宁夏回族自治区银川某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试 数学试卷（含解析）

宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试

数学试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

x2y21

----1------1

1.椭圆716的焦点坐标为（）

A.(0,±3)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(±4,0)

2.直线x—2y+l=0的一个方向向量是（)

A.(2,1)B.(1,2)C.(2,-1)D.(1,-2)

3.若平面a的一个法向量为（1,2,0）,平面广的一个法向量为（2,-1,0）,则平面a和平面广的位置关系

是（）.

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

4.已知双曲线C:二—《=1伍〉0小〉0）的一条渐近线方程是y=-也工，实轴的长度为26，则双

ab3

曲线C的标准方程为（）

丫2

A.—-y2=lB.-----y2=1

3'2

c一LDV人1

■3223

5.已知圆（X—1）2+5—1）2=/经过点尸（2,2）,则圆在点P处的切线方程为（）

A.x+y—4=0B.x+y=0

C.x-y=OD.x-y-4=0

6.已知椭圆・+{=1®〉b>0）的左、右焦点分别是匕下2,焦距为2c,若直线y=V3（x+c）与椭圆交于M

ab

点,且满足/MFIF2=2/MF2FI,则椭圆的离心率是

A.—B.V3-1C.@口D.—

222

7.已知椭圆£：工+匕=1,过右焦点厂且倾斜角为45°的直线交椭圆E于A、B两点,48设的中点

248

为M,则直线加的斜率为（）

[C

A.-3B.——C.--D.-J3

33

8.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，

被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点《、月的椭

圆「与双曲线。构成，现一光线从左焦点片发出，依次经。与：T反射，又回到了点片，历时4秒；若将

装置中的。去掉，如图②，此光线从点片发出，经「两次反射后又回到了点《，历时4秒；若右=8小

则「与。的离心率之比为（）

A.3:4B.2:3C.1:2D.1：V2

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，正方体/BCD—44CQ1的棱长为1，E为54的中点，尸为的中点，则（）

A.DE±AXBB.直线"7/平面Z5CD

C.直线BF与平面ABBXAX所成角的正切值为75D.点8到平面4CD的距离是孝

10.已知圆C：（%—2），/=4,直线/：（m+l）x+2v-3-m=0（meR）,贝U（）

A.直线/恒过定点（1,1）

B.存在实数小，使得直线/与圆C没有公共点

C.当机=-3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆一2x+8y+l=0恰有两条公切线

22

11.已知椭圆C:=+与=1（。〉6〉0）的左、右顶点分别为43,左、右焦点分别为片，鸟,p是椭圆C

ab

上异于48的一点，且|。周=\OP\=\PF2\（。为坐标原点）,记PA,PB的斜率分别为左状2，设/为APF\FZ

的内心，记“尸片,△叱,△坊鸟的面积分别为£,$2，S3,则（）

A.PF.-PR=0B.C的离心率为必

-2

C.桃2=3-2百D.S}+S2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.双曲线匕-土=1上一点尸到它的一个焦点的距离等于3,那么点尸与两个焦点所构成的三角形的周

6436

长等于.

13.已知过定点/（-2,0）的动圆M与定圆8：（》-2）2+/=36相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为

14.设椭圆二+4=1（。〉6〉0）的两焦点为《，鸟.若椭圆上存在点尸，使/原典=120°,则椭圆的

a'b"

离心率e的取值范围为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.已知。。：》2+y2+9+份—12=0关于直线》+2＞）；-4=0对称，且圆心在歹轴上.

（1）求。。的标准方程;

（2）已知动点M在直线＞=x-5上，过点M引。。的切线M4,求的最小值.

22万

16.已知椭圆，+方=1伍〉6〉0）的长轴长为2后，离心率e=三，过右焦点尸的直线/交椭圆于

P、0两点.

（1）求椭圆的方程.

（2）当直线/的斜率为1时，求△尸。。的面积.

17.如图，四棱锥P—453的底面48c。是平行四边形，PA1AD,PB=275,AB=2,PA=BC=

4,N45C=60°,点E是线段2C（包括端点）上的动点.

BEC

（1）若BE=LBC,求证：平面尸2£，平面PED；

2

（2）平面尸和平面48。的夹角为a,直线2c与平面PED所成角为广，求a+"的值.

18.已知双曲线C的方程为1―二=1（。〉0/〉0）,实轴长和离心率均为2.

ab~

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）过£（0,2）且倾斜角为45。的直线/与双曲线C交于〃,N两点，求两•砺的值（。为坐标原

点）.

