函数的方程与零点-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第10讲函数的方程与零点

（6类核心考点精讲精练）

IN.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围，已知方程求双曲

2024年天津卷，第15题,5分

线的渐近线

2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2022年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围，根据二次函数零点的分布求参数的范围

2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2020年天津卷，第9题,5分函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义

2.能掌握函数图像与性质

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题

4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知

零点个数求取值范围。

GA•考点梳理•

1

1.函数零点概念r

2.零点存在性定理考点四、函数零点及零点个数

r知识点一.零点乂3.零点存在唯一性定理乂考点五、复合函数的零点

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系考点六、二分法的应用

5.二次函数的零点I

函数的方程与零点

1.函数的图像考点一、函数图像的识别

2.描点法作图考点二、函数的图像变换

{3.图象变换考点三、由函数图象确定解析式

知识讲解

知识点一.零点

1.函数零点概念

对函数y=/(%),把使/'(x)=0的实数久叫做函数y="久)的零点

2.零点存在性定理：

如果函数y=/(x)在区间口切上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)<Of,那么，函数y=/(%)

在区间(a,b)内有零点.即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程/■(久)=0的根.

3.零点存在唯一性定理：

如果函数y=f(%)在区间a,0上的图象是连续不断一条曲线，并且有/'(a)f(b)<0,且在［a,句上单调，那么

函数y=/(%)在区间(4,6)内有唯一的零点.即存在唯一的。式氏6),使得/'(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数y=F(x)=/(%)-g(x)有零点

方程F(%)=/(%)-g(x)=0有实数根=>函数%=/(%),y2=g(x)图像有交点

求函数y=/(久)零点的方法：

①直接解方程/0)=0;

②利用图象求其与久轴的交点(交点的横坐标即是零点)；

③将方程/(久)=0变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数)；

④可通过二分法求函数的零点的近似值.

5.二次函数的零点：

二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)

(1)A>0,方程a/+b久+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点

(2)△=0,方程a/+版+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点.

(3)△<0,方程ad+族+©=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点

知识点二.函数的图象

1.函数的图像

2

将自变量的一个值久0作为横坐标，相应的函数值久0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，

当自变量取遍定义域/内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为

{(x，y)仅=/(久)，x^A},所有这些点组成的图形就是函数的图象.

2.描点法作图

方法步骤:

(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);

(4)描点连线，画出函数的图象.

3.图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换y=/(x)+4

汗)“、关于x轴对称.、

上k(k>0)

①y=fO)---------->y=-/(久)；

移个单位

伪、关于一轴对移左移右移

②y=f(%)---------->y=f-(x)y=f(x+h)*y=f(x)y=f(x-h)

九个单位九个单位

自〃、关于原点对称,,、(A>0)下k(k>G)(力>0)

移个单位

@y=ax(a>0且存1)关于」——工对觌”=10且由心0且存］y=f(x)-k

(3)伸缩变换

①把函数y=八式)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的一倍得y=/(69x)(0<(D<1)

w

②把函数y=/(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1倍得了=/(^X)(®>1)

③把函数y=/(%)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得y=G/(X)(刃>1)

④把函数y=/(%)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得y=cof(x)(0<6t)<l)

(4)翻折变换

保留》轴上方图象

①y二"比)将x轴下方图象翻折上去y=’(初L

保留了轴右边图象，并作其

②y=/(久)关于y轴对称的图象>y=/(|x1).

考点一、函数图像的识别

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)函数/(%)=-+(e*-ef)sin%在区间［—2.8,2.8］的图象大致为()

3

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得f(l)>0,可排除D.

【详解】/(—x)=—x2+(e-x—ex)sin(—%)=—x2+(ex—e-x)sinx=f(x),

又函数定义域为［-2,828］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

又/⑴=-1+(e-3sinl>-1+(e-3sin”:一1一《>X>0,

故可排除D.

故选：B.

