江苏省苏州市吴中区某中学2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷【含答案】

江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年九上数学第一次月考试卷

选择题（共9小题）

1.如图，尸为NAOB边。4上一点，ZAOB=30°,。尸=10。〃，以尸为圆心，5c机为半径

的圆与直线08的位置关系是（）

2.下列说法中正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.圆心角相等，它们所对的弧也相等

C.平分弦的直径垂直于这条弦

D.等弧所对的弦相等

3.如图，在。。中，弦与直径相交于点E,连接。C,BD.若/ABO=20°,ZAED

=80°,则/COB的度数为（）

4.将半径为3的圆形纸片沿A8折叠后，圆弧恰好能经过圆心。，用图中阴影部分的扇形

围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）

5.如图，点A,2的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点，BC=1,

点M为线段AC的中点，连接OM,则的最大值为（）

A.V2+1B.V2+—c.2&+1D.272--

22

6.若点M(-2,ji),N(-1,y2),P(8,*)在抛物线>=工)2+2尤上，则下列结论正确

2

的是（）

A.ji<j2<y3B.j2<yi<y3C.y3<yi<y2D.y\<y3<yi

7.某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果

每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元,

可列出方程为（）

A.（40-x）（20+x）=1000B.（40-尤）（20+2x）=1000

C.（40-尤）（20-x）=1000D.（40-%）（20+4%）=1000

8.如图，RtZkOAB的顶点A（-2,4）在抛物线＞=办2上，将绕点。顺时针旋

转90°,得到△OCZ）,边C。与该抛物线交于点P,则点尸的坐标为（）

A.(V2,V2)B.(2,2)C.(企，2)D.(2,V2)

9.如图是二次函数y="2+fcc+cQWO）图象的一部分，对称轴是直线x=-2.关于下列

结论：①心<0;②启-4ac>0；③9a-3b+c<0；®b-4a=0；⑤方程0?+笈+。=。的两个

根为xi=O,X2=-4,其中正确的结论有（）

A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤

二.填空题（共8小题）

10.如图，OO的半径为1cm,弦A3、C。的长度分别为冽，1C",则弦AC、BD所夹

的锐角a=_________度.

R

11.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,/A=32°,点B、C在。。上，边AB、AC分

别交OO于。、E两点，点8是面的中点，则NA8E=.

12.如图，A、B、C是OO上的三点，且四边形OABC是菱形.若点。是圆上异于A、B、

C的另一点，则NAOC的度数是.

C

13.如图，在平面直角坐标系中，以点A(0,4)为圆心，4为半径的圆交y轴于点左已

知点C(4,0),点。为OA上的一动点，以。为直角顶点，在CD左侧作等腰直角三角形

14.如图，抛物线y=o?+bx+c(。>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线，若

点、P(4,0)在该抛物线上，贝!]4。-2b+c的值为.

15.已知m,n是方程?-2x-2021=0的两个根，那么机2+加〃+2〃=.

16.已知抛物线(a<0)的对称轴为x=-l,与x轴的一个交点为(2,0),

若关于尤的一元二次方程"2+a+c=p(p>0)有整数根，则p的值有个.

2

17.如图，平行于x轴的直线AC分别交函数yi=/(xNO)与*=­(尤20)的图象于以

3

C两点，过点C作y轴的平行线交yi的图象于点Q,直线DE〃AC,交”的图象于点E,

则理=_.

三.解答题(共5小题)

18.如图，在RtaABC中，NACB=90°,点E是BC的中点，以AC为直径的。。与A8

边交于点。，连接。E.

(1)判断直线。E与O。的位置关系，并说明理由；

(2)若CD=3,DE=»,求。。的直径.

2

19.请阅读下列材料，并完成相应的任务:

阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、

百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享

有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家.

阿拉伯AI-Binmi（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在

1964年根据AI-氏加加・译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定

理.

阿基米德折弦定理：如图1,AB和是。。的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），

BOAB,M是正的中点，则从M向BC所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，即CD

=AB+BD.

小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD=AB+BD,过程如下：

证明：如图2所示，在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.

是应的中点，C.MA^MC,…

任务：

（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；

（2）如图3,在中，3D=CD,DEL4C,若A8=4,AC=10,则AE的长度为；

（3）如图4,已知等边△ABC内接于OO,AB=8,。为众上一点，ZABD=45°,AE

于点E,求△BZJC的周长.