19.设椭圆C：2r=l（a〉b〉0）的右顶点为A,离心率为一，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半

ab2

轴长为半径的圆与直线x+y-指=0相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线x=-2上两点N关于x轴对称，直线与椭圆C相交于点2（8异于点/）,直线

8N与x轴相交于点。，若△2〃。的面积为W1,求直线4W的方程；

3

（3）P是N轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点厂和点尸的直线/与椭圆C交于G,X两点，求

\PG\+\PH\拈什申

----------的取值氾围.

宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试

题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.椭圆716的焦点坐标为（）

A.（0,±3）B.（0,±4）C.（±3,0）D.（±4,0）

【答案】A

【解析】

【分析】椭圆焦点在歹轴上，再根据基本量之间的关系求解即可.

【详解】由题,c=716^7=3，又焦点在歹轴上,故焦点坐标为（0,±3）.

故选：A

【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量与基本概念，属于基础题.

2.直线x—2y+l=0的一个方向向量是（）

A.（2,1）B.（1,2）C.（2,-1）D.（1,-2）

【答案】A

【解析】

【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.

【详解】在直线工一2了+1=0上取点幺（—1,0）、5（1,1）,

故直线x—2y+1=0的一个方向向量为罚=（2,1）.

故选：A.

3.若平面a的一个法向量为（1,2,0）,平面广的一个法向量为（2,-1,0）,则平面a和平面广的位置关系

是（）.

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

【答案】c

【解析】

【分析】

根据两平面法向量的垂直关系可判断两平面的位置关系.

【详解】•••平面a的一个法向量为VI=（1,2,0）,平面广的一个法向量为％=（2,-1,0），

UIu

-v2=lx2+2x(-l)+0x0=0,

•F>2，

•••平面a_L平面

故选：C

V2A

4.已知双曲线C：J=1（。〉0力〉0）的一条渐近线方程是歹=—号工，实轴的长度为2百，则双

a

曲线C的标准方程为（）

r2

A.—-/=1B.----y2=1

3.2

2222

C,匕-匕=1D,匕-匕=1

3223

【答案】A

【解析】

【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可.

22_

【详解】因为双曲线C:二—与=1（。〉04〉0）实轴的长度为2K，

ab

所以a=G，因为双曲线的一条渐近线方程是y=-^x，

所以一冬=-走，解得6=1,故双曲线C的标准方程为片―y2=l,故A正确.

V333.

故选：A

5.已知圆（x—1）2+（y—l）2=/经过点尸（2,2）,则圆在点P处的切线方程为（）

A.x+jz-4=0B.x+y=0

C.x-y=OD.x-y-4=0

【答案】A

【解析】

【分析】首先求/的值，然后求圆心坐标，接着求圆心C与点尸连线的斜率左°,最后求圆在点尸处的切

线方程.

【详解】因为圆(X—1)2+0—1)2=户经过点尸(2,2),

将点次2,2)代入圆的方程可得：(2—iy+(2—I)?=r.即1+1=/,所以/=2，

则圆的方程为(x-I)2+(y—Ip=2.

对于圆(x-a)2+(y-6)2=/,其圆心坐标为(a,6),所以此圆的圆心C(l,l).：

根据斜率公式左=上星,这里尸(2,2),则左=3=1.

2-1

因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为勺和左2,则左色=-L

己知左°=1，所以切线的斜率左=—1.

又因为切线过点尸(2,2),根据点斜式方程＞—为=左(%一%)(这里/=2,为=2,左=—1),

可得切线方程为y_2=_(x—2).整理得x+y-4=0.

故选：A.

22

6.已知椭圆二+2=1的左、右焦点分别是匕马焦距为2c,若直线y=V3(x+c)与椭圆交于M

ab

点,且满足/MFIF2=2/MF2FL则椭圆的离心率是

A.—B.6-1C.GTD.—

222

【答案】B

【解析】

【分析】依题意知，直线g=V^(x+c)经过椭圆的左焦点Fi(-c,0),且倾斜角为60°,从而知

NMF2FI=30°,设|MF/=x,利用椭圆的定义即可求得其离心率.

y=VJ(x+c)

22

..,椭圆的方程为=+[=1伍>6>0)，作图如右图：

ab~

:椭圆的焦距为2c,

直线g=V^(x+c)经过椭圆的左焦点Fi(-c,0),又直线g=Vi(x+c)与椭圆交于M点,

，倾斜角NMFIF2=60°,又NMFIF2=2NMF2FI，

AZMF2F1=30°,

O

/.ZF.|MF2=90.

