不等式（4题型分类）-2025年高考数学一轮复习

专题03不等式4题型分类

彩题如工总

题型4：不等式的求解题型1:不等式的性质

专题03不等式4题型分类

题型3：基本不等式题型2：比较大小

彩先祗宝库

1.不等式的性质

（1）对称性：a>b0b<a.

（2）传递性：a>b,b>c=^a>c.

（3）可加性：a>b^a+c>b+c.

（4）可乘性：a>b,oO^aobc；a>b,c<0^ac<bc.

（5）同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d.

（6）同向同正可乘性：a>b>0,c>d>00ac>bd.

nn

（7）同正可乘方性：a>b>0^a>b（n^N9n^2）.

2.两个实数比较大小的方法

a-b>0^a>b,

a—b=O0a=b,(a,b£R).

{a-b<0^a<b.

3.基本不等式

（i）基本不等式：

（2）基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

（3）等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.

（4）其中审叫做正数a,b的算术平均数，而叫做正数a,b的几何平均数.

4.几个重要的不等式

（1）a2+b2^2ab（a,b©R）.

,、ba-1

（2）-+^2（a,b同号）.

（3）（a,b©R）.

（4）手4阴（a，』）.

5.三个“二次”的关系

判别式//>0J=0J<0

小电/l

二次函数的图象V

有两个相等的实数

有两个不相等的实

方程的根没有实数根

根X1=X2=一七

数本艮九1,X2(X1<X2)

不等式的解集{x\x<X\,或无>%2}R

6.分式不等式与绝对值不等式

(1)^>0(<0)0f(x)g(x)>0(<0).

(2)怒》O(WO)e/(x)g(x)》O(WO)且g(x)WO.

(3)|x|>a(a>0)的解集为(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集为(一a,a).

彩他题海籍

(―)

不等式的性质

1.常用结论

11

(1)若ab>0,且a>b<4不狂

，、#bb+m

(2)右a>b>0,m>0^~<-r~.

bb+m

（3）若b>a>0,m>O=>a>a+m.

2.判断不等式的常用方法.

（1）利用不等式的性质逐个验证.

（2）利用特殊值法排除错误选项.

（3）作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

题型1:不等式的性质

1-1.（2024高三上•广东•期末）已知—bW3,3<a+b<l,则5a+b的取值范围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

1-2.(2024•全国)若a>b,则

A.\n(a-b)>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.|tz|>|Z?|

1-3.(2024•山东)若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是

1b0I/7、1

A.a+-<—<log(tz+Z?)B.<log2(Q+u)<Q+]

b2a2

11/1、b1/7、1b

C.^+―<log2(tz+b)<—D.log2(a+b)<a+—<—

彩他题海籍

（二）

比较大小

1.不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.

（2）作商（常用于分数指数募的代数式）.

（3）分析法.

（4）平方法.

（5）分子（或分母）有理化.

（6）利用函数的单调性.

（7）寻找中间量或放缩法.

（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

题型2:比较大小

2-1.（2024•全国）已知9"'=10,。=10"'-11力=8"'—9,贝I］（）

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

ha

2-2.（2024IWJ二,全国,课后作业）（1）已知〃>b>0,cVdVO,求证：----<----

a-cb-d

（2）设x,yeR,比较（--:/丫与砂（元一>）2的大小.

2-3.（2024高一上•江苏南京•阶段练习）（1）试比较（x+l）（x+5）与"+3）2的大小；

（2）已知a>6,—<7-,求证：ab>0.

ab

彩做题秘籍（=）

基本不等式

1.基本不等式

（1）基本不等式：-\/ab<^y^（a>0,b>0）.

（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.

2.几个重要的不等式

（1）a2+b2^lab（a,b@R）.

（2）^+^2（a,b同号）.

（3）ab&（。'b©R）.

/.sa2+b2ra+b^

（4）一一刊2J（0,b©R）.

3.基本不等式求最值

（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代

换的方法；三是消元法.

题型3:基本不等式

3-1.（2024高一下•广西柳州•期末）若x>-2,则/（无）=无+」的最小值为.

32（2024高三•河北•学业考试）若x,jeR+,且无+2y=3,则孙的最大值为.

3-3.（2024高三上•湖南娄底•期末）己知a,6为正实数，且2a+6=l,则多+9的最小值为.

3-4.（2024•天津南开,一模）已知实数，>0”>0,。+〃=1,则2。+2"的最小值为.

41

35（2024高三上•江苏常州•开学考试）已知正实数〃/满足--+—-=1,则。+26的最小值为_________.

a+bb+l

3-6.（2024・上海浦东新•二模）函数y=logz尤+―宗在区间（g,+8）上的最小值为

log4（2x）2

3-7.（2024・上海长宁•二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园,

矩形的一条边为围墙，如图.则至少需要米栅栏.