2.(2022•全国•高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是()

D-.y=2s—inx

J%2+1

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设/CO=寒，则/⑴=0,故排除B;

设/i(x)=今詈，当％e(°e)时，0<cosx<1，

所以h0)=鬻<含wi,故排除c；

设g(x)=鬻，则g(3)=等>0,故排除D-

故选：A.

4

即时凝I

1.(2024•安徽合肥・模拟预测)函数人幻=怨等(e为自然函数的底数)的图象大致为()

e—1

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性可排除B,C；再由x趋近0+,/(X)>0,排除D,即可得出答案.

【详解】f(x)=学等的定义域为0},

"、_[e_xcos(—2ex)]-e2x_excos2ex_、

/(一力二(e-2x-l).e2x=l-e2x二一八%人

所以八%)为奇函数,故排除B,C；

当x趋近。+,e2x>1,所以e2x—1>0,ex>l,cos(2ex)>0,

所以f(x)>0,故排除D.

故选：A.

【答案】C

【分析】求出函数f(x)的定义域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)内函数值的正负判断即可.

【详解】依题意，函数/(%)=/，的定义域为{xeR|x1},

f(_x)==—=_f(x)，则/'(久)是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足;

当x6(0,1)时，ex-e-x>0,|l-x2|>0,则f(x)>0,AD不满足，C满足.

故选：C

考点二、函数的图像变换

5

中典例引领

1.(2023・四川成都•模拟预测)要得到函数y=的图象，只需将指数函数y=的图象()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移g个单位D.向右平移g个单位

【答案】D

【分析】

根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.

【详解】由y=G)"=6)2'向右平移，个单位，则y=6)2(x*)=

故选：D

2.(22-23高三•全国•对口高考)把函数y=log3(x-1)的图象向右平移1个单位，再把横坐标缩小为原来的最

所得图象的函数解析式是

【答案】y=log3(2x-1)

【分析】根据函数图象变换规律可得答案.

【详解】把函数y=log3(久—1)的图象向右平移:个单位，得函数y=log3(X—g-1)=log3(X-'|)，再把横

坐标缩小为原来的5得到函数y=log3(2x—|)的图象.

故答案为：y=log3(2x-

1.(22-23高三•全国•对口高考)利用函数/。)=2方的图象，作出下列各函数的图象.

(i)y=/(一久)；

(2)y=/(|%|)

(3)y=/(%)-1；

(4)y=1/(%)-1|;

(5)y=-f(x)；

(6)y=/(x-l).

【答案】(1)图象见详解

(2)图象见详解

(3)图象见详解

(4)图象见详解

(5)图象见详解

6

(6)图象见详解

【分析】先作出函数人比)=2欠的图象，

(1)把/(X)的图象关于y轴对称即可得到y=/(-X)的图象；

(2)保留“龙)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称即可得到y=/(|x|)的

图象；

(3)把f(x)图象向下平移一个单位即可得到y=/(%)-1的图象；

(4)结合(3),保留工上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折即可得到y=|f(x)-1］的图象；

(5)把/'(%)图象关于x轴对称即可得到y=-f(x)的图象；

(6)把/(x)的图象向右平移一个单位得到y=/(%-1)的图象.

【详解】(1)把/(x)的图象关于y轴对称得到y=/(-x)的图象，如图，

(2)保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y=f(|x|)的图象,

如图，

(3)把/(x)图象向下平移一个单位得到y=/(x)-1的图象，如图,

(4)结合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折得到y=|f(x)-1|的图象，如图,

7

(5)把f(x)图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象，如图,

(6)把/(x)的图象向右平移一个单位得到y=1)的图象，如图,

2.(2024•辽宁・三模)已知对数函数/(x)=log/,函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原

来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将或久)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数/(久)的图象

重合，贝必的值是()

*32万遍c0

A.—Bo.—C.—D.v3

233

【答案】D

【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可

【详解】因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象,

所以g(x)=log/,即g(x)=logaxToga3,

将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=logM-10ga3+2,

因为所得图象恰好与函数/(%)的图象重合，

所以—loga3+2=0,

所以/=3,又a>0且a丰1,

解得a=V3,

故选：D

3.(2023・河北•模拟预测)已知函数/(久)=昔箸，则下列函数为奇函数的是()

8

A./(%)-1B./(x)-2C.f(x-2)D./(%+2)

【答案】B

【分析】根据对称性分析可得函数/(x)有且仅有一个对称中心(0,2),结合图象变换分析判断.