设|MF/=x,贝=,F1F2|=2C=2X,故*=以

/.|Mf；|+|A^|=(V3+l)x=(V3+1)c,

又|MFi|+|MF21=2a,

；.2a=(6+1)c,

该椭圆的离心率e=-=一一=V3-1.

aV3+1

故选B.

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直

线g=Vi(x+c)经过椭圆的左焦点Fi(-c,o)是关键，属于中档题.

7.已知椭圆£：三+二=1,过右焦点尸且倾斜角为45°的直线交椭圆E于A、2两点，48设的中点

248

为M,则直线。河的斜率为()

A.—3B.—X-/.----D.-

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆标准方程可得焦点尸的坐标，进而得直线方程.联立椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公

式可得中点M的坐标，即可得直线0M的斜率.

【详解】椭圆的标准方程为E:二+^^=1

248

所以半焦距c=&2_庐=724^8=4，即右焦点坐标为尸（4,0）

过右焦点F的直线倾斜角为45°,即斜率k=tan450=1

所以直线方程为y=x-4

y=x-4

联立直线方程与椭圆方程《X2y2，化简可得必-6x+6=0

—+--=1

〔248

设直线与椭圆两个交点2（西,必）、B（x2,y2）

则由韦达定理可得须+工2=6

则为+/-4+―4=—2

由中点坐标公式可得48中点“（3,-1）

-11

则直线OM的斜率为一=―-

33

故选:B

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，中点弦问题的解法，属于基础题.

8.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，

被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点片、月的椭

圆「与双曲线。构成，现一光线从左焦点片发出，依次经。与：T反射，又回到了点片，历时4秒；若将

装置中的。去掉，如图②，此光线从点片发出，经「两次反射后又回到了点片，历时方2秒；若/2=甑，

则「与。的离心率之比为（）

图①图②

A.3:4B.2:3C,1:2D.1;72

【答案】A

【解析】

【分析】设上勾=2c，设椭圆「的长轴长为2%,双曲线。的实轴长为2%,设光速为V,推导出

4

q=2v%,利用椭圆和双曲线的定义可得出,=不，由此可计算得出「与Q的离心率之比.

出3

【详解】设上勾="设椭圆「的长轴长为2%,双曲线。的实轴长为2%,

在图②中，KDF［的周长为|C胤+|。片|+|CD|=|普|+15|+⑷用+|。阊=4%=vt2,

所以，4%=8%,可得ax=2%,

在图①中，由双曲线的定义可得|/阊—M用=2出，由椭圆的定义可得忸片|+忸用=2%,

上阊=忸阊一|4司,则|4闾—以用=|典卜|/同—周=2%—忸耳日/上一以胤=2%,

即2%—+\AFy|+\BFy°=2a2,

由题意可知，"BF［的周长为用+|/用+忸片|=%,即2a夕=2%-△/=2%一5=^~，

a4

所以，一}=~.

23

因此，「与。的离心率之比为，：02=£：£=%吗=3:4.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、。的值，根据离心率的定义求解离心率e的值;

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，正方体48。。—481GA的棱长为1，E为84的中点，尸为CG的中点，则()

A.DE1AXBB,直线£户〃平面4BCD

C.直线BF与平面4BB4所成角的正切值为芯D.点8到平面4CD的距离是孝

【答案】ABD

【解析】

【分析】依题意可得到为等边三角形，又E为84的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理

证明B；用线面角的定义可知NG3厂为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D.

【详解】解：对于A,=后，BD=亚,43=也，，为等边三角形，又石为54的中

点，所以故A正确;

对于B,取48中点“，连接EH,CH,EF,可知昉7〃4且成/=；么4，

XCF//AA.KCF=-AA,

2

所以EH//FC且EH=FC,所以四边形E/7C下是平行四边形，.•.£尸//AC,

又跖仁平面48CD,HCu平面45C。，.•.斯〃平面48CD,故B正确；

对于C,取85]的中点G,连接尸G,则EG〃8C,因为3C,平面48与4，

所以EG,平面/8与4，

所以AF与平面ABBXAX所成的角为/GBP,

,「CLGF1c

ll,.tan2_GBF==--=2,,、口

所以BG£，故C错误；

2

对于D,设点8到平面4C。的距离为力，利用等体积法知〃即

-x-xlxlxl=-x—xlxV2x/!,解得k=^3L,故D正确；

32322

故选：ABD

10.已知圆C：(x-2)2+j2=4,直线/：(m+l)x+2j-3-m=0(meR),则()

A.直线/恒过定点(U)

B.存在实数〃?，使得直线/与圆C没有公共点

C.当机=-3时，圆C上恰有两个点到直线I的距离等于1

D.圆C与圆炉-2x+8y+1=0恰有两条公切线

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出直线/过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断

圆与圆的位置关系判断D.

