中考数学专项复习：勾股定理综合必刷（解析版）

阶段性复习压轴专题满分攻略

专题02勾股定理综合各市好题必刷

一.选择题

1.（2022春•临沐县期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能

构成直角三角形的是（）

A.M，y，烟B.1,我，MC.6,7,8D.2,3,4

【答案】B

【解答】解4（百）2+（V4）2/（赤）2,不能构成直角三角形，故错误

5、12+（72）2=（百）2,能构成直角三角形，故正确；

C、62+72/82,不能构成直角三角形，故错误；

D、22+32/42,不能构成直角三角形，故错误.

故选：B.

2.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，一个梯子48长2.5米，顶端幺靠在墙ZC

上，这时梯子下端3与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在。E的位置上,

测得8。长为0.9米，则梯子顶端Z下落了（）

A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米

【答案】B

【解答】解：在RtZX/CB中，AC^^AB2-BC2=2.52-1.52=4,

：.AC=2,

•：BD=0.9,

ACD=2.4.

在RtAECZ）中，EO=ED2-C£>2=2.52-2.42=0.49,

:.EC=S7,

：.AE=AC-EC=2-0.7=1.3.

故选：B.

3.（2022春•颍州区期末）如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为

1,点Z,B,C都在格点上，若8。是△4BC的高，则8。的长为（）

CD.

【答案】D

【解答】解：由勾股定理得：zc=*底=后，

,:S.C=3X3-ix2-yXIX3-yX2X3=3.5,

•17

••yAC-BD=y'

.,•V13-BD=7，

13

故选：D.

4.（2021秋•宽城县期末）如图，长为8c机的橡皮筋放置在x轴上，固定两端Z

和8,然后把中点C向上拉升3c机至。点，则橡皮筋被拉长了（）

D

zT\

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】A

【解答】解：及△/CD中，AC=lAB=4cm,CD=3cm；

2

根据勾股定理，得：AD=\/AC*2-K?D2=5cm；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

5.（2022春•岑溪市期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两

树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行

【答案】B

【解答】解：如图，设大树高为43=10%,

小树高为CD=4m,

过C点作CELAB于E,则EBDC是矩形，

连接NC,

:・EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6m,

在RtAZEC中，^C=^AE2+EC2=10m,

故选：B.

6.（2021秋•玉门市期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正

方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形4B、C、。的边长分别是

3、5、2、3,则最大正方形£的面积是（）

E

A.13B.26C.34D.47

【答案】D

【解答】解由勾股定理得，正方形尸的面积=正方形Z的面积+正方形8的

面积=32+52=34,

同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13,

...正方形E的面积=正方形P的面积+正方形G的面积=47,

7.（2022秋•郸城县期中）如图，在中，ZC=90°,分别以各边为直

径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙"，当NC=4,BC

=2时，则阴影部分的面积为（）

A.4B.4-nC.8TTD.8

【答案】A

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

则阴影部分的面积=Lx/CXBC+JL><nX(AC)2+1X-ITX(BC)2-Ix-nX

222222

(胆)2

2

=1X2X4+1XTTX1X(AG+BC2-AB?)

224

=4,

故选：A.

8.（2022春•通海县期末）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方

形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边

为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64,

则正方形⑤的面积为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解答】解：第一个正方形的面积是64；

第二个正方形的面积是32；

第三个正方形的面积是16；

第〃个正方形的面积是鸟，

2n-1

...正方形⑤的面积是4.

故选：B.

10.（2021秋•天元区期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今

有开门去闹（读k®,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意

是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙。）的距离

为2寸，点C和点。距离门槛幺5都为1尺（1尺=10寸），则Z8的长是

【答案】C

【解答】解：取48的中点。，过。作。48于E,如图2所示:

由题意得：OA=OB=AD=BC,

设OA=OB=AD=BC=r寸，

则Z8=2r（寸），DE=U）（寸），OE=1CD=1（寸），AE=（r-1）寸,

2

在RtZ\4DE中，AE2+DE1=AD'2,

即（r-1）2+102"

解得：r=50.5,

.,.2r=101（寸），

.•.43=101寸，

故选：C.