彩健题祕籍

（四）

不等式的求解

1.含参一元二次不等式的解法

（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类.

（2）根据判别式/与0的关系判断根的个数.

（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

2.一元二次不等式恒成立问题

（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.

（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式/；一元二次不等式在给定区间上恒成立,

不能用判别式4，一般分离参数求最值或分类讨论.

题型4:不等式的求解

4-1.（2024•全国）已知集合4=&|工2-3工-4<0},8=1,1,3,5},则448=（）

A.M,l}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

4-2.（2024高一下•广东阳江•期末）不等式依2_（a+2）x+2N0（a<0）的解集为（）

「21「，r

A.—.1B.1.—

aJa_

C.|-oo,—u［l,+co）D.（-oo,l］u—,+oo|

I〃」）

4-3.（2024（Wj二•全国・专题练习）解下列关于工的不等式方之+（a+2）x+l>。（々w0）.

44（2024高三・全国・专题练习）若不等式2彳-1>%（/-1）对任意加目-1,1］恒成立，实数x的取值范围

是—.

4-5.（2024高二下•吉林•期末）若玄41,2］使关于x的不等式无2一依+120成立,则实数。的取值范围是

4-6.（2024•广西•模拟预测）若不等式加>无2一元_］对尤式―⑼恒成立，则。的取值范围是.

4-7.（2024高三上•北京•期中）若关于x的不等式办2-2x+a40在区间［0,4］上有解，则实数。的取值范围

是.

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024高一上•吉林延边•期末）已知-1<Z?<4,贝Ua-2Z?的取值范围是（）

A.-7<6?-2Z?<4B.-6<a-2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

2.（2024・辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在

等腰直角三角形AABC中，点O为斜边A3的中点，点。为斜边A8上异于顶点的一个动点，设位）=1,BD=b,

用该图形能证明的不等式为（）.

AODB

A.(«>0,Z?>0)B.--<4ab(a>0,b>0]

a+b

Ca+b<a(a>0,6>0)D.a1+b2>2-Jab(a>0,b>0)

3.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知羽y都是正数，且则下列选项不恒成立的是（）

xy„

A.受〉而B.-+->2

yx

C…D•孙+t>2

4.（2024高二上•宁夏•期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

\ab

①已知也。，求二的最小值；解答过程：x—=2；

ba

龙25------]

②求函数3=j24的最小值;解答过程：可化得>=0r+4+[不彳22；

22x

③设X>1,求kx+口的最小值;解答过程：y=x+—>2.

X-1x-1

当且仅当》=三2即x=2时等号成立,把x=2代入2、户得最小值为4.

x-1Vx-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（2024高三下・重庆渝中•阶段练习）已知正实数a,b满足必+2。-2=0,则4a+6的最小值是（）

A.2B.4A/2-2C.46-2D.6

6.（2024高三下•浙江・期中）设a>0,b>0,若a^+b1-6ab=1,则耳?一4的最大值为（）

A.3+73B.2A/3C.1+V3D.2+如

7.（2024高三上•河北承德•阶段练习汨知集合A="|HV"，集合3={小2-（"+2）尤+2。<0},若"xeA"

是“xeB"的充分不必要条件，则实数。的取值范围（）

A.B.U,-1]C.1白]口.1.J

8.（2024•全国•模拟预测）若关于尤的不等式％2-（优+2）尤+2〃?<0的解集中恰有4个整数，则实数%的取值

范围为（）

A.（6,7]B.[-3,-2)

C.[-3,-2）U（6,7]D.[-3,7]

9.（2024高一下•浙江湖州•开学考试）已知关于无的不等式加+桁+。<0的解集为或x>4},则下

列说法正确的是（）

A.a>0B.不等式62+5+6>。的解集为｛x|2-近<尤<2+6｝

C.a+b+c<0D.不等式ax+Z?>0的解集为｛力x>3｝

10.（2024高一上•上海浦东新•期中）已知实数。<，，关于x的不等式幺-（a+b）x+必+1<0的解集为（占,々）,

则实数a、b、玉、巧从小到大的排列是（）

A.a<xx<x2<bB.xx<a<b<x2

C.a<xx<b<x2D.xx<a<x2<b

安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）关于x的不等式依?十万元+,<（）的解集为

（-3,1）,贝I不等式6V+ax+c<0的解集为（）

A.。，2）：B.（-10UD.