【详解】由题意可得：/(久)=甘箸=3-a，

因为/(a+x)+/(a—x)=(3-7^)+(3-1^)=6—2(^^+蔡)

2叶2工+2、2工+2"

2axa，

2«+2%+(2+l)2+2

若/(a+久)+f(a—%)=6-2x萧蒜精总为定值，

则22。+1=2,解得a=0,此时/(%)+/(—久)=4,

所以函数/(%)有且仅有一个对称中心(0,2).

对于选项A：/(x)-l有且仅有一个对称中心为(0,1),不合题意，故A错误；

对于选项B：/(无)-2有且仅有一个对称中心为(0,0),符合题意，故B正确；

对于选项C：/(x-2)有且仅有一个对称中心为(2,2),不合题意，故C错误；

对于选项D：f(x+2)有且仅有一个对称中心为(-2,2),不合题意，故D错误；

故选：B.

4.(2023•新疆阿勒泰•三模)已知函数则函数/(%)=]1'](%)=/(-x),则函数g(%)的图象大致是()

[一,%<u,

【答案】B

【分析】由gO)=A-%)可知gO)图像与fO)的图像关于y轴对称，由/(尤)的图像即可得出结果.

【详解】因为g(x)=/(-%),所以g(x)图像与f(x)的图像关于y轴对称，

由70)解析式，作出『0)的图像如图

从而可得g(x)图像为B选项.

9

故选：B.

考点三、由函数图象确定解析式

典例引领

1.(2024-内蒙古呼和浩特•二模)函数/(X)的部分图象大致如图所示，则/'(X)的解析式可能为()

【分析】结合图象可知f(x)为奇函数且/(0)=0,在(0,+8)上先增后减.根据函数的奇偶性和f(0)=0,结

合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.

【详解】由图可知，/(X)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，

且-0)=0,在(0,+8)上先增后减.

A：券，函数的定义域为R，"一x)=言|=—=0,故A符合题意；

B：/(%)=ex—e~x—sin%,函数的定义域为R,

/(x)=ex+e-x—cos%,由％>0,得e%>!,—!<cosx<1,

则/'(%)=ex+e-x-cosx>2—1>0,/(%)在(0,+8)上单调递增，故B不符合题意；

C：/(%)=e+e,当％=0时，sinx=0,函数显然没有意义，故C不符合题意；

smx

D：/(x)=ex-e~x+sinx,函数的定义域为R,

f(%)=QX+Q~X+cosx,由％>0,得e">1,—1<cosx<1,

则/'(%)=ex+e-x+cosx>2—1>0,/(%)在(0,+oo)上单调递增，故D不符合题意.

故选：A

2.(23・24高三下•天津•阶段练习)已知函数/(%)的部分图象如下图所示，则/(%)的解析式可能是()

10

A./(x)=

C.f(x)=D./(%)=——cosx

【答案】A

【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.

【详解】由题意可知：/(%)的定义域为{%|%40},故B错误；

当%>。/(X)先正后负,则有:

对于C：因为ef<1<e"/+2>。，贝^^一^<0,

可知/0)=考3<0,故C错误；

对于D：因为眇>1,则券>0,但cosx的符号周期性变化，故D错误；

故选：A.

即时检测

1.(2024・上海奉贤•二模)已知函数y=/(%),其中y=%2+i,y=g(%),其中g(%)=4sin%,则图象如图

所示的函数可能是().