11.（2022•包头自主招生）在△NBC中，NZ、/B、NC的对边分别是a、b、

c,下列说法错误的是（）

A.如果NC-N8=NZ,则△ABC是直角三角形

B.如果c2=〃-q2,则△43C是直角三角形

C.如果NZ：/B：ZC=1：2：3,则△4BC是直角三角形

D.如果髭+〃?。?，则△48C不是直角三角形

【答案】D

【解答】解：4、/C-/B=/A,即N/+N5=NC,又：N/+N5+NC=

180°,则NC=90°,那么是直角三角形，说法正确；

B、c2=b2-a2,即a2+c2=〃，那么△48C是直角三角形且NB=90,说法正

确；

C、/A：ZB：ZC=1：2：3,又,.,NZ+N5+NC=180°,则NC=90°,

则△NBC是直角三角形，说法正确；

D、a=3,b=5,c=4,32+5M42,但是32+42=52,则△48C可能是直角三

角形，故原来说法错误.

故选：D.

12.（2022秋•莲湖区校级月考）如图，在一个高为5加，长为13加的楼梯表面铺

地毯，则地毯长度至少应是（）

5m

A.13mB.17mC.18mD.25m

【答案】B

【解答】解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度132-52=12，

•••地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是12+5=17米.

故选：B.

13.（2022•叙永县模拟）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，

在RtZ\48C中，AC=b,BC=a,ZACB=90°,若图中大正方形的面积为

48,小正方形的面积为6,则（a+A）2的值为（）

【答案】D

【解答】解：由图可知，（A-。）』6,

4xLb=48-6=42,

2

：.2ab=42,

：.（a+b）2=Qb-a）2+4。。=6+2X42=90.

故选：D.

14.（2022春•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，Z（-1,0）,8

（0,2）,以点/为圆心，48为半径画弧，交x轴正半轴于点C,点。的横

坐标介于（）

A.0到1之间B.1到2之间C.2到3之间D.3到4之间

【答案】B

【解答】解：（-1,0）,B（0,2）,

.,.04=1,08=2,

在RtZXZOB中，由勾股定理得：AB=VOA2K）B2=Vl2+22=V5;

:.AC=AB=y[^,

*'•0C=A/S-1,

...点C的横坐标为（遥-1）,

,­,2<V5<3,

1<V5-1<2,

•••点C的横坐标介于1到2之间.

故选：B.

15.（2021秋•汝阳县期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题,

小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急.请你帮助

一下小明.如图，△4BC的顶点Z,B,。在边长为1的正方形网格的格点上，

BDLAC于点D,则BD的长为（）

BC

A.AB.AC.独D.24

5555

【答案】C

【解答】解：由勾股定理得：4。=后1=5,

'：BD±AC,

...△/3C的面积=X4CX3Z>=LX4X4,

22

5

故选：C.

16.（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3,高

是4,上底面中心有一个小圆孔，则一条长10c机的直吸管露在罐外部分。的

长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.5WaW6B.3WaW4C.2WaW3D.

【答案】A

【解答】解：如图，8C为饮料罐的底面直径，。为底面圆心，Z为上底面中

心，作射线氏4、射线D4,

'.ADLBC,AD=4cm,BD=CD=3cm,

VZADB=90°,

'-AB=VAD2+BD2=Vl2+32=5〈cm）,

当吸管底端与点8重合时，则露在罐外部分。最短，此时。=10-5=5

（cm）；

当吸管底端与点。重合时，则露在罐外部分。最长，此时。=10-4=6

（cm）,

：.a的取值范围是5WaW6,

故选：A.