12.（2024•北京海淀•模拟预测）已知关于尤的不等式/+以+>>0（。>0）的解集是｛x|xwd｝,,则下列四个结

论中错误的是（）

A.a1=4b

21,

B.a2+->4

b

c.若关于x的不等式办—6<o的解集为（西，龙2）,贝！]五马>。

D.若关于x的不等式/+依+6<0的解集为（孙三）,且上一百=4,贝心=4

13.（2024高三上•江苏南通・期中）已知关于x的不等式依2+2法+4<0的解集为，机\],其中根<0,则

元+V勺最小值为（）

A.-2B.1C.2D.8

14.（2024•山东）已知二次函数y=依2+"+。的图像如图所示，则不等式口f+bx+c>0的解集是()

~/-2O1V^

A.（—2,1）B.（―oo,—2）u（l,+8）C.[—2,1]D.（—o

15.（2024•全国）已知集合二,犬-无一2>（）｝,则”=

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{%|工<-1}°{%|吊2}D.1x|x<-l}u|x|x>2）

14

16.（2024・四川成都•三模）设S〃为正项等差数列{为}的前〃项和.若S2023=2023,则一+——的最小值为

。442020

（）

5Q

A.—B.5C.9D.—

22

17.（2024•北京房山•二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）

A./（x）=x2-2xB./（x）=|ln^|

C.f（x）=xsinxD.f（x）=2X+2~x

121

18.（2024•海南海口•模拟预测）若正实数x,丁满足％+3y=l.则一+一的最小值为（）

%y

A.12B.25C.27D.36

19.（2024•湖北荆门•模拟预测）已知实数a,b满足Iga+Igb=lg（a+2b）,则2a+b的最小值是（）

A.5B.9C.13D.18

20.（2024•湖南长沙•一模）已知2加=3"=6,贝Um，〃不可熊满足的关系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m-1）2+（n-l）2>2

21.（2024•浙江杭州•二模）已知。>1,b>l,log24a=logb4,则的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

22.（2024•河南安阳•三模）已知a>03>0,则下列命题错误的是（）

A.若ab<1,则—I—22

ab

1Q

B.若a+b=4,则一的最小值为4

ab

C.若〃2+/=4,则而的最大值为2

D.若2a+6=l,则而的最大值为受

2

23.（2024•广东湛江二模）当x,ye（O,y）时，+恒成立,则根的取值范围是（）

'7x+2xy+y4

A.（25,+co）B.（26,+8）C.（?，+001D.（27,+oo）

二、多选题

24.（2024•重庆•模拟预测）已知ac>0,则下列关系式一定成立的是（）

A.c2>bc

cbc

C.a+b>cD.-+->2

bc

25.（2024•山东•二模）已知实数。也。满足且〃+Z?+c=O,则下列说法正确的是（）

11~

A.----〉----B.a-c>2bC.a2>b2D.ab-\-bc>Q

a—cb—c

26.（2024高三上•山东泰安•期末）若a>0>/7>c,则下列结论正确的是（）

aa

A.—>—B.>c2a

cb

a—bb

C.---->-D.a-c>Z?)(Z7—c)

a—cc

27.（2024高三上•江苏•阶段练习）已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,则（）

A.x的取值范围为（-1,2）B.y的取值范围为（-2,1）

C.x+y的取值范围为（-3,3）D.X-V的取值范围为（T,3）

4151

28.（2024高三下•河北衡水•阶段练习）已知a>0,b>0,且满足—+b>-+-.贝巾力+/的取值

abba

可以为（）

A.10B.11C.12D.20

29.（2024高三•重庆沙坪坝•阶段练习）已知£(：/+1)=1,则（)

21

A.孙<1B.x2j>——

2

C.x+xy<lD.x2+xy<

人满足3>~j=，则(

30.（2024•全国•模拟预测）已知实数。,)

