2025届江苏省百校高三数学上学期12月联考试卷附答案解析

届江苏省百校高三数学上学期12月联考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，则A∪B等于()A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2}C．{0,1} D．{1}2．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在三角形ABC中，,AB=3，AC=6，向量在向量上的投影向量为，P为边BC上一点，且BP=2PC，则（

）A．4 B． C． D．4．在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点A作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．

选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．B．若在区间上有且仅有个零点C．是奇函数D．若在区间上单调递减，10．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（

）A．平面MAB与平面ABCD夹角的正弦值为B．若点P满足，则的最小值为C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为D．点Q在面内，且，则点Q轨迹的长度为11.已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知直线分别与曲线，都相切，则的值为.13．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是．14．已知P是圆上的动点，，点是圆上的两个动点，点满足：,，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知在中，，(1)判断的形状，并说明理由;(2)若点在AB边上，且.若，求的面积.

16．设函数的表达式为（且）(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，求的值．17．已知圆C：过点的直线交圆C于两点（1）若AP：PB=1:2，求此时直线l的方程。（2）过A,B分别作圆C的切线，设直线和的交点为M，求证：M在定直线上。18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)设.①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.19．已知函数（1）若1是函数的极值点，求的值；（2）若，试问是否存在零点，若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由？（3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值（）2025届江苏省百校高三数学上学期12月联考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，则A∪B等于()A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2}C．{0,1} D．{1}【答案】C2．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B3．在三角形ABC中，,AB=3，AC=6，向量在向量上的投影向量为，P为边BC上一点，且BP=2PC，则（

）A．4 B． C． D．【答案】B4．在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C5．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点A作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A7．已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，即，当时，，不等式在上显然成立；当时，令，则在上恒成立，由，在上，所以在上单调递增，又时，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，则，即在上单调递增，其中，故，所以此时有．综上，．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．B．若在区间上有且仅有个零点C．是奇函数D．若在区间上单调递减，【答案】ACD10．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（

）A．平面MAB与平面ABCD夹角的正弦值为B．若点P满足，则的最小值为C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为D．点Q在面内，且，则点Q轨迹的长度为【答案】BC11.已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数，因为，，所以，故，所以，即的周期且，则，故B错误；在，中，令，可得，所以，故A正确；由，令，可得，则，则，即，所以，故D错误；在中，令得，，在中，令得，，两式相加得，即，故C正确.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知直线分别与曲线，都相切，则的值为.【答案】13．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是．【答案】14．已知P是圆上的动点，，点是圆上的两个动点，点满足：,，则的最小值为.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）已知在中，，(1)判断的形状，并说明理由;(2)若点在AB边上，且.若，求的面积.【解】（1）因为.当时，则适合题意…………………2分当时，所以，所以，所以所以因为，所以……………………4分又，所以,化简可得,故，又因为，所以，………………6分所以（舍去）所以三角形为直角三角形，……………………7分（2）由于，，且为直角三角形，设，则，，在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，………10分故………13分16．（本题满分15分）设函数的表达式为（且）(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，求的值．【解】（1）的定义域为，，，为上的奇函数；………5分（2）由（1）知，为上的奇函数，即，令取，则，……………7分，，……10分令，则，即，………12分即.……………15分17．（本题满分15分）已知圆C：过点的直线交圆C于两点（1）若AP：PB=1:2，求此时直线l的方程。（2）过A,B分别作圆C的切线，设直线和的交点为M，求证：M在定直线上。【解】（1）当直线AB的斜率不存在时，AB：解得，不合题意………………1分当直线AB的斜率存在时，设由得得则……3分得………5分得代入上面方程，解得……………7分直线的方程或……8分（2）设，则以CM为直径的圆的方程为………10分圆C为两式相减得：……………12分因为直线过点（1,1），则所以所以M在直线上…………………15分18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)设.①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.【解】（1）在四棱锥中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，…………………3分又平面，所以平面平面；………5分（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示直角空间坐标系，设，则，由，，，，则，，因，则，，所以，，①设平面的法向量为，由，，得：，可取，设直线与平面所成角为，则有：，，即：，……………8分化简得：，解得或，即或，……………11分②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上，由，得，所以，所以，又得，，所以，，由得，即，………15分亦即（*），因为，所以方程（*）无实数解，所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.…17分19．（本题满分17分）已知函数（1）若1是函数的极值点，求的值；（2）若，试问是否存在零点，若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由？（3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值（）【解】（1），因为1是函数的极值点所以，解得：…………1分此时，，由得，在上单调增所以，时，；时，所以，在上单调递减，在上单调递增所以，在时取得极值所以，……………3分（2）①时，由第（1）问可知，，此时，是不存在零点…………………4分②时，所以，在上单调递增又，且在上的图像是不间断的所以，存在唯一的，使得，时，；时，所以，在上单调递减，在上单调递增所以，……………6分由得：所以，…8分设则；令，得：0极大值所以所以在上单调递减所以所以时，所以，即所以所以，无零点综上，不存在零点…11分（3）由（2）可知，时，无零点，舍去；时，在上单调递增且图像是不间断的又所以，存在唯一的，使得，时，；时，所以，在上单调递减，在上单调递增所以，由得：所以，因为，有2个零点所以……13分令，则当时，恒成立