20.已知二次函数yi=/+6x-3的图象与直线”=x+l交于点A(-1,0)、点C(4,机).

(1)求yi的表达式和〃2的值；

(2)当时，求自变量x的取值范围；

(3)将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移

后的直线表达式.

21.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aWO)的对称轴为直线尤=-1,且抛物线经过A(1,

0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.

(1)若直线经过8,C两点，求直线和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使AM+MC的值最小，求点M的坐标；

(3)设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的

坐标.

22.如图，抛物线y=/+6x+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，直线/与抛物线交

于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式；

(2)尸是线段AC上的一个动点，过尸点作无轴的垂线交抛物线于E点，求线段尸E长

度的最大值；

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点凡使A、C、F、G这样的四个点为

顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的尸点坐标；如果不存在，

请说明理由.

参考答案与试题解析

选择题（共9小题）

1.【解答】解：过点P作尸于点。，

VZAOB=30°,OP=10cm,

：.PD=loP=5cm,

2

，以尸为圆心，5c用为半径的圆与直线03相切.

故选：C.

A

2.【解答］解：A、能够重合的弧是等弧，故说法错误，不符合题意；

8、在同圆或等圆中，圆心角相等则它们所对的弧相等，故说法错误，不符合题意;

C、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故说法错误，不符合题意；

。、等弧所对的弦相等，故说法正确，符合题意.

故选：D.

3.【解答］解：'：ZABD=2Q°,ZAED=80°,

AZD=ZAED-ZABD=80°-20°=60°,

：.ZCOB=2ZD=120°,

故选：c.

4.【解答】解：过。点作OC_LAB,垂足为。，交。。于点C,

由折叠的性质可知，工。4,

22

由此可得，在RtzXA。。中，NA=30°,

同理可得48=30°,

在△492中，由内角和定理，

得/AO8=180°-ZA-ZB=120°

弧AB的长为12°几义3=2口

180

设围成的圆锥的底面半径为r,

则2Ttr—2ir

r=1

...圆锥的图为,-12=2V5.

5.【解答］解：如图，

:点C为坐标平面内一点，BC=1,

；.C在。8上，且半径为1,

取。。=。4=2,连接CD,

\'AM^CM,OD^OA,

：.0M是AACD的中位线，

：.OM^^CD,

2

当最大时，即C。最大，而。，B,C三点共线时，当C在。8的延长线上时，OM

最大，

•：OB=OD=2,/BOD=90°,

:.BD=2瓜

.•。=2&+1,

0M==V2V，即OM的最大值为我+工;

2

故选：B.

6.【解答］解：无=-2时，y=Xc2+2x=Ax(-2)2+2X(-2)=2-4=-2,

-22

x--1时，y=—A-2+2X=—X(-1)2+2X(-1)=_1-2=--,

'2222

x=8时，y=A?+2x=Ax82+2X8=32+16=48,

22

：-2<-3<48,

2

•'•yi<y2<y3.

故选：A.

7•【解答】解：设每件应降价x元，

由题意，得(90-50-％)(20+2%)=1000,

即：(40-x)(20+2x)=1000,

故选：B.

8.【解答】解：:比△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,

；.4=aX(-2)2,

解得：<2—1

解析式为>=/,

•••RtaOAB的顶点A(-2,4),

；.OB=OD=2,

绕点。顺时针旋转90°,得到△OCD,

...CO〃x轴，

...点。和点尸的纵坐标均为2,

...令y=2,得2=/,

解得:x=±'R,

:点尸在第一象限，

...点尸的坐标为：(&,2)

故选：C.

9.【解答】解：：抛物线开口向下,

2a

••h~~4〃，cib>0,

...①错误，④正确，

:抛物线与无轴交于-4,0处两点，

.*.Z?2-4ac>0,方程a/+6x=0的两个根为xi=O,X2=-4,

②⑤正确，

:当x=-3时y>0,BP9a-3b+c>Q,

，③错误，

故正确的有②④⑤.

故选：B.

