辽宁省2025届高三年级上册期中质量监测数学试题（含答案）

辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合&={1,2,3},集合8={2,4},则(CM)CB=()

A.0B.{2}C.{4}D.{2,4}

2.若p:-l<x<2,q-.-l<x<1,则p为勺的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D,既不充分又不必要条件

3.幕函数y=/(乃的图象经过点(2也,2),则/Q)=()

1111

A.-ZB.—4C.-oD.—lo

4.已知复数z=节3，万是z的共辗复数，贝吻-z=

5—I

11

A.~B.——C.1D.-1

5.如图所示，已知x轴上一点2(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过。角

(0<e<7T),经过2秒钟点4在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角。的弧度数为()

6.在正方形4BCD中，BC-DC+AB=()

A.BDB.DBC.ADD.DA

1

7.已知函数/(%)为偶函数，且％20时，/(x)=x+-sinx,则关于％的不等式/(%)>/(2]-1)的解集为

A.{x|l<x<3}B.{x\x<1}

C.{x\x</或%>1}D.{%停<%<1]

8.已知函数/(%)=sin2%+cos%下列结论中错误的是()

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A./（久）是偶函数B.函数/（%）最大值为]

TT

C.貌函数/（尤）的一个周期D.函数/（%）在（0可）内是增函数

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知小，门是两条不同直线，a,£是两个不同平面，下列命题中错误的是（）

A.若nca,贝!]m〃a

B.若mua,riua且n//p,贝！|a〃S

C.若m1a,几〃£且0：〃0,则m1n

D.若a1/?,aC6=I,mua,mil,则ni1§

10.下列计算中正确的是（）

A.^sinl5°—^cosl5°=-乎B.sin20°cosl0°—cosl60°sinl0°=

C.sin*一4cos^=一也D.sinl05°=亚："

11.已知圆锥P。的轴截面P4B是等边三角形，AB=4,M是圆锥侧面上的动点，满足线段PM与4M的长度

相等，则下列结论正确的是（）

A.存在一个定点，使得点M到此定点的距离为定值

B,存在点M,使得PM1AM

C.存在点M,使得乙4MB=60。

D.存在点M,使得三棱锥P-2M8的体积为竽

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某物体做直线运动，位移y（单位：机）与时间t（单位：s）满足关系式y=2〃+1,那么该物体在t=2s时

的瞬时速度是m/s.

13.如图，在三棱锥4-BCD中，底面边长与侧棱长均为a,点M,N分别是棱4B,CD上的点，且

MB=2AM,CN=^ND，则MN的长为.

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14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的樟卯结构，它的外观是如图所示的十字

立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90。榨卯起来.若正四棱柱

的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为

(容器壁的厚度忽略不计，结果保留兀)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知数列｛册｝满足的=1,a2=3,数列｛bn｝为等比数列,且满足列(an+i-an)=原+i.

(1)求数列｛an｝的通项公式;

(2)数列也｝的前几项和为S”若,记数列｛4｝满足cn=眈；;褊爵:求数列｛4｝的前如项和T2n.

在①2s2=$3-2,@b2,2a3,久成等差数列，③56=126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对

其求解.

16.(本小题15分)

某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了80k(k6N*)人，若被

抽查的男生与女生人数之比为5:3,男生中喜欢足球的人数占男生的2女生中喜欢足球的人数占女生的！

经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.

(1)请完成下面的列联表，并求出k的值；

悍欢足球|不喜欢足球|合计

踞

阿

而

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取4人，记其中喜欢足球的人数为X,求X的

分布列及数学期望.

附：/=9+6)(：黑程)3+到其中n=口+b+c+d-

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P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

17.(本小题15分)

在平行六面体ABC。—4/1的。1中，AB=AC,平面即停停1底面力BCD,点M是线段44i的中点，点尸是

线段BC的中点.

(1)求证：47/平面MBCi；

(2)求证：AF1DD4

18.(本小题17分)

已知函数/'(%)=(x2—2x)lnx+ax2+2,g(x)=f(x)—x—2.

(1)当a=—1时，求〃>)在(1/(1))处的切线方程；

(2)若a>0且函数。(久)有且仅有一个零点，求实数a的值；

(3)在(2)的条件下，若e-2<x<e时，g(x)W?n恒成立，求实数6的取值范围.

19.(本小题17分)

已知函数/(久)=kex+(lnx)2—x,其中k>0.

(1)当k=1时,证明：/(%)>0;

(2)若对任意x£(0,+8),都有f(x)>(%+lnk)2,求k的取值范围.