17.（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明

方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）

【答案】B

【解答】解：/•根据图形可知：S大正方形=4X^ab+（b-a）2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2,

••9

.S大正方形=C，

a2+b2=c2；故幺选项不符合题意；

B.不能用于证明勾股定理，故3选项符合题意；

C.根据图形可知：S=4Xxab+c2—2ab+c2,

S大正方形=(a+b)2=a?+2ab+N，

2ab+c2=c^+lab+b1,

a2+b2=c2,故C选项不符合题意;

D.根据图形可知：S大正方形

22

S大正方形=工（b+b+a）Xb+—Ca+b+a）Xa-2X^ab=a+b,

222

a2+b2=c2,故。选项不符合题意，

故选：B.

18.（2022•温州模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955

年希腊发行了以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边

为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在中，ZBAC=

90°,AC=a,AB=b（a<b）.如图所示作矩形处P0,延长C5交HF于点

G.若正方形5CDE的面积等于矩形5£EG面积的3倍，则曳为（）

b

l,FDP

图1图2

A.巨B.叵C.娓-1D.3-娓

4222

【答案】D

【解答】解：过ZAQ1BC,

，我=也

C

设8C=c,

".c2=a2+b2,

..•S正方形BEDC=C2,

,:MB=AB=b,/MBA=/BQA=/MGB=90°,

ZMBG+ZABC=90°,ZABC+ZBAQ=90°,

NABC=/BMG,

:.AMGBmABQA(AAS),

：.BG=AQ=^-,

1•S矩形BGFE=C•且旦=q/b

c

正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3倍,

♦•c2=3ab,

c2=a2+b2,

a2+b1=3ab,

a2+b2-3ab—0,

.，.a=3±b,

2

,:a〈b,

2=3~Vs.

2

故选：D.

19.（2022春•同安区期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地

秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,

终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当

它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板

就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索

有多长？绳索长为（）

A.12.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺

【答案】C

【解答】解：设绳索有x尺长，则

102+（x+1-5）2=x2,

解得：x=14.5.

故绳索长14.5尺.

故选：C.

20.（2022春•宁津县期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1

是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定

理，将图1按图2所示“嵌入”长方形£射,则该长方形的面积为（）

图1

A.60B.100C.110D.121

【答案】C

【解答】解：延长48交K2于点。，延长ZC交于点尸，如图所示:

则四边形N3尸是矩形，

AZBOF^ZBAC=90°,

•四边形BCGE是正方形，

：.BC=BF,ZCBF=90°,

/.ZABC+ZOBF=90°,

又,..梃△ZBC中，ZABC+ZACB=90°,

：.4OBF=ZACB,

在△ORF和△NC3中，

，ZBAC=ZB0F

•ZACB=ZOBF>

tBC=BF

：.AOBF^/\ACB(AAS),

:.AC=OB,

同理：AACB式APGC(AAS),

：.PC=AB,

：.AB+OB=PC+AC,

即OA=AP,

，矩形Z"尸是正方形，^1^AO=AB+OB=AB+AC=3+4=1,

：.KL=3+1=1O,£M=4+7=11,

长方形次的面积为：10X11=110,

故选：c.

二.填空题

21.（2022春•丰都县期中）如图，以直角△48C的三边向外作正方形，其面积

分别为S],5*2,$3,且Si=4,$2=8,则§3=.

【答案】12

【解答】解：•••△48C直角三角形，

J.BC+AO^AB2,

222

'."S^BC,S2=AC,S3=AB,S=4,§2=8,

:.s3=Si+s2=n.

22.（2022春•定南县期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》

时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾。=6,弦c=10,则小正方形48co的

面积是.

【答案】4

【解答】解：•.•勾。=6,弦c=10,

股=4］、2-62=8,

...小正方形的边长=8-6=2,

...小正方形的面积=22=4

故答案是：4

23.（2022春•河北区期末）若一直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边长

为.

【答案】10

【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，

故斜边长=462+82=10，

故答案为10.

24.（2022秋•榕城区期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3根处折断

倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为—m.

【解答】解由勾股定理得，断下的部分为疹不=5米，折断前为5+3=8

米.