二.填空题（共8小题）

10.【解答】解：连接04、OB,0C、0D,

：。4=。8=0。=。。=1,AB=®,CD=1,

：.OA2+OB2=AB2,

AA0B是等腰直角三角形，

△C。。是等边三角形，

：.ZOAB=ZOBA^45°,/0DC=NOCD=60°,

,：ZCDB=ZCAB,ZODB=ZOBD,

；.a=180°-ZCAB-ZOBA-Z0BD=180°-AOBA-CZCDB+ZODB）=180°

45°-60°=75°.

11.【解答］解：如图，连接DC,

VZr>BC=90°,

.♦.OC是。。的直径，

:点B是令的中点，

：.ZBCD=ZBDC=45°,

在RtZXABC中，ZABC=90°,ZA=32°,

AZACB=90°-32°=58°,

AZACD=ZACB-ZBCD=5S°-45°=13°=AABE,

故答案为：13°.

•・•四边形。45C是菱形，

C.AB=OA=OB—BC,

・•・△AOB是等边三角形，

AZA£>C=60°,ZADrC=120°.

故答案为：60°或120°.

D

13.【解答］解：如图，设£(m,n),

过点。作bG〃工轴，过点E作防G,过点。作CG,尸G,

：.ZCGD=ZDFE=9Q°,

/.ZCDG+ZDCG=90°,

・・・ACDE是等腰直角三角形，

：.ZCDE=90°,CD=DE,

：・NCDG+NEDF=9U°,

：.ZDCG=ZEDFf

1.LCDG名LDEF(AAS),

/.DG=EF=4-XD9CG=DF=XD-m,

*.*n+4-XD=XD-m,

.•.切=生空土yD=xD~.=□二m9,

22

・D(m+n+4n-m+4

•・22’

・・•点。在以A(0,4)为圆心半径为4的圆上，

连接A。，则AO=4,

.・(m+n+4)2+(rrm+4_4)2=42

一22，

即(9+4)2+〃2=(4^2)2,

...点E在以点77(-4,0)为圆心，4加为半径的圆上，(到定点(-4,0)的距离是

4五的点的轨迹)，

:以点A(0,4)为圆心，4为半径的圆交y轴于点2,

：.B(0,8),

；.OB=8,

VC(4,0),

：.OC=4,

VOB2-K)C2=A/82+42=>

过点H作HK_LBC于K,

则NHKC=N8OC=90°,

■:/HCK=/BCO,

.,.△HCKsABCO,

二埋="即HK=8,

"OBBC’8475'

:.HK=\6辰,

5

设点E到BC的距离为/z,

:.SABCE=LBC•h=1又,

22

h最小时，S/\BCE最小，而h最小=HK-4加=当度-4加，

5

•\SABCE最小=2爬X(16遥-4&)=32-8713，

5

故答案为：32-8A/10.

14•【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是。，

:抛物线的对称轴过点（1,0）,与x轴的一个交点是尸（4,0）,

.,.与无轴的另一个交点。（-2,0）,

把（-2,0）代入解析式得：0=4a-2b+c,

；.4a-2b+c=0,

15.【解答】解：・・・根、〃是方程2021=0的两个根，

m+n=2,mn=-2021,m2-2m-2021=0,

.*.m2=2m+2021,

.*.m+mn+2n

=2m+2021+mn+2n

=-2021+2X2+2021

=4.

故答案为：4.

16.【解答】解：：抛物线>=以2+公+。（”<0）的对称轴为彳=-1

-上-=-1,解得b—2a.

2a

又：抛物线>=—+灰+。（a<0）与x轴的一个交点为（2,0）.

把（2,0）代入y=a/+bx+c得，0=4。+4。+。

解得，c--8Q.

•\y=ax2-^-2ax-8a(«<0)

2

对称轴h=-1,最大值左=4打(>a)-4a=-9a

令ax2+2ax-8a=0

即/+2x-8=0

解得x=-4或x=2

...当a<0时，抛物线始终与x轴交于(-4,0)与(2,0)

'.ajc+bx+c—p

即常函数直线y=p,由p>0

.,.0<yW-9a

由图象得当0<yW-9a时，-4<尤<2,其中尤为整数时，x=-3,-2,-1,0,1

一元二次方程cn2+bx+cup(p>0)的整数解有5个.

