第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值

第04讲5.3.2函数的极值与最大（小）值课程标准学习目标①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。②掌握函数极值的判定及求法。③掌握函数在某一点取得极值的条件。④能根据极值点与极值的情况求参数范围。⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。⑥会求某闭区间上函数的最值⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.；2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题；知识点01、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.【即学即练1】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为.【答案】2【详解】，令，解得或6，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在取得极大值，故极大值点为2.故答案为：2知识点02、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【即学即练2】（2023下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则.【答案】【详解】因为，，或，，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，故.故答案为：知识点03、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【即学即练3】（2023上·天津·高三统考期中）已知函数.(1)求的单调区间与极值；(2)求在区间上的最大值与最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)最大值为54，最小值为.【详解】（1）由题设，令，得或，当时，即，解得或，单调递增区间为和.当时，即，解得，单调递减区间为.函数的极大值为，极小值为.（2）由，，，则且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.题型01函数图象与极值（点）的关系【典例1】（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）．A．的单调递增区间是B．是的极小值点C．在区间上单调递减，在区间上单调递增D．是的极小值点【典例2】（2023·上海·高二专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为．

①当时函数取得极小值；②有两个极值点；③当时函数取得极小值；④当时函数取得极大值．【变式1】（多选）（2023上·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）

A．的单调递增区间是B．是的极小值点C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．是的极小值点【变式2】（多选）（2023上·新疆喀什·高三统考期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）

A．在上为减函数 B．在处取极大值C．在上为减函数 D．在处取极小值题型02求已知函数的极值（点）【典例1】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间和极值．【典例2】（2023上·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）若函数，为函数的极值点.(1)求的值；(2)求函数的极值.【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值．【变式2】（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点．(1)求实数的取值范围；(2)求的极大值．题型03根据函数的极值（点）求参数【典例1】（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知函数在处有极大值，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【典例2】（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023上·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表：1+0-0+(1)写出的值，并说明理由；(2)求的值．【变式1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）若函数在处取得极小值，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【变式2】（2023·贵州遵义·统考三模）函数在处取得极值0，则（

）A．0 B． C．1 D．2【变式3】（2022下·甘肃·高二校考期中）已知函数在时有极值0，求常数，的值.题型04求函数的最值（不含参）【典例1】（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）函数在区间上的最大值是（

）A．0 B． C．1 D．【典例2】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求在区间上的最大值和最小值．【变式1】（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数在区间上的最大值是.【变式2】（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值1.(1)求、b的值；(2)求在上的最大值和最小值.题型05求函数的最值（含参）【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）设函数(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)当时，求证：(3)当时，求函数在上的最小值【典例2】（2023下·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值．【变式1】（2022下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考阶段练习）已知函数，求：(1)求函数的单调区间；(2)求函数在的最小值.【变式2】（2022下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，求在区间上的最小值．题型06根据函数的最值求参数【典例1】（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若在区间上的最小值为，求的取值范围.【典例2】（2023下·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）已知函数，且满足的导数的最小值为.(1)求值；(2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值.【变式1】（2023上·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最小值是，求a的值．【变式2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，．(1)若曲线关于点对称，求a的值；(2)若在区间上的最小值为1，求a的取值范围．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减2．（2023下·河北保定·高二校联考期中）设函数，则（

）A．在区间递减 B．在区间上递增C．在点处有极大值 D．在区间上递减3．（2022下·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期末）若函数在处取得极值1，则（

）A．-4 B．-3 C．-2 D．24．（2022上·全国·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023上·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（

）A．1 B．3 C． D．7．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．8．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．32二、多选题9．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（

）A．0 B．1 C． D．210．（2023上·福建南平·高二统考期末）若函数，则（

）A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值三、填空题11．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知的两个极值点分别为，2，则函数在区间上的最大值为．12．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）若函数在处取得极小值，则函数的极大值为．四、解答题13．（2023上·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知函数在处有极值2.(1)求，的值；(2)求函数在区间上的最值.14．（2024·四川成都·成都七中校考一模）设函数，(1)求、的值；(2)求在上的最值．B能力提升1．（2024·陕西宝鸡·校考一模）已知函数，是自然对数的底数.(1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；(2)若，且，求的最小值和最大值.2．（2023上·河南·高三校联考开学考试）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为的极小值点，求的取值范围．3．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知，．(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；(2)令，（e是自然对数的底数）.求当实数a等于多少时，可以使函数取得最小值为3？C综合素养1．（2023上·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设，，对于，有，则是的（

）A．极大值点 B．极小值点 C．非极大极小值点 D．ABC选项均可能2．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x表