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参考答案

1.C

2.C

3.5

4.C

5.C

6.C

7.0

8.C

9sB

10.ABCD

11.50

12.8

13.亨a

14.84兀

15.解：(1)b„(an+i—an)=g+1，的=1,a2=3,

令?i=1,2bl=b2,

又数列｛4J为等比数列，[6„+1=2勾，

.■.an+1-an=2,；.数列｛即｝是以1为首项，2为公差的等差数列,

•••an=2n—1；

(2)由⑴知数列也｝为公比为2的等比数列,

若选(J)2s2=S3—2,则2(历+2Z>i)=历+2历+4/)i—2,

n

•••b1=2,•••bn=2；

若选②82，2a3,毛成等差数列,则4a3=82+84,

n

•••2bl+8b1=20,bi=2,bn=2；

若选③56=126,则当手="6,

n

•••bi=2,「•bn=2,

,_[2九一1,九为奇数

•・%=3,71为偶数，

•••数列｛0｝的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，

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偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，

•••T2n=(。1+。3-----1"a2n-l)+(力2+力4+…+九)

=几+中X4+华善=2*f+隼3

Z1—43

16.⑴

解：由题意，得到2X2的列联表,

喜欢足球不喜欢足球合计

男生30k20k50k

女生10k20k30k

合计40k40k80k

将数值代入公式可加2的观测值为/=5黑黑<=竽，

因为有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关，可得3.841<

-1Gk

詈<6.635,解得0.72<k<1,244,

因为k£N*,所以k=1.

(2)

解：由(1)知，样本的男生中喜欢足球的频率为右

用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为|,则X〜8(4,|),

可得P(X=0)=嫉|)°胡=蔑,P(X=1)=以针针=券,P(X=2)=Cl(|)2(|)2=|i|,P(X=3)

©针=建，「侬=4)=「怎4(|)°=挑,

则X的分布列为

X01234

169621621681

P

625625625625625

所以期望为EX=4x|=『

17.(1)取BCi的中点G,连接MG、GF

在4BCC1中，

G为线段BQ的中点；F为线段BC的中点

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•••FG[|cCi

•••在平行六面体ABCD—&BiCiDi中

AA!!CCi

又•:点M是线段A4i的中点

AM〃jtCi

•••FG[AM

四边形FGM4为平行四边形

AF〃MGAFC平面MBCiMGu平面

4F〃平面M8C1；

(2)在44BC中，AB=AC,点尸是线段BC的中点

AF1BC又•.•平面B81cle1底面2BCD,平面BB©。C底面ABCD=BC,AFu平面ABC

AF1平面BBiCQCQu平面BB©C

AF1CCr

•••在平行六面体4BCD—AiBiCiDi中，CC、“DD\

•••AF1DDi

18.(1)

当a=-1时，/(%)=(x2—2x)lnx-x2+2,x>0,

f'(x)=(2x—2)lnx+(x—2)—2x=(2x—2)lnx—x—2,

所以r(1)=—3,又f(l)=l,

所以切线斜率k=-3,且经过点(1,1),

所以切线方程为y-l=-3(x-l),即3x+y-4=0；

(2)

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令9(%)=/(%)—%—2=0,贝!!(第2—2汽)1九%+ax2—x=0,

即0=1一(久一2)10,

X

设h(x)=2g久>0,

则”(久)=~2inx~x+1,

设力(%)=—2\nx—x+1,%>0,则t'(%)=---1<0恒成立，

所以t(%)在(0,+8)上单调递减，

又t(l)=0,所以当0<%Vl时，t(x)<0,即//(%)<0,无(%)单调递减，当％>1时，t(x)>0,即//(%)

>0,/i(%)单调递增，

所以h(%)max=九⑴=1>0,

又九(工)=1—e<0,h(e2)=5~^e<0,且a>0,

所以当函数g(%)有且仅有一个零点时，a=1；

(3)

由(2)得a=1,g(x)=(%2—2x)lnx+x2—x=0,e~2<x<e,

g'(x)=(2x—2)lnx+3x-3=(%—l)(21nx+3),

3

令<?'(%)=。，解得%=1或久=?一区，

所以g㈤在(e，eT)和(l,e)上单调递增，在卜一1,1)上单调递减，

所以比=之时，g(x)取极大值为g(ef=-1e-3+2e-l,

又g(e)=2e2-3e>g(e-E),

2

所以当。-2<%<e时，g(x)<2e-3ef

又g(%)<TH恒成立，所以m>2e2-3e.

19.解：(1)证明：当时，f(x)=e'T+(lnx)2—x,所以尸(x)=〃一1+竿—1,

当xG(0,1)时，ex~1<l,Inx<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,

当xe(1,+8)时，ex-1>