25.（2022•黔东南州模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”

今有池方一丈，葭（jia）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水

深几何？"（注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，

即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央

有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的

顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是尺.

【答案】12

【解答】解：设水池里水的深度是x尺,

由题意得，x2+52=（x+1）2）

解得：x=12,

答：水池里水的深度是12尺.

故答案为：12.

D

26.（2022•沈北新区二模）如图，在中，AB=5,AC=4,BC=3,分别

以点2、点5为圆心，大于二45的长为半径画弧，两弧相交于点N,作

2

直线跖V交45于点O,连接C。，则CO的长为.

【答案】1

2

【解答】解：•.18=5,AC=4,BC=3,

：.AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

由作图可知："N是48的垂直平分线，

，。是45的中点，

.•.。。=工45=2

22

故答案为：1.

2

27.（2022春•合阳县期末）如图，在中，ZACB=90°,BC=3,AC=

4.以48为边在点C同侧作正方形4BQE,则图中阴影部分的面积

【答案】19

【解答】解：在Rtz\/3C中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

则AB=7AC2+BC2=V32+42=5，

•••S阴影部分=/B2-X4C*5C=52-1X3X4=19,

22

故答案为：19.

28.（2022春•滨州期中）如图，已知四边形/BCD中,ZABC=90°,28=3,

BC=4,CD=13,DA=12,则四边形Z8CD的面积等于.

【答案】36

【解答】解：连接NC,

VZABC=9Q°,AB=3,BC=4,

,VAB2+BC2=V32+42=5'

在中，C^+CD2=25+144=169=AD2,

.•.△/CD是直角三角形，

•••S四边形4BCD=L5・5C+UC・CZ)=JLX3X4+1X5X12=36.

2222

故答案为：36.

29.（2022春•上杭县期中）如图，在△48C中，AB=AC=5,底边8C=6,点

尸是底边8c上任意一点，尸。,45于点。，尸ELZC于点E,则PD+PE=.

【解答】解：连接4P,过N作NFLBC于R

'：AB=AC=5,

:.BF=CF=1BC=3,

2

由勾股定理得：AF=^]52_32=4,

由图可得，SUBC=SMBP+S“CP>

于。，PELACE,

.11.1

--yBC-AF=yAB-PD+yAC-PE-

yX6X4=yX5PD+^X5PE,

24=5(PD+PE),

：.PD+PE=4.8,

故答案为：4.8.

30.（2022春•济阳区月考）如图，在Rt^ZBC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=

4,将△45C折叠，使点8恰好落在边ZC上，与点夕重合，ZE为折痕，

则£5，=.

【答案】15

【解答】解：根据折叠可得5E=E5,，AB'=AB=3,

设BE=EB，=x,贝l]EC=4-x,

VZS=90°,AB=3,BC=4,

...在RtZ\45C中，由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=如2+&2_5,

：.B'C=5-3=2,

在RtZ\5'EC中，由勾股定理得，x2+22=（4-x）2,

解得x=1.5,

故答案为：1.5.

31.（2022秋•英城区校级期中）如图，在△幺台。中，AC=BC=13,28=24,D

是48边上的一个动点，点E与点/关于直线CD对称，当△ZQE为直角三

角形时，则幺。的长为.

【答案】7或17

【解答】解：作于

♦在△ZBC中，AC=BC=13,AB=24,

：.AF^12,

.\CF=^AC2_AF2=5,

①如图1,当点。在幺尸上时，

VZADE=90°,

:.NADC=NEDC=(360°-90°)4-2=135°.

：.ZCDF=45°.

：.CF=DF.

：.AD=AF-DF=AF-CF=12-5=7.

②如图2,当点。在AF上时，

VZADE=90°,

：.ZCDF=45°.

：.CF=DF.

32.（2022春•咸宁校级期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：

①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26

请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：.

【答案】16,63,65

【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（〃+1）；第二个是:

n（n+2）；第三个数是：（〃+1）2+1.

