拓展之分离变量法解决导数问题（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题

目录

类型一：恒成立（存在问题）求解参数。范围..................1

角度1：完全分离参数法................................1

角度2：部分分离参数法................................7

类型二：已知零点个数求解参数。范围.......................11

角度1：完全分离参数法...............................11

角度2：部分分离参数法...............................16

高频考点

类型一：恒成立（存在问题）求解参数。范围

角度1：完全分离参数法

典型例题

例题1.（23-24高二下•四川广元•阶段练习）已知函数/（x）=lnx-依，其中xe[l,+e）,

若不等式/（x）V0恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】]，+8）

【分析】

恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可.

【详解】函数〃x）=lnx-依，因为在xe[l,+oo）恒成立，

所以Inx-axVO,在xe[l,+8）恒成立，

a2在xe[1,+8）恒成立，

令〃（无）=皿，所以〃（x）=上及，

XX

//(力=0,得'=e,

所以当x£(l,e)时，/ir(x)>0,当％£(e,+8)时，/zf(x)<0,

所以可力在(1,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减.

所以=/z(e)=：,所以a2:,

所以实数。的取值范围为［，+8).

故答案为：

例题2.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)已知函数/(x)=xeX,g(x)=x+lnx+〃2.

(1)求函数〃x)的极值；

(2)若g(x)<〃x)恒成立，求实数，”的取值范围.

【答案】⑴函数的极小值为-L无极大值；

e

(2)m£l

【分析】(1)利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；

(2)首先不等式化简为x+lnx+机〈祀工恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可

求解.

【详解】(1)r(x)=(x+l)e\令在(x)=0,得％=—1,

x,/'⑴和“X)的关系，如下表所示,

X-1(-1,+«)

r(x)—0+

单调递减极小值单调递增

〃无)e

所以函数的极小值为-L无极大值；

e

(2)不等式(x)恒成立,即X+lnx+根Wxe"恒成立，

即相(疣、一%-111%,x>0,恒成立，所以用〈(犬e"-%-lnx),,x>0,

\/nun

设〃(x)=xe，-x-]nx,x>0,

//(x)=(x+l)ex-1--=(x+l)fex--1

其中x+l>0,

x

设加=mr(x)=ex+^->0,所以机(x)在(0,+8)单调递增,

因为根出<°，相⑴>0,所以存在％使加(毛)=0,即〃伉)=0,即e*0=:,

当xe(0,飞)时,7z,(x)<0,7z(x)单调递减,

当xw(%,+8)时,//(%)>0,元)单调递增，

所以当x=不时，函数/z(x)取得最小值力(%)=毛6&-x0-lnx0,

由e*=L,可得毛=一111%，所以/《x。)=5e拓-七一In%=1-%+5=1,

xo

所以相£1.

例题3.(23-24高二下•重庆•阶段练习)己知函数/(x)=ox-l-lnx(aeR).

⑴若4=1,求〃x)在(ej(e))处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

⑶若函数〃x)在x=l处取得极值，且对以«0,小)，恒成立，求实数6的取

值范围.

［答案］⑴(e-l)x_ey_e=0

(2)答案见解析

⑶1-巩1-"

【分析】

(1)先求出函数〃x)的导函数((x),进而得出/(e),/'(e)；再根据点斜式方程即可求

解.

(2)先求出函数〃x)的导函数/(x)；再分aW0和a>0两种情况，在每一种情况中借助

导数即可解答.

(3)先根据函数“X)在x=1处取得极值得出a=1；再将问题"对Vxe(0,小)，/(x)2法-2

恒成立"转化为"对),6一14上詈恒成立"；最后构造函数8口)=匕?，并利

用导数求出g(x)血口即可解答.

【详解】(1)当a=l时，〃无)=x-1-lnx,尸⑺=1一

1P_1

贝U/(e)=e-l-lne=e-2,/'(e)=1——=---.

所以“X)在(e,〃e))处的切线方程为了_(e-2)=W(x-e),即(e—l)x-ey—e=0.

(2)由/(x)=ax-l-lnx(aeR)可得：函数定义域为(0,+<»),f\x)=a--.