2-

-7T\O!

-2

C.y=/(%)+g(x)-1D.y=/(%)-g(x)-1

【答案】A

【分析】根据函数图象和/(%),9(%)的奇偶性判断.

【详解】易知/(%)=/+1是偶函数，g(%)=4sin久是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数,

A.y=h(x)=黑=等，定义域为R,

又八(一乂)=鬻詈=一鬻=一八(久)，所以八0)是奇函数，符合题意，故正确；

B*=%手kn,keZ,不符合图象，故错误；

g{x)4sinx

C.y=ft(x)=/(%)+g(x)—1=x2+1+4sinx-1=x2+4sinx,定义域为R,

但/i(f)WhQ),故函数是非奇非偶函数，故错误；

D.y=h(x)=/(%)—g(x)—1=%2+1—4sinx—1=x2—4sinx,定义域为R,

但%(-%)Hh(x),/i(-x)H—h(x),故函数是非奇非偶函数，故错误，

故选：A

11

2.（2024・湖南•二模）已知函数/（久）的部分图象如图所示，则函数/（久）的解析式可能为（）

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.

【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；

由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；

由图可知，当XT+8时，yr-8,

而对于D选项，当X—+8时，y->0,故排除D.

故选：A.

3.（2024・广东江门・二模）若函数"%）的图象与圆。炉+丫2=4恰有4个公共点，则f（x）的解析式可以为（）

A.f（x）=||x|-2|B./（x）=x2-2|x|

C.f（久）=|2X—2|D./（x）=|Igx21

【答案】D

【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.

【详解】作出y=|因一2|,y=|2X-2|的图象，如图1所示，

作出y=d一2|x|,y=|lg%2|的图象，如图2所示，由图可知，八久）=|lg%2|满足题意.

故选：D.

考点四、函数零点及零点个数

典例引领

12

1.(22-23高三上•江西鹰潭•阶段练习)函数/(久)=⑶-27)lnQ—1)的零点为()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.

【详解】由/(x)=0,得(3才一27)111(%—1)=0,即3、-27=。或ln(x-1)=0,解得x=3或x=2,

所以函数f(x)=(3-27)ln(x-1)的零点为2,3.

故选：A

2.(2023高三•全国・专题练习)已知指数函数为人久)=4。则函数y=/(%)-2计1的零点为()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【详解】函数八>)=4，，由〃>)一2计1=0,即4久一2计1=0,整理得2%2力-2)=0,解得x=l,

所以函数y=/(x)-2计1的零点为1.

故选：C

即时检测

(________L__________

1.(22-23高三•全国•对口高考)已知a=$方程a团=|log/|的实根个数为

【答案】2

【分析】分别作出/(X)=。㈤和90)=卜。g,]的图象，结合图象即可得到答案.

【详解】由a=g，则(T)11=log”，

则令/'(%)=G)119(x)=logix,

分别作出它们的图象如下图所示,

由图可知，有两个交点，所以方程排百=|10ga%|的实根个数为2.

故答案为：2.

2.(2023•全国•模拟预测)已知函数/'(%)满足/'(x+,)=/(%-1)・当％e[0,3)时，/(x)=2x3-llx2+14%,

13

则n>)在［-120,120］上的零点个数为.

【答案】161

【分析】由条件先得出函数的最小正周期为3,解方程/(x)=2始—11/+14X=0得xe［0,3)上的零点个

数，由周期即可确定在［-120,120］上的零点个数.

【详解】因为函数/O)满足/(久+|)

所以+3)=/(%),所以/(X)的最小正周期为3,

当％G［0,3)时，令/(%)=2x3—II%2+14%=0=>%(%—2)(2%-7)=0,

解得％=0或%=2,所以当％E［0,3)时，/(%)有两个零点，

所以〃龙)在［—120,120］上的零点个数为2x等x2+1=161个.

故答案为：161.