所以第⑦组勾股数：16,63,65.

故答案为：16,63,65.

32.（2022秋•迎泽区校级月考）一长方体容器（如图1）,长、宽均为2,高为

8,里面盛有水，水面高为5,若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体

容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CZ）

图I图2

【答案】2技

【解答】解：如图所示：

设QE=x,贝！J4D=8-x,

根据题意得：1（8-x+8）X2X2-2X2X5,

2

解得：x=6,

：.DE=6,

VZE=90°,

由勾股定理得：CD—JDE2VE*=462+222A/IQ,

故答案为：2/15-

33.（2022春•沾化区期中）如图，已知圆柱底面的周长为4加，圆柱高为2所,

在圆柱的侧面上，过点Z和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小

【答案】4历dm

【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最

小为2ZC的长度.

,圆柱底面的周长为4加，圆柱高为2力〃，

.'.AB~2dm,BC=BC'—2dm,

.".AC2=22+22=8,

♦.A.C^2"\["^cbn.

，这圈金属丝的周长最小为2ZC=4加血.

故答案为：4adm

A

CBC

34.（2022春•兖州区期末）如图，某自动感应门的正上方Z处装着一个感应器,

离地面的高度4B为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时

这名学生离感应门的距离3c为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，

则这名学生身高CD为米.

CB

【答案】16

【解答】解：过点。作。于E,如图所示:

则CD=8E,£>«=5。=1.2米=立米，

5

在Rt^4DE中，40=1.5米=3米，

2

由勾股定理得：AE-VAD2-DE2~J2~0-9（米''

：.BE=AB-AE=2.5-0.9=L6（米），

.,.CD=3E=1.6米,

故答案为：1.6.

CB

35.（2022•东城区校级模拟）如图，正方形48co是由四个全等的直角三角形

围成的，若CF=5,48=13,则EF的长为.

【答案】772

•；正方形/BCD是由四个全等的直角三角形围成的,

：.AH=BE=CG=DF,AE=BG=CF=DH,

：.EG=GF=GH=HE,

・•・四边形EGW为菱形，

•••△48E为直角三角形，

AZAEB=ZGEH=90°,

...四边形EGEH为正方形，

•.•四边形/BCD为正方形，

：.CD=AB=13,

在RtZkCQE中，ZDFC=90°,CF=5,

根据勾股定理得，DF=\2,

：.GF=DF-DH=GC-FC=7,

在△GEF中，GE=GF=7,NEG尸=90。，

根据勾股定理得，EF=+y2=75/2•

故答案为：7加.

36.（2022秋•铁岭月考）如图，在中，ZC=90°,AB=5cm,AC=

3cm,动点尸从点5出发，沿射线5c以2cm/s的速度移动设运动的时间为笈

当，=时，4/80为直角三角形.

[答案]2s或空s

8一

【解答】解：VZC=90°,AB=5cm,AC^3cm,

.\BC=4cm.

①当N4P5为直角时，点尸与点C重合，BP=BC=4cm,

.•・f=44-2=2s.

②当NBZ尸为直角时，BP=2tcm,CP=(2/-4)cm,AC=3cm,

在RtAZCP中，AP2=32+(2/-4)2,

在RtAB/P中，AB2+AP2=BP2,

.,.52+[32+(2/-4)2]=⑵)2,

解得

8

综上，当f=2s或区时，△ZAP为直角三角形.

8

故答案为：2s或区.

8

37.(2021秋•峨边县期末)如图，RtA/BC中，Z£AC=90°,分别以△NBC

的三条边为直角边作三个等腰直角三角形AABD、AACE.ABCF,若图中

阴影部分的面积&=6.5,S2=3.5,S3=5.5,则S《=.

【答案】15

【解答】解：•••△25。、LACE、/kBCF均是等腰直角三角形，

:.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

AB=BD=a,4C=CE=b,BC=CF=c,S“BG=m，SMCH=n,

'：a2+b2=c2,

••S“BD+S"CE=SABCF，

/.Si+zw+〃+S4—S2+S3+加+〃，

•••S4=3・5+5.5-6.5=2.5

故答案为：2.5.