7a7b

33

A.lOgo.2023Q<log0.2023bB.a<b

bb+1D-"+力的最小值为1

C.->----

aa+1

（2024•江苏•模拟预测）已知bg糖水中含有糖（b>a>0）,若再添加机g糖完全溶解在其中，则糖水

变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）

aa+m、a+ma+2m

A.-<-----B.-----<------

bb+mb+mb+2m

21

C.(6z+2m)(/?+m)<(6z+m)(/?+2m)D.-7---<---r

3〃-13“T

32.（2024•全国）若X,y满足f+j?一孙=葭则（

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

33.（2024•重庆•模拟预测）若实数。，b满足/+62=仍+1,则（）

„//2括

A.a-b>-lB.a-b<------

3

71

C.ab2—D.ab<—

33

34.（2024高三下•湖北•阶段练习）已知。>0,6>0,且。+：=1,贝|（）

b

A.'+6的最小值为4B.4+，的最小值为1

a

C.1的最大值为9

D.-。的最小值为0-1

b4

35.（2024•云南红河•一模）已知%>0,y>0,且尤+y-孙+3=0,则下列说法正确的是（）

C.x2+y2^18D.0<-+-^i

A.3<xy^12B.x+y>6

'xy3

36.（2024•山西•一模）设a>0,b>0,a+b=l,则下列结论正确的是（）

A.仍的最大值为!B.的最小值为3

4

41

C.；的最小值为9D.夜+斯的最小值为6

ab

37.（2024•山东）已知a>0,b>0,且a+b=l,则（）

A.a2+b2>-B.T-b>-

22

C.log2tz+log2Z?>-2D.y[a+y[b<A/2

38.（2024•全国•模拟预测）已知实数”，b满足，-2620,则下列说法正确的有（）

221

A.炉2（2匕1B.2"+—>2

C.若b>0,则Ina-lnb21n2D.a>>7Z?3

39.（2024高一上•浙江温州•期中）已知〃>0,&>0,且。+匕=4则下列结论一定正确的有（）

A.（6Z+2Z?）2>SabB.~j=+2\[ab

14

C.仍有最大值4D.—+不有最小值9

ab

40.（2024高一上•江苏苏州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若羽ywR且x+y>4,则九，V至少有一个大于2

B.VxeR,星=x

C.若lv〃v3,2<b<4,则-2<2a-bv4

D.G+3+12+3的最小值为2

41.（2024・云南曲靖・模拟预测）若实数乂V满足2、+2加=1，则（）

A.%v0且yv—1B.%+>的最大值为一3

C.gJ+盯的最小值为7D.卜口+&［卜<2

三、填空题

42.（2024高一•全国・单元测试）若0<a<6,a+b=1,则将。也;,2期a2+b2从小到大排列为.

43.（2024高二・全国•单元测试）如果4泌，给出下列不等式：

（1）—T-;（2）a3>b3；（3）；（i）2ac2>2bc2；（5）—>1；a2b2X>ab~\-a~\~b.

ciuvvb

其中一定成立的不等式的序号是.

a—2r

44.（2024高三上•上海普陀•期中）已知三个实数a、b、c,当c>0时，0<2a+3c且历=/，则的取

O

值范围是.

45.（2024,浙江）已知实数a、b、c满足a+b+c=0,c^+b2+c2=l,贝U。的最大值为.

46.（2024•山西•一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为：

2bV竺h+%iri,其中。>6,且a,b,meR+.据此可以判断两个分数的大小关系，比如85黑436罢623言9_______

aa+m998763421

854366236华、

---------（填

998763418

47.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）若。克不饱和糖水中含有匕克糖，则糖的质量分数为b士，这个质量分数决

a

定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式

"竺>'（a>b>0,〃z>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出bgs2log1510

a+ma

（用〃〈〃或。〃填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

48.（2024高三上•天津南开•阶段练习）若a,b>0,且"=a+b+3,则ab的最小值是.

4

49.（2024•重庆•模拟预测）已知%>0,则2%+^一；的最小值为

2x+l

50.（2024高三•全国•专题练习）若x>l,则x2+2x+2的最小值为

x-1

51.（2024高三下•上海浦东新•阶段练习）若关于x的不等式/+历；+。203〉1）的解集为R,则

b-1

的最小值为.

52.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）若龙,yeK,（x-y）2=（xy）3,则'的最小值为________.

xy

53.（2024高二下•浙江•期中）己知x>0,y>0,满足Y+2冲-2=0,则2x+y的最小值是.

4ci-\-h

54.（2024•天津•一模）若a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,贝1J---+----的最小值为_____.

a+bc

55.（2024高三上•浙江宁波・期中）己知a>0,b>0,a+26=l,则丁■二+—^7取到最小值为_____.

3Q+4Z?a+3b

56.（2024•安徽蚌埠•二模）若直线X=1（。>0,6>0）过点（2,3）,则2a+6的最小值为.

4一2bl

57.（20241W1二下,河北,阶段练习）已知a>0,〃>0,Q+2〃=3,则-----1~六■的最小值为________.

a2b

58.（2024高一上•山东烟台•阶段练习）已知y>2,且3x+y=7,则三二+一二的最小值为___.

33x-ly-2

59.（2024高三下.浙江•开学考试）已知正实数a,b,c,a+b=3,则ac与+—+'3的最小值为___________.

babc+1

60.（2024•天津滨海新•模拟预测）己知尤>0,>>0,则22?,+萼f的最大值是_________.

x+4yx+y

61.（2024•上海金山・二模）若实数x满足不等式f―3%+2<0,则X的取值范围是.

1Or

62.（2024高三•全国•课后作业）不等式一+e工子的解集为.

63.（2024高一下•湖北省直辖县级单位•期末）函数/（%）=J2—+兀—3+（3+2%-f）的定义域为.

64.（2024高三•全国,课后作业）不等式-2/+3%-52。的解集为.

65.（2024高一上•上海松江•阶段练习）不等式上=>0的解集为______.

x+2

Y2-Q

66.（2024•江西）不等式的--^>0的解集是____

x—2