考点五、复合函数的零点

典例引领

11g(—x)|+1,%V。

Z1V,'C，则函数丫=尸(久)一3/(久)+2

1匕)+20

的零点个数是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】将函数y=f2(x)-3/(%)+2的零点个数转化为方程f(x)=1和人久)=2根的个数，然后再转化为

函数/(%)与y=1,y=2图象交点个数，最后结合图象判断即可.

【详解】函数y=/2(x)-3/(%)+2=［/(%)-l］［/(x)-2］的零点,

*|lg(-x)l+l,x<0

即方程y(x)=i和/(K)=2的根，函数*式)=］的图象，如下图所示：

-+1,%>0

由图可得方程/(x)=l和f(x)=2的根，共有4个根，即函数y=2/2(x)-3/(%)+1有4个零点.

故选：C.

2_(%+工0则y=/(/(%))-1的零点个数为()

A.4B.5C.6D.7

14

【答案】c

【分析】画出f(x)的大致图象，由y=f(/(x))-1=0,逐层进行求解，从而求得正确答案.

【详解】作出函数/(%)的大致图象如图所示，

由e"-3=1解得x=ln4,由2-(%+1)2=1解得x=-2或％=0,/(-I)=2.

令/(f(x))-1=0,得=1，

得/(%)=-2或/(X)=0或/(尤)=ln4,

结合图象可知：

当/(久)=—2时，有1个解；当/(无)=0时有2个解；

当/■(x)=ln4时，由于l<ln4<2,所以有3个解，

故y=/(/(x))-1的零点个数为6.

故选：C

即时性w

1.(23-24高三上•天津,期中)已知函数/(%)=%24-2%+m,meR,若函数/(/(%))有且只有一个零点，则()

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

【答案】C

【分析】由/(%)=0有解得出mW1,同时否定m=l,THV1时/(%)=0有两根一1土"1一一,由大根等

于/(%)的最小值可得血值，然后再判断各选项.

【详解】显然/(吗=0有解，因此A=4—4znN0,m<1,

若m=1,则f(X)=%2+2%+1只有一个零点％=-1,但此时/(%)=-1无实解，/(/(>))无零点，

2

所以血<1,/(%)=(x+I)+m-1,/(x)min=m-1,

由/(%)=0得%=-1±Vl-m,由题意—1+Vl-m=m-1,解得m==二(m=三更舍去)，所以m=

昔信时只有一个零点，它只满足C,

故选：c.

—%2+2]x0

.,i二n，则函数y=f[/(X)—1]的零点个数

{inxj十~~fxu

15

是().

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

令/(x)—1=3先求出使f(t)=0时的t的值，然后画出函数f(x)和函数y=t+1,其中te{0,2,5}的图象,

观察其交点个数即可得答案.

【详解】由已知—1]=0,

令f(x)—1=t,即f(t)=0,

当『=°时，得£1=0或《2=2,

当+：=°时，明显函数g(t)=]n(—t)+二在(―8,0)上单调递减，且g(—1)=一1<0,g(—2)=ln2-

1t<0t

g=ln2—In^e>0,g(—l)g(—2)<0,

故存在t：36(—2,—1),使ln(—t)+—=0,

3「3

(—_i_7vx>0

画出加=ln(f)+=二。的图象如下,

即函数y=/[/(x)-1]的零点个数是5.

故选：D.

3.(23-24高三上•河北•阶段练习)已知函数xMo则函数g(x)=[/(的产—f[/(%)]的所有

零点之和为()

A.2B.3C.0D.1

【答案】D

【分析】令£=/(x)，得到g(t)=产一f(t)，令g(t)=o,可得产=y(t),列出方程求得t=±1,得到/(%)=±1,

在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案.

