数字信号处理-课件 第4章 DFT离散傅里叶变换

第4章DFT离散傅里叶变换§4-6

频域抽样理论§4-8本章总复习§4-5DFT的基本性质§4-2傅氏变换的四种形式§4-1引言点击进入目录§4-4DFT变换§4-3DFS变换§4-7DFT的工程问题§4-1引言DFT是重要的变换DFT是现代信号处理的桥梁傅里叶变换的四种形式一.DFT是重要的变换

1.分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通过DFT在计算机上实现。谱分析二.DFT是现代信号处理桥梁

DFT要解决两个问题： 一是离散与量化 二是快速运算信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化§4-2傅里叶变换的四种形式连续傅里叶变换傅里叶级数序列的傅里叶变换离散傅里叶变换-DFT4-2傅氏变换的4种形式4.2.1连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换时域信号频域信号连续非周期非周期连续对称性:

时域连续，则频域非周期。反之亦然。4.2.2连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数时域周期为T0,

频域谱线间隔为2π/T0时域信号频域信号连续

周期非周期离散4.2.3离散时间、连续频率傅氏变换--序列傅氏变换正变换逆变换时域信号频域信号离散非周期

周期连续4.2.4离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT00123kx(nT)=x(n)t0T2T12NnNT相关变量的物理意义N:序列的点数T:抽样间隔ΩS:连续角频率(ΩS=2πfS

)fS:抽样频率T0:序列周期(T0=NT)Ω0:相邻两谱线角频率间隔(ΩS

=N

Ω0,Ω0=2πF0)F0：频率函数抽样间隔

由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散

周期

周期离散DFS的定义DFS的性质§4-3周期序列的傅里叶级数—DFS4.3.1离散傅里叶级数的定义DFS正变换定义0≤k≤N-1

0≤n≤N-1DFS反变换(IDFS)定义N：为周期序列长度1.

DFS的定义2.

DFS的矩阵表示

以分别代入DFS公式，则可以得到如下矩阵形式：（1）DFS正变换矩阵形式

以分别代入DFS逆变换，可以得到如下矩阵形式：（2）DFS逆变换矩阵形式

2.

DFS的矩阵表示

（1）线性特性

如果:则有:

两序列都是N点周期序列3.DFS的性质

（2）移位特性

对于N点周期序列，若则有：3.DFS的性质（3）调制特性

对于N点周期序列，若则有：3.DFS的性质

（4）共轭对称性

对于N点周期序列，若则有：3.DFS的性质

（5）周期卷积

对于N点周期序列，若则有：☆两序列都是周期为N的序列，周期卷积的结果也是周期为N的序列☆周期卷积的求和只在一个周期上进行，线性卷积的计算是在整个序列的长度区间进行。3.DFS的性质（6）对偶性

对于N点周期序列，若则有：☆对偶性在自然科学和自然现象中较普遍的存在，对偶性的本质是“二元性”，它表示二元知识结构之间的一种内在逻辑。☆对照连续时间信号傅立叶变换在时域和频域之间存在对偶性3.DFS的性质DFT的定义DFT矩阵表示DFT的计算§4-4离散傅里叶变换—DFTDFT与z变换、DTFT的关系DFT隐含周期性4.4.1离散傅里叶变换的定义离散傅里叶正变换(DFT)定义0≤k≤N-1

0≤n≤N-1x(n)长度为M，其x(n)的N点离散傅里叶变换为：离散傅里叶反变换(IDFT)定义N：DFT变换区间长度1.

DFT的定义

2.

DFT的矩阵表示

以分别代入DFT公式，则可以得到如下矩阵形式：（1）DFT正变换矩阵形式

2.DFT的矩阵表示

以分别代入DFT逆变换，可以得到如下矩阵形式：（2）DFT逆变换矩阵形式

3.

DFT的计算

DFT公式既可以直接采用公式法，也可以矩阵法计算：（1）DFT公式法计算

（2）DFT矩阵法计算

设有限长序列为x(n)=R4(n)，求X(k)

解

计算x(n)的4点DFT例1由此可得

设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n)的傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。

解（1）x(n)的傅里叶变换

（2）x(n)的4点DFT例2（3）x(n)的8点DFTk=0，1，…，7

（4）x(n)的16点DFTk=0，1，…，15

例:图形显示同一序列不同点数的DFT是不相同的。x(n)的N点DFT是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间[0，2π]上的N点等间隔取样.4.

DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系

设序列x(n)的长度为N，其Z变换、傅里叶变换和DFT分别为，0≤k≤N-1三种变换的关系

0≤k≤N-1比较三式可得

式(3.3)表明，序列x(n)的N点DFT相当于是x(n)的z变换在单位圆上进行N点等间隔取样，同时第一个取样点应取在z=1处。式(3.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。0≤k≤N-1(3.3)(3.4)DFT和Z变换的关系0≤k≤N-1N＝8时，单位圆上的8个等间隔采样点示意图如下：DFT和序列的傅里叶变换的关系物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间

[0，2π]上的N点等间隔取样。实现了频域离散化

0≤k≤N-1(1)DFT变换中，具有周期性：其中k，m，N均为整数

因此有结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。同理可得IDFT也隐含周期性：5.DFT隐含周期性

(1)

(2)例3(2)有限长序列x(n)和周期序列的关系周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。

=,0nN-10,其他n(1)(2)(3)N-1nx(n)0......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。例4序列的周期延拓与主值序列(3)周期序列与有限长序列X(k)的关系

同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。

而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。(4)DFS与DFT

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限长序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。,0kN-1,0nN-1或：

4.5.1线性特性如果:则有:§4-5DFT的性质

（1）两序列都是N点时(2)和的长度N1和N2不相等选择

为变换长度,短序列补零达到N点。?4.5.2序列的循环移位(圆周移位)（1）

定义包括三层含义：①将x(n)以N为周期进行周期延拓②对延拓后的周期序列再进行移位③移位后取主值区间（序列）：圆周移位定义：n0N-1序列圆周移位图解例5n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1循环移位的本质是周期移位（2）圆周位移的物理意义

对周期序列取主值序列时，只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。

如果把

排列在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于

在圆上旋转，故称为圆周移位。当对圆周观察几圈时，看到就是周期序列:

。观测点（3）时域循环移位定理例6证明时域循环移位定理证明令n+m=n'，则有（4）频域循环移位定理如果X(k)=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1

Y(k)=X((k+l))NRN(k),则:证明方法与时域循环移位定理类似。4.5.3对偶性则有:4.5.4共轭对称性（1）周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量共轭对称分量:共轭反对称分量该定义对有限长序列，是否直接适应？

有限长序列的共轭对称分量、共轭反对称分量可以在周期为N的基础上改进同样因此，有限长序列x(n)圆周共轭对称分量为：圆周共轭反对称分量为：有限长序列x(n)的共轭对称表示（2）DFT对称性质：①又由X(k)的隐含周期性，还可以得到:X(N)=X(0)证明同样的方法可以证明例7证明该结论②如何记忆公式?③④证：例8证：例9例10则:⑤若x(n)为实数该结论如何证明?X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性⑥如何证明该结论?例11

当x(n)为纯虚序列时:例12该结论如何证明?

设和均为长度为N的有限长序列，且，如果，则4.5.5循环卷积NN（1）时域循环卷积证：相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。将周期延拓：则有：证明时域循环卷积公式例13在主值区间，所以：同样可证：NN(2)时域循环卷积过程N-10nN-10例14时域圆周卷积计算已知序列:nN-100m0m0m序列x2翻转0m1,1,1,0,0,0,01,1,0,0,0,1,11,1,1,0,0,0,11,1,1,1,0,0,00,1,1,1,1,0,00233211N-1nN最后结果：(3)循环卷积的矩阵计算循环卷积又称为圆周卷积,它不仅可以用公式计算，还可以用矩阵进行计算.用矩阵计算循环卷积更加简洁和高效.计算序列h(n)与x(n)的4点循环卷积.解:例15循环卷积可以用如下矩阵计算形式。计算序列h(n)与x(n)的8点循环卷积.例16解:8点循环卷积的矩阵计算讨论1：例17根据例17和例18，研究相同两序列的不同长度之循环卷积之关系.后4个数据整体平移与前4个数相加?例15例16有限长序列的线性卷积与圆周卷积关系圆周卷积代替线性卷积的条件是:L>N1+N2-1线性卷积

的长度为的长度为例18讨论2：当循环卷积区间长度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积.

