

根据以上材料，解答下列问题：

(1)等差数列5,10,15,...的公差d为,第5项是.

(2)如果一个数列%,%,生，…，册…，是等差数列，且公差为d,那么根据定义可

至U•a?-%=d,—。2=d,—=d,...9一1=d，....

所以出=%+d，

%=2+d=(%+d)+d=%+2d，

%%+Q=(%+2d)+d=%+3d，

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：%=%+(—)d.

(3)-4040是不是等差数列-5,-8,-11...的项？如果是，是第几项？

(4)如果一个数列%,a2,%，•••，明…，是等差数列，且公差为d