%—1=0[x=1

【详解】对于A,直线/的方程为(x-l)机+x+2y—3=0,由＜°.八，得，，

x+2y-3=0=1

直线/过定点(1,1),A正确；

对于B,又(1-2『+12=2＜4,即定点(-M)在圆C内，则直线/与圆C相交，有两个交点，B错误；

|2-0|f-

对于C,当根=—3时，直线/：x-y^Q,圆心C(2,0)到直线/的距离为J2,

而圆C半径为2,且2-行＜1，因此恰有2个点到直线/的距离等于1,C正确；

对于D,圆x?+「-2x+8y+1=0化为+(j+4)-=16,

圆//一2工+8y+1=0的圆心为(1,-4),半径为4,

两圆圆心距为4—2=2<d'=7（1-2）2+（-4-0）2=V17<6=4+2,

两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确

故选：ACD.

11.已知椭圆C:二+鼻=1伍〉6〉0）的左、右顶点分别为48,左、右焦点分别为片，鸟，。是椭圆C

ab

上异于A,B的一点，且制=|。尸］=］「与|（。为坐标原点）,记PA,PB的斜率分别为3左2，设/为"6

的内心，记△/阿，△叱,△与用的面积分别为S］,S2，S3,则（）

C的离心率为必

A.尸耳.尸鸟=0B.

2

SS=^S.

C.左］左2=3-2,^3D.l+2

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,由题意点P在以大鸟为直径的圆上,由此即可判断A；对于B,由离心率定义结合正弦

定理即可判断；对于c,由斜率公式结合离心率即可验算；对于D,由。的关系以及这三个三角形的高一

样即可验算.

因为周=|。尸］=|尸用，所以A。即为正三角形，且点尸在以片片为直径的圆上,

所以尸£，尸乙，即两.而2=0,故A正确.

不妨设尸

.兀

sm—

Q2c国FI

则C的离心率为一二—=।­।1|2_।2故B错误.

.兀.兀

a2a阀1+1叫smFsin—

63

V36n32

—c—0

I"r_3c2_3e2

左色=------

cCc12C2-4a2e2-4

-----FCl---a----a

22------4

3（4-2码

=3—2百，故C正确.

_4—2y/3

设△尸片片的内切圆半径为r,则SI=?附|应=1质同=］阳阊，

S+S2=gr（|尸图+|咋|）=1,1V3+1

—r2a=ra=—,=——rc=-----rc，

2V3-12

S,=^r\FxF^=^r-2c=rc,所以s1+S2=,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是得出△。因为正三角形，且点P在以片鸟为直径的圆上，由此即

可逐一判断各个选项，进而顺利得解.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.双曲线2L—二=1上一点尸到它的一个焦点的距离等于3,那么点尸与两个焦点所构成的三角形的周

6436

长等于.

【答案】42

【解析】

【分析】求双曲线的定义求出点尸到另一个焦点的距离，即可求解

【详解】双曲线匕—±=1的。=8,6=6,则c=10,

6436

设尸到它的上焦点片的距离等于3,

由于3＞。一。=2,3＜。+。=18,

则尸为上支上一点，

则由双曲线的定义可得归闾-|P周=2。=16,（乙为下焦点）.

则有|尸闾=16+3=19,

则点P与两个焦点所构成三角形的周长为忸国+1尸与|+闺月|=3+19+20=42.

故答案为：42.

13.已知过定点/(-2,0)的动圆M与定圆8：(x-2)2+y2=36相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为

22

【答案】—+^=1

95

【解析】

【分析】根据两圆位置关系可得|，|+|〃3|=6>以同，结合椭圆定义求方程即可.

