吉林省长春市2023-2024学年度八年级上学期数学期末考试试卷

吉林省长春市2023-2024学年度八年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（每题3分，共24分）1．3的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．−32．下列计算中，结果正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．34 B．15 C．0.64．要使分式4x−3有意义，xA．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠35．若(x−3)(x+5A．-8 B．2 C．-2 D．-56．如图，OA=OB，BD=1，则数轴上点A所表示的数为（）A．10 B．5 C．3 D．27．如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC8．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，共18分）9．在163，310．计算：4b3a⋅11．分解因式：9﹣b2=．12．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为13．如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A=40°，则∠DBC=°．

14．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=500m，AC=300m，BC=400m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为14m/s，则着火点C受到洒水影响秒．三、解答题（共10题，共计78分）15．计算：（1）53×27−10÷2； 16．计算：（1）(−2a2)2⋅5ab； 17．先化简，再求值：(x+1)(x−1)−(x−2)2，其中18．已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：∠ECD=∠EDC19．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）AB=；（2）在图1中确定一点D，点D在边BC上，使AB=BD；（3）在图2中确定一点E，点E在边AC上，使BE平分∠ABC．20．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．（1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：；（2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件）21．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：S=1古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：S=p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式），其中，p=秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题：（1）如果一个三角形的三边长依次为3，2，5，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是；（2）如图，在△ABC中，已知AB=13，BC=14，AC=15．①则△ABC的面积的是▲；②作AD⊥BC于点D，则BD的长是▲．22．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）图1表示：；图2表示：；（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若x+y=6，x2+y2=20（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=12，两正方形的面积和S1+S23．已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

（1）【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段AE与DB的数量关系是；（2）【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，则线段AE与DB的数量关系是，请说明理由；（提示如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F．）（3）【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，AE=3，则CD的长是．24．如图，在长方形ABCD中，AD=BC=9，AB=CD=4．E为AD边上一点，DE=3．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）用含有t的代数式表示CP的长；（2）当t=3时，求△PCE的面积；（3）①当EP⊥BC时，则t的值为▲；②当EP平分∠AEC时，则t的值为▲．（4）当△PEC是等腰三角形时，直接写出的值．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵(∴3的算术平方根是3故答案为：B【分析】根据算术平方根的定义直接得出即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：A：a2⋅a3=a5≠a6，计算错误，不符合题意；

B：a8÷a3．【答案】B【解析】【解答】解：A．34B．15是最简二次根式，故B符合题意；C．0.D．18=3故答案为：B．【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握：“被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式”，根据最简二次根式的定义依次判断即可．4．【答案】D【解析】【解答】解：∵分式4x−3有意义，

∴x-3≠0，

解得：x≠3，

故答案为：D.

5．【答案】B【解析】【解答】解：∵(x−3)(x+5)=x2+mx−15，

∴x2+5x-3x-15=x2+mx-15，6．【答案】B【解析】【解答】解：由勾股定理可得：OB=22+12=5，

∴7．【答案】D【解析】【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选：D．【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：

当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个。

综上所述：点C的个数为3个，

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质先作图，再求解即可。9．【答案】3【解析】【解答】解：在163，3，π故答案为：3.【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.10．【答案】2a【解析】【解答】解：4b3a⋅3a211．【答案】（3+b）（3﹣b）【解析】【解答】解：原式=（3+b）（3﹣b），故答案为：（3+b）（3﹣b）【分析】根据平方差公式进行因式分解即可.12．【答案】2【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。

故第1空答案为：2.