当aWO时，/'(x)<0,此时函数〃x)在定义域(O,+8)上单调递减；

当0>0时，令r(x)<0,解得0<x<f令)K或>0,解得尤>：,

此时函数/'(x)在区间(0，：［上单调递减，在区间+8)上单调递增.

综上可得：当时，函数/(尤)在定义域(。,+e)上单调递减；

当a>0时，函数/(X)在区间上单调递减，在区间+8)上单调递增.

(3)因为函数在x=l处取得极值，

所以尸(1)=0,即a—1=0,解得a=l.

止匕时/(力=1一士=口，

XX

令广")>。，解得X>1；令/'(力<0,解得0<x<l,

所以函数/■(》)在X=1处取得极值，

故a=l.

所以"x)=xT-lnx.

因为对Vxe(O,•+<o),恒成立，

所以对V无«0,+«),6一14匕詈恒成立.

令g(x)=上手，

贝！］g'(X)=W^.

令g'(x)>。，解得x>/；令g'(X)<0,解得0cx<e?,

所以函数g(x)=L?在区间(01)上单调递减，在区间仔,+动上单调递增，

所以g(x)mm=g(e2)=-0

贝U6-14-1，解得：&<1-4.

ee

所以实数6的取值范围为(-巩1-!

练透核心考点

1.(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)若不等式。+2x+|lnx|-120恒成立，则。的取值范

围是.

【答案】[—In2,+oo)

【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的

最大值，从而即可得解.

【详解】若不等式“+2》+|111到-12。恒成立，也就是。21-2彳-|1时恒成立，

函数“x)=l-2x-|lnx|,定义域为(0,+<»),

当时，f(x)=1—2x—Inx,f'(x\=—2—<0,

尤

\/⑴在[1,+⑹为减函数，此时/(X)a=/⑴=一1；

当0<x<l时，/(x)=l-2x+lnx,:.f'(x]=-2+-=^^,

XX

.,.当时，>0,当时，/(%)<0,

\/任)在上单调递增，在g,"上单调递减，

此时/(x)max=d=Ing=Tn2,

综上可知，则〃的取值范围是[-In2,+8).

故答案为：[-In2,+oo).

2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(无)=ox+%ln%(。wR),当〃=1且左eZ时，不

等式左(％-1)</(%)在工£(1,+8)上恒成立，求人的最大值.

【答案】3

【分析】

依题意参变分离可得左<士学在xe(l,+⑹上恒成立，则+,令

X-lIX-lJmin

g(x)=x+xl：x,xe(l,+s),利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而

x-1

求出参数％的取值范围，即可得解.

【详解】

当a=l时，/'(x)=x+xlnx,又不等式上(x-l)</(x)在xe(l,+co)上恒成立，

则k<-X在^(1,+s)上恒成立，

x-1

所以左<——「，

I尤TJmin

人/、x+xinx八、,/\x-lnx-2

令g(x)=.J-，xe(1,+co),贝!]g(x)=(1)2，

令"(x)=x-lnx-2,xe(l,+oo),

i_i

则/(无)=1一：=土r/>0,.[Mx)在(1,+8)上单调递增，

/7(3)=l-ln3(0,/z(4)=2-21n2)0,存在唯一x°e(3,4),使/2(%)=0,

所以，当1〈尤时/z(x)<0即g'(x)<0,当x>x()时7z(x)>0即g[x)>0,

所以g(x)在(1,%)上单调递减，在(%+力)上单调递增，

又/?(毛)=/-ln/—2=0,即lnXo=Xo_2,

所以g(x)3=g⑷「。(1+1；)=%(1+X：2)=/e(3,4),

%_LXQi

所以k<g(x)1nhi=%e(3,4),又keZ,

,k

一、max=3.

3.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=lnx+l,犷(力>%@-1)在(1,+0))上恒成

立，求整数上的最大值.

【答案】3

【分析】

分离参数，问题转化为不+(%>1),设g(x)="lnx+l)利用导数求出

x-1x-1

g(x)的最小值，得解.