用圆周卷积计算线性卷积

的长度为,的长度为然后计算圆周卷积：圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.

构造长度均为L长的序列

将补零点

然后再进行周期延拓

，即？1012n1012n3N例19两序列如下所示:计算6点长的循环卷积m-1-2-3mm1012m解mn2103145233211012m4.5.6选频特性由于有限长序列的傅里叶变换可以视为序列z变换在单位圆上的N点等间隔抽样，这表明，DFT算法对频率具有选择性.进行抽样，得到复指数序列则复指数序列为：若若对复指数信号4.5.7DFT形式下的帕塞瓦定理设：则有：例20x(n)=R4(n),求x(n)的4点DFT

解:

N=4，因此有:

由于N=8，则:

结论

:x(n)的离散傅里叶变换结果与变换序列长度N的取值有关。例21解：

？x(n)=R4(n),求x(n)的8点DFT

x(n)的DTFT变换x(n)的8点DFTx(n)的16点DFTx(n)的4点DFT

进一步思考:DFT变换之几何意义

设序列x(n)长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为:比较二式,可得:结论:序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样.可得:上式表明:X(k)即x(n)的傅里叶变换x(n)=R4(n)，DFT变换长度N取4、8、16时，和X(k)的幅频特性.Ex2Review

对

在［0,2π］上的N点等间隔采样,这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT随着N不同，表示对在［0,2π］上的采样点数和采样间隔不同，所以DFT的变换结果不同。

1.两种抽样

时域抽样:

对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样:

对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。§4-6频域抽样4.6.1频域抽样定理2.由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的z变换为x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N点等间隔抽样,就得到对进行反变换,并用表示,则交换求和顺序应用DFS逆变换

可见,

由

得到的序列是周期序列.

1,m=n+rN,0,其他m

xN(n)是非周期序列x(n)的周期延拓;即:频域抽样造成时域周期延拓。3.频域抽样不失真的条件

当x(n)不是有限长时，无法周期延拓；

当x(n)长为M,只有NM时,才能不失真的恢复信号.例22通过DFT实例观察和分析频域抽样不失真的条件。例23x(n)=R4(n),求出x(n)的4点DFT

解:

x(n)的DTFT变换x(n)的8点DFTx(n)的4点DFT能根据频域X(k)的4点的值恢复序列x(n)吗？由频域x(k)完全恢复了x(n)1.由X(k)恢复X(z)4.6.2内插公式又因为:序列x(n),（0

n

N-1）的Z变换为x(n)交换求和顺序将中括号内展开等比级数求和上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中称作内插函数。2.内插函数的特性。。。。。。。内插函数如下:

这样只有(N-1)个零点,抽样点

称作本抽样点.

内插函数仅在本抽样点处不为零

其他(N-1)个抽样点均为零.极点：1阶极点：N-1阶极点：因此，极点与其中的一个零点会对消3.频率响应

4.内插函数的频率特性单位圆上的z变换即为频响,

代入可见,既是的函数又是k的函数；

可表示为：

当k=0时,则有所以:当N=5时,

的幅度特性和相位特性其中，幅度特性和相位特性如下图所示：N=5幅度特性相位特性由于i与k均为整数,所以i

k

时

即内插函数在本抽样点上而在其他抽样点上5.X(ejω)与X(k)的关系

由于的特性可知,在每个抽样点上其值为1,故就精确等于X(k)。即

而在抽样点之间：等于加权的内插函数值叠加而得。

§4-7DFT的工程问题概述：

设T为抽样间隔,则:

1.混叠现象

为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中,为抽样频率;为信号的最高频率分量.§4-7DFT的工程问题频谱分析用FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂.已知（1）频率分辨率为，（2）信号的最高频率，试求：（1）最小记录长度

;(2)抽样点间的最大抽样间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。解：（1）最小记录长度（2）最大抽样间隔T例24频谱分析用FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂.已知（1）频率分辨率为，（2）信号的最高频率，试求：（1）最小记录长度

;(2)抽样点间的最大抽样间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。解：（1）最小记录长度（2）最大的抽样时间间隔