又•.”=-3与x—1,X—-2与x=0关于直线X--1轴对称

当尤=-1时，直线y=p恰好过抛物线顶点.

所以p值可以有3个.

故答案为3.

17.【解答】解：设A点坐标为(0,a),(a>0),

则解得无=«,

••点B(,a),

2

^—=a,

3

则

••点C（[3a，a）,

•・•”）〃丁轴，

工点O的横坐标与点。的横坐标相同，为届,

•'•yi=（V3a）2=3”，

・••点。的坐标为（■，3〃），

VDE//AC.

・••点E的纵坐标为3a,

2

=3〃，

3

・，・x=39

・•・点七的坐标为（3«,3〃），

:.DE=3^[^-V3a，

DE=3V^=3_

ABVa

故答案为：3-V3.

三.解答题（共5小题）

18.【解答】（1）证明：连接。。，如图，

・・•直径所对圆周角，

ZAZ)C=90°,

AZBDC=90°,三为5c的中点,

:・DE=CE=BE,

：.ZEDC=ZECD,

又.：OD=OC,

：.ZODC=ZOCDf

：.ZEDC+ZODC=9Q°,即NEDO=90°,

Z)E_L。。且OD为半径，

与。。相切；

(2)由(1)得，ZCDB=90°,

•：CE=EB,

:.DE=1BC,

2

:.BC=5,

22

:-BD=VBC-CD=V52-32=4'

'：ZBCA=ZBDC=9Q°,/B=/B,

：.ABCAsABDC,

•AC=BC

"CDBD，

•-•-A-C_-5,

34

：.AC=^-,

4

•••OO直径的长为至.

4

19.【解答】(1)证明：如图2所示，在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC®MG,

是位的中点，

：.MA=MC,

ZA=ZC,

在△MBA和△MGC中，

MA=MC

<ZA=ZC，

AB=CG

AMBA^AMGC(SAS),

；.MB=MG,

'：MD1BC,

:,BD=GD,

：.CG+GD=AB+BD,

即CD=AB+BD；

(2)解：如图3,连接B。、CD,在C8上截取CM=A3,连接A。、DM,

图3

vAD=AD>

AZB=ZC,

在△ABO和△MCD中，

AB=CM

,ZB=ZC，

BD=CD

AAABD^AMCD(SAS),

：.AD=DM,

u：DELAC,

：.AE=MEf

：.AB+AE=CM+ME=CE=AC-AE,

VAB=4,AC=10,

AAE=3,

故答案为：3；

(3)解：如图4,连接CD,

A

图4

VAABC是等边三角形，

：.AB=AC,

AAB=AC-

由阿基米德折弦定理，可得BE=ED+DC,

'：ZAB£>=45°,AB=8,ZAEB=90°,

：.BE=J^.AB=4y[2>

2

故△BOC的周长为：BC+BD+CD=BC+BE+ED+DC=BC+2BE=8+8圾.

20.【解答】解:(1)把A(-1,0)代入丫1得万=-2,

把C(4,m)代入丁2得，m=5.

所以yi=x2-2x-3.

答:yi的表达式为yi=f-2x-3和根的值为5.

根据图象可知：当时，自变量x的取值范围是-1或x>4.

答：自变量元的取值范围是xV-1或%>4.

(3)设直线AC平移后的表达式为y=x+Z,

得：x2-2x-3=%+左，

令△=0,解得k=-21.

4

答：平移后的直线表达式为〉=犬-号.

21.【解答】解：(1)抛物线的对称轴为直线％=-1,且抛物线经过A(1,0),

故点3的坐标为(-3,0),

设抛物线的表达式为y=a(x-xi)(x-X2)—a(尤-1)(x+3)—a(无2+2x-3),

将点C坐标代入上式得：3=。(-3),解得。=-1,

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

由题意得5(-3,0),

把8(-3,0),C(0,3)代入y=mx+及得:!n=3，解得［m=l,

I0=-3m+nIn=3

直线的解析式为y=x+3；

(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.

把尤=-1代入直线y=x+3得y=2,故M(-l,2),

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)；

(3)设尸(-1,力，B(-3,0),C(0,3),

则BC2=18,PB2=(-1+3)2+r=4+r,PC1=G-3)2+l,

若点B为直角顶点时，则BC