【详解】由题意，x(lnx+l)>Mx-1)在(1,E)上恒成立,

rrX(lnX+l)

即％<△-----L(%>1).

x-l

.n/、x(lnx+l)0

设g(x)=-——#(x>l)，

x—1

x-lnx-2

则g'(x)=

(x-咪

令/z(x)=x-lnx-2(%>1),贝!]//(x)=1-1>0,

所以，/z(x)在(L+⑹上为增函数.

、p2

因为力(2)=—In2v0,=1—In3=In—e<0,/z(4)=2—ln4=>0,

所以M%)在(1,”)上有唯一实数根mG(3,4),

使得根—lnzn—2=0.

当间时，h(x)v0,即g'(x)〈0；

当(私+00)时,/z(x)>0,即g'(x)〉0.

即g(%)在(1,根)上单调递减，在(町内)上单调递增,

所以g(x)在户加处取得最小值，

m(lnm+l)

且g(加)=---------=m，

所以人〈根.由加43,4),得整数上的最大值为3.

角度2：部分分离参数法

典型例题

例题L(23-24高二上•福建福州•期末)已知关于x的不等式2x-Mx+l)e，>0解集中恰有

3个不同的正整数解，则实数%的取值范围为()

3

A.B.C.'商

【答案】D

【分析】由题意可得上(x+l)<2xef的解集中恰有3个不同的正整数解，设/。)=左。+1),

g(x)=2xe-\作出两函数的图象，结合图象分％W0,左>0分别求解即可.

【详解】因为2x-t(x+l)e*>0,所以％(尤+1)<2彳尸.

设/。)=左0+1),g(x)=2xex,贝i]g'(x)=2eT-2xeT=2(l-x)eT,

所以当x«-s』)时，g，(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(l,+8)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

又因为是过点(-1,0)的直线，如图所示：

由此可得当ZW0时，依x+l)<2xe-'的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意;

当人>0时，要使不等式2x-左(x+l)e*>0的解集中恰有3个不同的正整数解，

当y=/（x）过点（4,g（4））时，左取最小值,

Op-4_no

因为g(4)=8eT,此时左==

4-(-1)5e

当y=/（无）过点（3,g（3））时，上取最大值,

因为g（3）=6J，此时％=穿不=[,

83]

所以的取值范围为爰

故选：D.

例题2.（22-23高二下•浙江杭州,阶段练习）若关于x的不等式M1+2x）<lnx+l的解集中

恰有2个整数，则上的取值范围是（)

,1,八ln2+l71

A.—<%V1B.----<k<-

383

ln3+l7ln2+lln4+l7ln3+l

C.--------<k<----D.----<k<----

1582415

【答案】C

"丁’构建利用导数判断其单调性和

【分析】将不等式转化为%（%+2）

最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.

【详解】因为x>0,M^(x2+2%)=fcc(x+2)<lnx+l,可得左(》+2)<^^

构建了（尤）=虹乂，贝|]广（行=一吧

XX

令了解得O<X<1；令r（x）<0,解得X>1；

则“X）在（0,1）上单调递增，在（1,收）上单调递减，可得〃尤）4〃1）=1,

且〃2)=号£〃3)=T^

-l+ln2

4k<----

2ln3+l7ln2+l

由题意可得1；&，解得----<k<----

-l+ln3

5k>----158

3

所以人的取值范围是电U<左4号。.

15o

1.(23-24高二上•湖南长沙•阶段练习)已知函数y(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0),若有

且只有两个整数为，三使得了(3)>0,且/(%)>。，贝匹的取值范围是

【答案】0<a<2-ln3

【分析】

将不等式/。)>0等价变形，构造函数，借助导数探讨函数性质，作出函数图象，结合已知

列出不等式组，求解即得.