【详解】由函数g(x)=[f(x)]2令t=/(x),则g(t)=铲一y(t),

令g(t)—o,可得俨—f(t),

16

当t>0时，由胫=/«),可得产=«-2)2,即一4t+4=0,解得1=1；

当IV0时，由产=/«),可得产=2七+3,即12—21一3=0,解得力=-1或力=3(舍去)，

所以t=±l,BP/(x)=±1,

当%>0时，令(％-2)2=1或-2/=-1(舍去)，解得％=1或%=3；

当％V0时，令2汽+3=±1,解得％=—1或%=—2,

所以函数g(%)=[/(X)]2-/[/(%)]的零点之和为1+3—1-2=1.

故选：D.

4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=j1?,X>1,若函数g(%)=[/(%)]2-有两个不同的零点，

则实数a的取值范围为()

A,[-e,0)U[pe)B.[0,2)U{e}

C-{V}u(0,9)U(e,+8)D.{-；}u(0,1)

【答案】C

【分析】根据题意，先判断f(x)在(-8,1]和(L+8)上的单调性和最值，再作出函数7"(》)的大致图象，将函

数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果.

【详解】当%W1时，/(x)=(x+l)ex,当％G(-co,—1)时,/(X)<0,

当％e(—1,1]时,/(%)>0,所以/⑺在(一8,—1)上单调递减，在(-1,1]上单调递增，且f(X)min=A-D=一5

当％V0时，/(x)=xex<0.

当%>1时f'(x)=,当％G(1,2)时,/(%)<0,

2

当X6(2,+8)时，/(%)>0,所以/(%)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且f(x)min=/(2)=》

作出函数f(x)的大致图象，如图所示，

由图象可知，x=0是函数/'(X)的零点，要使函数9(久)=[/(X)]2-afO)有两个不同的零点，则方程[/(久)]2-

af(x)=0有两个不相等的实数根，等价于/(x)=a有1个非零实数根.

由图可知a=_£或0<a<亍或a>e,即a€{一3U(。,力U(e,+oo).

故选：C.

【点睛】此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，需要

会熟练应用导数判断单调性、求最值并作出函数的大致图象.

17

考点六、二分法的应用

中典例引领

1.(2023高三・全国•专题练习)用二分法求函数/(切=111(久+1)+%-1在区间(0,1)上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过n(neN*)次操作后,

区间长度变为京，若要求精确度为0.01时则/<0。1,解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

【详解】因为开区间(0,1)的长度等于1,每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过n(JieN*)次操作后，区间长度变为《，

令焉<0.01,解得几27,且n€N*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

2.(22-23高三•全国•对口高考)函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01,则对

区间(1,2)至少二等分()

A.5次B.6次C.7次D.8次

【答案】C

【分析】根据|a-b|<0.01以及二分法，确定至少需要的二等分的次数.

【详解】区间(1,2)的长度为1,第1次二等分，区间长度变为：；

第2次二等分，区间长度变为《；第3次二等分，区间长度变为《；第4次二等分，区间长度变为《；第5

2“2，2’

次二等分，区间长度变为《；第6次二等分，区间长度变为5>0.01,

2°2°

第7次二等分，区间长度变为/<0.01.

所以要使零点的近似值满足精确度为0.01,则对区间(1,2)至少二等分7次.

故选：C

1.(2023・辽宁大连•一模)牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数f(x)在勺附近

一点的函数值可用/(久)=f(xo)+f'(久0)(%-利)代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快

速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程比3-3x+l=0,选取初始值%o=g，在下面四个选

项中最佳近似解为()

18

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【分析】求出迭代关系为刈+1=灯-华=帘(々^可)，结合&=｝逐项计算可得出结果.

J@k)5Xk—5L

【详解】令/(%)=炉_3%+1,则/'(%)=3x2—3,

令fix)=0,即/'(配)+f,(xo)(x-x0)~0,可得生»x0-

迭代关系为力+1=绘一爆=打一与罟=窖3eN)，

2X-

取&=点则亚=需=12好-125

=五。0.34722,

3x(-31%2=许=3x^-3

故选：D.