【详解】因为圆3:(x-21+/=36的圆心为6(2,0),半径r=6,

设动圆M的半径为R,

显然点出一2,0)在圆2内，则R=|〃41MBi=,R=6—R,

可得|M4|+\MB\=6>A=\AB\,

可知动圆M的圆心M的轨迹是以4台为焦点的椭圆，

则。=3,c=2,b2=a2-c2=5,所以动圆的圆心的轨迹方程为工+2=1.

95

故答案为：—+^=1.

95

22

14.设椭圆二+与=1(。〉6〉0)的两焦点为《，鸟.若椭圆上存在点尸，使/片尸鸟=120。，则椭圆的

ab

离心率e的取值范围为.

【答案】冬1

【解析】

【分析】设|"|=切，|尸耳|=〃，根据椭圆性质和余弦定理得到4c2=(机+〃)2—机〃，利用均值不等式

得到/之一，解得答案.

4

【详解】设|尸娟二加，|尸耳卜〃，则加+〃=2a,4C2=m2+n2-2mncos120°，

2

即4c=(加+-mn,

2a=m+n>2dmn，即mn<a2，当且仅当m=n=a时等号成立，

3反

故4c②=(机+〃)一一机〃23片,即e?N—,——<e<1.

v742

故答案为：4^1

,7

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.已知。。：/+了2+»；+为；—12=0关于直线x+2y—4=0对称，且圆心在歹轴上.

(1)求。。的标准方程；

(2)已知动点/在直线y=x-5上，过点M引。。的切线M4,求的最小值.

【答案】(1)X2+(J-2)2=16

⑵

2

【解析】

【分析】(1)利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可.

(2)结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即

可.

【小问1详解】

因为圆的方程为/+/+以+或-12=0,

所以圆心坐标为(-T,-。)，由题意得圆关于直线x+2了-4=0对称，

DF

故x+2歹—4=0是圆的直径，即(―§,—万)在直线x+2y—4=0上，

得到—2—£-4=0,而圆心在歹轴上，故—2=0,解得。=0,

22

代入到—9—£—4=0中，得到—£—4=0,解得£=—4,

2

故圆的一般方程为X2+/-4J-12=0,

我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为/+(y-2)2=16,

【小问2详解】

首先，V=%-5可化为x—y—5=0,

如图，作且记直线x—y—5=0为/,

由勾股定理得|M4『+16=|Cwf,故|儿例=而彳］金,

当最小时，|CA/『一定最小，|M4|也一定最小，

由平面几何性质得当CW，/时，|C"|取得最小值，

由点到直线的距离公式得3『目=常半

故巧|.=

IImin

22万

16.已知椭圆・+a=1伍〉6〉0)的长轴长为2行，离心率e=三，过右焦点少的直线/交椭圆于

P、0两点.

(1)求椭圆的方程.

(2)当直线/的斜率为1时，求△尸。0的面积.

f2

【答案】⑴—+/=1⑵-

2,3

【解析】

6丫2

【详解】试题分析：(1)由题意可得2a=2&，e=手，从而解出椭圆方程］+/=1；

x1+2y2=2

(2)设直线1的方程为y=x-1,从而联立方程」，从而解出交点坐标，从而求面积;

y=x-l

解析：

(1)由已知，椭圆方程可设为三+4=1(。〉6〉0),

ab

•••长轴长为2&，离心率e=三，

a=y/2>b=c=l,

V2

故所求椭圆方程为土+y2=1.

2"

（2）因为直线/过椭圆右焦点厂（1,0）,且斜率为1,

所以直线/的方程为y=x-l,设尸（XQJ,Q（x2,y2）,

x?+2y2=2.1

由,W3/+2j-l=0,解得％=—1,j=-,

y=x-l23

••・S/00=?|。斗乂-匕％=|-

17.如图，四棱锥P—453的底面/BCD是平行四边形，PALAD,PB=2y[5,AB=2,PA=BC=

4,N48C=60°,点E是线段3c（包括端点）上的动点.

P

（2）平面PED和平面4BCZ）的夹角为a,直线与平面PED所成角为广，求£+，的值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

2

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理，再结合面面垂直的判定定理即可求解；

（2）如图，以A为原点，以48,ZC,4P所在直线为x轴，N轴，z轴建立空间直角坐标系，设

BE=25C（0<2<1）,E（a,b,Q）,利用向量法求出平面PED和平面4BCD的夹角的余弦值，直线3c

与平面PED所成角的正弦值，即可求解.