【详解】当〃〉0时，由F(%)>。，^#lnx+(^-2)x-2^+4>0<^ax-2a>2x-\nx-4,

设力(x)=依_2〃，g(x)=2x-lnx-4,求导得g'(x)=2-工=由g'(%)=0,^x=—,

xx2

当尤e(0,1)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，当xe(〈,+8)上，g'(x)>0,g(x)为增函数，

旗%)=分-2°(°>0)的图象恒过点(2,0),在同一•坐标系中作出函数y=g(x),y=/z(x)的图

象，

显然/z(2)>g(2),即/⑵>0,由于有且只有两个整数玉,马,使得了(再)>0"(%)>0,

则这两个整数要么是2,3,不是1,要么是1,2,不能是3,

当/(1)=0时,即2—aVO,解得口22,此时,/(3)=ln3+a-2>0,/(4)=ln4+2a-4>0,

显然至少有3个整数使得对应的函数值大于0,不符合题意，因此这两个整数是1,2,不能

是3,

a>0

于是/⑴=2—〃〉0,解得0<aW2—ln3,

/(3)=ln3+tz-2<0

所以a的取值范围是0<aW2-ln3.

故答案为：0<«<2-ln3

2.(22-23高二下•辽宁沈阳•阶段练习)已知不等式xlnx+(x+l欣<2xln2的解集中有且只

有2个整数，则实数k的取值范围是.

【分析】因为xlnx+(x+l)左<2xln2=>(x+l)^<2xln2-xlnx,i5/(x)=2xln2-xlnx,

g(x)=Mx+l),本题转化为函数在直线g(x)上方的范围中有且只有2个整数.先利用

导数确定函数〃元)的图像，再与直线g⑴的图像结合列出不等式组求解即可.

【详解】xlnx+(x+l)k<2xln2=(x+l)k<2xln2-xlnx,

设f{x)=2x]n2-xlnx,

4

则f(%)=21n2—Inx—1=ln—In%,

当/(%)>0_111：_111苫>0=0<工<；即当二(0,2时,函数〃%)为增函数；

当/(%)<0=>1112一111尤<0=>尤>±即当X€[：,+00卜寸,函数〃*)为减函数；

当xfO时,〃X)f0;当X-+8时产-—00,

则满足题意的函数八”的图像与直线g(x)=Mx+l)图像如图：

4y=/(x)g(x)=-x+l)

4\x

g⑴<〃1)2左<21n2

g⑵<〃2),即43%<41n2-21n2,

g(3)送“3)4%261n2—31n3

3,42In2

故答案为—In—,-------

433

类型二：已知零点个数求解参数。范围

角度1:完全分离参数法

典型例题

例题1.(23-24高二下•广东广州•阶段练习)若函数/(x)=ae'-X恰有2个零点，则实数。

的取值范围是()

A.B.(0,1)C.1。0,:)D.(-=o,0)

【答案】A

【分析】令小)=0,得到。=。，令g(x)=2,利用导数与函数单调性间的关系，求出

ee

xx

g(x)=W的单调区间，进而得出g(x)=-r函数值的变化，即可求出结果.

ee

YX1—x

【详解】令7(x)=ae'-x=0,得到a=三，令g(x)==,贝心口)=一，

eee

由g，(无)>。得到x<l,由g，(无)<0,得到了>1,

所以g(x)=己在区间(f」)上单调递增，在区间(1,口)上单调递减，

又g(l)=」，当xf-8时，g(x)f-co,当xf+8时，g(尤)-0,且x>0时，g(x)>0,

e

所以，当函数/(x)=ae*-尤恰有2个零点时，

e

故选：A.

例题2.(23-24高二下•湖南长沙•开学考试)已知函数/(x)=e；aA

⑴求函数在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若。=1,证明：当xNO时，/(%)>1：

⑶若/⑴在(0,+8)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(i)y=x+i

(2)证明见解析

(3)a>—

4

【分析】(1)根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；

(2)利用导数与函数的单调性间的关系，求出/(x)=e*-Y在区间©伏)的单调性，再求

出了(x)的最小值，即可证明结果；

(3)通过分离常量，得到号=4,构造函数g(x)=],通过求导得到gQ)=与的单调性,

XXX

即可求出结果.