2.(2023•广西・模拟预测)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，

给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方

程炉+2/+3久+3=0的近似解，先用函数零点存在定理，令fO)=必+2/+3%+3,f(—2)=-3<0,

/(-I)=1>0,得(—2,-1)上存在零点，取出=—1，牛顿用公式/=/-1一手嗯反复迭代，以Q作为

/(久)=0的近似解，迭代两次后计箕得到的近似解为；以(-2,-1)为初始区间，用二分法计算两次

后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

【答案】"-v

【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可.

【详解】已知/(%)=%3+2x2+3%+3,则/'(%)=3%2+4%+3.

迭代1次后，久]=_1_*=_

迭代2次后，x2=-|-^-i=,|_^L=_Z,

用二分法计算第1次，区间(一2,-1)的中点为一|,<0,

用二分法计算第2次，区间一1)的中点为—:/(-1)=g>0,所以近似解在

(一|,-[)上，取其中点值一日，所求近似解为一半

故答案为：—L一曰.

3.(23-24高三下•北京•阶段练习)函数f(x)=ln(2x)-1的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】先判断f(x)的单调性，结合零点存在性定理分析判断.

【详解】因为/(%)的定义域为(0,+8),且y=ln(2x),y=-：在(0,+8)内单调递增，

19

可知n>)在(0,+8)内单调递增，

且/'(1)=ln2-1<0,f(2)=ln4-1>0,

所以函数f(x)的唯一一个零点所在的区间是(1,2).

故选：B.

12.好题冲关

A基础过关

1.(2019高三・全国・专题练习)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()

【答案】C

【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案.

【详解】根据二分法的思想，函数/(K)在区间口可上的图象连续不断，且/(a)•/")<(),即函数的零点是

变号零点，才能将区间(a,6)一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各选项的函数图象分析可知，A,B,D都符合条件，

而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点.

故选：C.

2.(23-24高三下•福建厦门・强基计划)/(无)=tan比sin久-sin尤-tan比+1在[0,2同上的零点个数()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.

【详解】依题意，/(%)=tanxsinx—sinx—tanx+1—(tanx—l)(sinx—1),

而xe[0,2?t],显然x片彳且％H半，因此sinx^l,

由/'(%)=0，得tanx=1,解得x=*或x=3兀，

所以/(%)在[0,2可上的零点个数是2.

故选:B

20

3.(2024・陕西安康•模拟预测)函数/(久)=111%+%2—2的零点所在区间是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2.2)

【答案】C

【分析】由零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数八%)的定义域为(0,+8),又/'(x)=1+2久>0,易知函数在(0,+8)上单调递增，

又f(l)=—1<0/(2)=ln&=gln2>0,所以在(1,夜)内存在一个零点出,使/(&)=0.

故选：C.

4.(2024•江苏盐城•模拟预测)函数y=cos%与y=lg|%]的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.

【详解】函数y=cos%与y=lg|%|都是偶函数,其中COS2TI=cos4n=1,lg4n>IglO=1>lg2兀，

在同一坐标系中，作出函数丫=cos%与y=lg|%]的图象，如下图，

如

尸1g因尸COSXI

-4兀-2兀2n^3^4nx

由图可知，两函数的交点个数为6.

故选：D

5.(23-24高三下•江西•阶段练习)设函数/(x)=sin(23x+g)(3>0)在(0,巳)上有且仅有1个极值点和1

个零点，=0,则3=()

A.-B.-C.-D.-

3366

【答案】A

【分析】由/《)=0求出3的表达式，再由极值点及零点个数求出3的范围即可得解.

【详解】当》E(0,：)时，23%+gE(g,卷+(),依题意，兀<券+(工半，解得2V34

由/(万)=0,得3兀+g=k%kGN*,解得3=k-所以/C=3,3=*

故选：A

6.(22-23高三上・甘肃定西•阶段练习)已知函数/(久)=