【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。13．【答案】30【解析】【解答】解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠A=40°，

∴∠ABC=180°-∠A2=70°，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，

∴DA=DB，

∴∠DBA=∠A=40°，

∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=30°，

故答案为：30.14．【答案】100【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，令CM=CN=260m，

∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵S△ABC=AC·BC2=AB·CH2，

∴CH=AC·BCAB=300×400500=240m，

∵CM=CN=260m，

15．【答案】（1）解：原式===3=5（2）解：原式=−1+1−=−1【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减乘除法则计算求解即可；

（2）根据有理数的乘方，0指数幂，负整数指数幂计算求解即可。16．【答案】（1）解：(−2=4=20a（2）解：(4=4=2x【解析】【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算求解即可；

（2）根据多项式除以单项式法则计算求解即可。17．【答案】解：(x+1)(x−1)−==4x−5当x=2时，原式=4×2−5=3【解析】【分析】先化简整式，求出原式=4x-5，再将x=2代入计算求解即可。18．【答案】解：证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠ODE=∠OCE=90°，DE=CE，在Rt△ODE和Rt△OCE中，DE=CE∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴∠OED=∠OEC，在△DFE和△CFE中，DE=CE∴△DFE≌△CFE(SAS).∴∠ECD=∠EDC.【解析】【分析】根据角平分线求出∠ODE=∠OCE=90°，DE=CE，再根据HL证明三角形全等，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可。19．【答案】（1）5（2）解：∵AB=5，∴在BC上找到点D，使得BD=5．如图，（3）解：∵AB=BD，∴连接AD，取AD中点F，连接BF，延长交AC于点E．【解析】【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB=32+42=5，

故答案为：5.

【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值即可；

（2）根据题意要求作AB=BD即可；20．【答案】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2（2）解：图1：大正方形的面积为c2四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×1则a2图2：大正方形的面积为(a+b)2四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×1则c2+2ab=a图3：直角梯形的面积为a+b2三个直角三角形的面积之和为12则|12a【解析】【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2），

21．【答案】（1）11（2）①84②5【解析】【解答】解：（1）由题意可得：p=a+b+c2=3+2+52，

∴这个三角形的面积是：3+2+523+2+52-33+2+52-23+2+52-5=114

故答案为：114；

（2）①由题意可得：p=a+b+c2=13+14+152=21，

22．【答案】（1）(a+b)2=（2）解：∵(a+b)2∴ab=1∵x+y=6，x2∴xy=1(x−y)2（3）5【解析】【解答】解：（1）由图1可得：(a+b)2=a2+2ab+b2；

由图2可得：(a+b)2=(a−b)2+4ab；

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a+b)2=(a−b)2+4ab；

（3）由题意可得：AB=AC+BC，

∵AB=12，

∴AC+BC=12，

∵S123．【答案】（1）AE=DB（2）解：AE=DB，

理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F，

则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，

∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，

∴AE=EF，

∵ED=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠D=∠FEC，

在△DBE和△EFC中，∠DBE=∠EFC∠D=∠FECED=EC，

∴△DBE≌△EFC(AAS)，

∴DB=EF，

∴AE=DB（3）5【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，

∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，

∵DE=CE，

∴∠D=∠ECB=30°，

∵∠ABC=∠D+∠DEB，

∴∠DEB=30°，

∴∠D=∠DEB，

∴DB=BE，

则AE=DB，

故答案为：AE=DB；

（3）如图所示：点E在直线AB上，点D在直线BC上，过点E作EF//BC，交AC的延长线于点F，

由（2）可得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS），

∴AE=EF=3，DB=EF=3，

∵BC=2，

∴CD=BC+DB=2+3=5，

故答案为：5.

【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，再根据等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，最后计算求解即可；

（2）根据等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等证明求解即可；

（3）根据题意先求出△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS），再根据全等三角形的性质求出AE=EF=3，DB=EF=3，最后计算求解即可。24．【答案】（1）解：∵AD=BC=9，点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，∴BP=t，∴CP=BC−BP=9−t，故答案为∶9−t；（2）解：由（1）知CP=BC−BP=9−t，∴将t=3代入CP=9−t中得：CP=6，∵AB=CD=4，∴△PCE的面积为：6×4×1故答案为：12；（3）①6②4（4）