【详解】(1)因为f(x)=e**,所以广(x)=e-2ax,所以广(O)=e°=l,

又y(O)=e0=l,所以函数在点(0"(0))处的切线方程为y-l=x,即y=x+L

(2)当。=1时，/(x)=e'-x2,贝I]/'(X)=e*-2x,

令7i(x)=e*-2x,贝！J"(x)=e*-2,由(无)=。，得至！Jx=In2,

当xe(-8,ln2)时，h'(x)<0,当xe(In2,+oo),//(x)>0,

所以h(x)>/7(ln2)=2-21n2>0,即f'(x)>0恒成立,

所以/(x)=e，-尤2在区间[0,+co)上单调递增，故/«>/(O)=e°=l,命题得证.

(3)因为/(幻=二-武，令〃x)=0,得到e—又xe(0,+8),所以号=.,

令g(x)=M，则g(尤)=e'(X12),当xe(0,2)时，g'Q)<0,当xe(2,”)时，g'(x)>0,

XX

e2

所以g(x)2g(2)=1,又当X-0时，g(%)f+oo,龙f+8时，g(x)f+oo,

又了⑴在(0,+8)有两个零点，所以a>且.

4

例题3.(23-24高三上•陕西安康•阶段练习)已知函数/(x)=e=加+x-i.

⑴当a=l时,求曲线y=〃x)在x=l处的切线方程；

(2)若/(同=0有两个不等的实根，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(eT)x_y=O

(2)(一8,0)U[T]

【分析】(1)求导，得到/6=6-1,八1)=6-1,进而求出切线方程；

(2)"0)=0,故只需当XHO时，/■(》)=()有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函数

只有1个交点，求导，得到g(x)=(xH0)的单调性,画出其图象，数形结合得到参

数的取值范围.

A2,x

【详解】(1)当a=l时，/(x)=e-x+x-l,/(x)=e-2x+l1

/⑴=e-L〃l)=e-1,

所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y—(e—l)=(e-l)(x—l),即(e-l)x-y=O.

(2)显然/(0)=0,要使方程/(x)=0有两个不等的实根,

只需当xwO时，〃同=0有且仅有一个实根，

当XHO时，由方程/(无)=。，得0=>+；-1.

(xw0),则直线y=a与g(x)=e：：T(xw0)的图象有且仅有一个交点.

令g(x)

g'(x)=

又当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当0<x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x>2时,g[x)>0,g(x)单调递增，

所以当x=2时，g(x)取得极小值g⑵=41

又当x<0时，ex<1,所以e*+x-1<0,即g(x)<0,

当尤>0时，ev>l,er+x-l>0,即g(x)>0,

所以作出g(x)的大致图象如图所示.

由图象，知要使直线y=。与g(x)=：(X牛0)的图象有且仅有一个交点，

X

只需“<0或

4

综上，若〃到=。有两个不等的实根，则。的取值范围为

练透核心考点

1.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/U)=〃ex—%,"WR.若/(%)有两个不同的零点，则

实数〃的取值范围是.

【答案】

【详解】(解法1)因为了(%)=四%—1.

①当400时，/(x)<0,/U)在R上单调递减，不可能有两个零点，舍去；

②当4>0时，令/(x)=0=>x=—In

且当x£(—g,—In〃)时，/(X)<0,此时，函数/W单调递减；

当x£(—In”，+=)时，八#>0,此时，函数/W单调递增.

因为/W有两个不同的零点，所以/Wmin=/(—In〃)=l+ln〃V0,解得0<〃<土

p

综上所述，实数a的取值范围是(0,;).

X

(解法2)由y(x)=ae%—x=0,则a=1.

丫二虱x)

令g(x)=M，g'(x)=J^，

所以g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(X)max=g(l)=£.

当％1—8时,g(x)<o；

当x玲+g时，g(x)>0,

根据函数的图象，若方程。==有两个不同的解，则aG(0,1).

2.(23-24高二下•陕西西安•阶段练习)已知函数”劝="+6在x=l处的切线方程为

2x—y—2=0.

⑴求f(x)的解析式;

(2)若方程〃x)=7篦(根为常数)有两个根，求实数根的范围.

【答案】(1)/(》)=2

X

⑵

【分析】(1)求得函数的导数((X),根据切线方程为2x-y-2=0,得到切点坐标(1,0),

列出方程组，求得“力的值，即可求得函数的解析式；

(2)根据题意转化为>=根与/(》)=节图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调

性和最值，即可求解.