【小问1详解】

因为N8=2,PA=4,PB=2yf5

所以ZB?+尸/2=必2,即尸

又PALAD,ABcAD=A,平面ABC。，

所以尸平面幺BCD,又。Eu平面Z5C。，

所以尸Z，£>£,

若BE=gBC,则由题意得AE=2,NEAD=60°,4D=4,

所以。加=22+42—2x2x4xL12,

2

所以DE1+AE2=AD'，即4E，，

又P4n4E=A,P4NEu平面p/E,

所以DEL平面尸4E,又DEu平面尸ED,

所以平面PAE1平面PED.

【小问2详解】

AB=2,BC=4,/ABC=60°,所以ZC?=2?+42一2x2x4x；=12,

所以AgZ+ZC?=8。2,即Z81ZC,

又由（1）知「N_L平面48c。，

如图，以A为原点，以48,ZC,4P所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

所以5(2,0,0),C(0,26,0)'BC=(-2,250),

设屉=)丽O&XWl),E(a,b,o),

则伍一2,40)="一2,26,0)，

。=2-22

所以｝_2届，所以£(2—242640),

尸(0,0,4),。(-2,26,0),4(0,0,0)

方=（0,0,4）为平面/BCD的法向量,

PE=(2-22,2V32,-4),丽=(-2,2后-4),

设平面PED的法向量为m=（x,y,z），

PE-m=(2-22)x+2y[3Ay-4z=0

则《一

PDm-—2x+2y/3y-4z-0

可取而=(273(1-2),4-22,73)，

平面PED和平面ABCD的夹角为a,

,一、\m-AP

所以cosa=cos(m,AP)=-~■,-----

'/\nMAP

___________4V|_________V3

4112(1—/Ip+4(2—4)2+371622-402+31

直线BC与平面PED所成角为广，

।一।\BC-m\

所以sin/=cosBC,m=|_.卜]

1*15C|m|

V4+12^12(l-2)2+4(2-2)2+3V1622-402+31

所以cosa=sin/?,

兀

因为ae[0,7i],〃e0,-,

71

所以々+/=万.

18.已知双曲线。的方程为4=l（a〉0,b〉0）,实轴长和离心率均为2.

ab

（1）求双曲线。的标准方程及其渐近线方程；

（2）过£（0,2）且倾斜角为45。的直线/与双曲线。交于M,N两点，求而.而的值（。为坐标原

点）.

【答案】（1）X2—=1,y=土6X；

（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解见仇。，即可求解方程，

（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.

【小问1详解】

由离心率e=9=2,又°2=/+人2,则高=3力,

a

又长轴长2a=2,所以/=],所以5?=3，

故双曲线的标准方程为/—匕=1；

3

其渐近线方程为y=土岛.

【小问2详解】

•••直线/的倾斜角为45°，故其斜率为1，又/过点E（0,2）,

，/的方程为y=x+2；

设V（西,必）川（马,%）,

y=x+2

由＜2/得2/_4x-7=0,

x----=1

3

c7

%+%2=2,xrx2=--

:.OMON=XjX2+yxy2=XjX2+（西+2）（%+2）=2x1x2+2（x；+x2）+4=1

221

19.设椭圆。：二+\=1伍〉6〉0)的右顶点为人，离心率为；，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半

ab2

轴长为半径的圆与直线x+y-逐=0相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线x=-2上两点N关于x轴对称，直线4W与椭圆C相交于点8(3异于点/),直线

8N与x轴相交于点。，若AZM)的面积为迪，求直线的方程；

3

(3)P是N轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点尸和点尸的直线/与椭圆C交于G,H两点,求

\PG\+\PH\估升国

---方方---的取值氾围.

I田

22

【答案】(1)二+2=1;

43

(2)x+-^-y—2=0或x—一2=0或x+y-2=0或x-y-2=0；

Q

⑶［；4).

【解析】

【分析】(1)根据已知得到关于仇。的方程组，解方程组即得解；

(2)设直线4W方程为》=吵+2,加h0,求出直线BN方程，再解方程S孚即得解；

(3)设直线/的方程为＞=©x—1),其中后＜0,G(x「M)，H(X2,y2),联立直线和椭圆方程得到韦

达定理，求出、⑺士—"+再就点尸的位置分两种情况讨论得解.

1^1

【小问1详解】

c1

由题意可得e=—=—,

a2

/、r~|0+0-V6|「

日占(。0)到直线Y.J—、.久=0的距离IL一1―—8

7i2+