【详解】⑴因为〃犬)=字+法，所以广(x)="31nx+6,

又因为己知函数在X=1处的切线为2x-y-2=0,即切点为(1,0),

[k==a+b=2

所以=,解之得〃=2,b=0,

所以函数的解析式为“X)=—.

(2)因为〃x)=&吧，所以八H=”萼，

X%

令/'(x)=0,解得％=e,

当xw(O,e),>0,“X)在xe(O,e)为增函数，

且xe(0,l)时，/(x)<0,尤e(l,e)时，/(x)>0,

当xe(e,+oo),/(%)<0,“X)在xe(e,+oo)为减函数，

且xf+8时，/(司-0,当X=e时，>1rax=〃e)=®=工,

ee

o

若方程〃X)=7九(根为常数)有两个根，则0<相〈)

故实数小的范围为D

3.(23-24高三上•重庆南岸•阶段练习)已知函数/(x)=(x+l)e"

⑴求函数的单调区间；

⑵若方程/(%)=«(«eR)有两个实数解，求实数a的取值范围.

【答案】⑴减区间是(-仁-2),增区间是(-2,+8)

(2)」<。<0

e

【分析】(1)求出导函数7'(X),由r(x)>0得增区间，由/(x)<o得减区间；

(2)由(1)得出/(x)的极值及变化趋势，利用Ax)的图象与直线x=a有两个交点可得参

数范围.

【详解】(1)由已知/'(X)=e*+(尤+l)e*=(x+2)e",

x<—2时，f'M<0,尤>-2时，(无)>0,

所以/(x)的减区间是(-8,-2),增区间是(-2,+oo)；

(2)由(1)知x=-2时，Ax)取得极小值也是最小值/(-2)=-「=一二,

e

显然x<—l时，/(A：)<0,/(-I)=0,X>-1时，/(%)>0,

/(X)在(-8,-2)上递减，在(-2,+00)上递增，

当尤f—00时，/(%)-0,

作出>=/(%)的大致图象及直线y=Q,如图,

当-3<。<0时，函数尸/⑴的图象与直线x有两个交点，即方程，(x)=。有两个解.

4

角度2：部分分离参数法

典型例题

例题1.(2024高三上•河南•专题练习)已知函数/(x)=r.

⑴求曲线y=/(尤)在x=i处的切线方程；

⑵若函数g(x)=/(x)-------^+2e有且只有一个零点，求。的值.

X

【答案】(i)y=x-i

(2)e3+l

【分析】(1)求得了'(X),可得切线的斜率，从而得到切线方程；(2)将问题转为//(》)=止

X

与双阳=/-2秋+二°只有一个交点，利用导数求出版无)的单调区间和最值，利用二次函数

图像性质求出机(无)的最值，从而得到a的值

【详解】(1)由题意得函数/⑴的定义域为(0,+8),

尤2-2xln尤

l-21n尤.

广(无)=工

/(1)=^=0,♦⑴=^^=1,

所以曲线y=/(x)在无=1处的切线方程为y-0=lx(x-l),即y=x-l.

2

(2)由题意得函数g(x)的定义域为(0,+8),令g(x)=。，得与Inx一上x+=e上'a+2e=0,

XX

gpln^_-2ex+e^a,

令〃(x)=(x>0),m(x)=x2-2ex+eMa(x>0),贝IJ//(》)=^~

由〃(x)=0,得了=©,

由〃'(x)>0,得0<x<e,

由〃(x)<0,得x>e,

所以丸(X)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+◎上单调递减.

所以当x=e时，力(无)取得最大值〃(无)皿"=/?(e)=-.

e

又函数%(%)=%2-2ex+e-1«=(x-e)2+e-1<2-e2,

所以双x)在区间(0,e)上单调递减，在区间(e,+8)上单调递增，故当％二e时，加⑴取得最小

值根(%)min=%(e)=exa-e2.

\y=h(x)

因为函数g(x)=〃x)-J£k+2e有且只有一个零点，

X

所以「"e'L解得a=e3+l