三.解答题(共16小题)

38.(2021秋•锡山区期末)在等腰△48C中，AB=AC,CDL48于。.

(1)若乙4=40°,求NDC8的度数；

(2)若BC=15,CD=U,求/C的长.

【解答】解：(1)-：AB=AC,

/B=/ACB,

,.,N/=40°,

AZDBC=70°,

又

：./DCB=90°-70°=20°；

(2)RtZ\8CZ)中，BD—gQ2_Q£)2=1522='

设NC=/8=x,则ZD=x-9,

Rt△/CD中,AD2+CD2=AC2,

：.(x-9)2+122=x2,

解得％=”^=12.5,

18

：.AC^12.5.

39.(2022春•启东市期末)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，点Z(2,

1),5(-2,4),直线48与y轴交于点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求证：△048是直角三角形.

【解答】（1）解：设直线4B的解析式为：y=kx+b,

点Z（2,1）,8（-2,4）,

则（2k+b=l,

I-2k+b=4

2

K4

解得，匚，

,b=7

•••设直线Z5的解析式为：y=-3什立，

42

.•.点C的坐标为（0,1）；

2

(2)证明：•.•点Z(2,1),8(-2,4),

：.OA2=22+12=5,082=22+42=20,232=32+42=25,

则OA2+OB2=AB2,

：./\OAB是直角三角形.

40.2022春•黄州区校级期中)如图，一艘船由/港沿北偏东60°方向航行10人机

至5港，然后再沿北偏西30°方向航行10左机至C港.

(1)求Z,C两港之间的距离(结果保留到0.1加，参考数据：72^1.414,

我心1.732)；

(2)确定C港在N港的什么方•向.

北

C

P

晨

【解答】解：(1)由题意可得，NPBC=30°,ZMAB=60°,

：.ZCBQ=60°,ZBAN=3Q°,

AZABQ=30°,

/.ZABC=90°.

'：AB=BC=10,

(左掰).

.,.^C=1/AB2+BC2=1OV2^14.1

答：4、C两地之间的距离为14.1痴.

(2)由(1)知，△NBC为等腰直角三角形，

AZBAC=45°,

：.ZCAM=60°-45°=15°,

••.C港在Z港北偏东15°的方向上.

41.(2022春•荣县校级月考)超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,

小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速,

观测点设在到公路/的距离为100米的尸处.这时，一辆富康轿车由西向东

匀速驶来，测得此车从Z处行驶到5处所用的时间为3秒，并测得/2尸。=

60°,ZBPO=45°,试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？

(参考数据：72=1.41,73=1.73)

【解答】解：由题意知：尸。=100米，ZAPO=60°,ZBPO=45°,

在直角三角形AP。中，

VZBPO=45°,

：.BO=PO=10Qm

在直角三角形4P。中，

VZAPO=60°,

.,.AO=PO*tan60°=100«

：.AB=AO-BO=(100V3-100)Q73米，

•••从Z处行驶到8处所用的时间为3秒，

速度为73+3~24.3米/秒=87.6千米/时＞80千米/时，

此车超过每小时80千米的限制速度.

42.(2021秋•昆明期末)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上

百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东

西方向Z8由Z行驶向8,已知点C为一海港，且点C与直线Z8上的两点

A,8的距离分别为ZC=300左根，BC=400km,又4B=500km,以台风中心为

圆心周围250km以内为受影响区域.

(1)求NZCB的度数；

(2)海港C受台风影响吗？为什么？

(3)若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受

到影响，当台风运动到点尸时，海港。刚好不受影响，即CE=CF=250后〃,

则台风影响该海港持续的时间有多长？

AB

【解答】解：(1)\'AC=3Q0km,BC=400km,AB=500km,

，△NBC是直角三角形，ZACB=90°；

(2)海港C受台风影响，

理由：过点C作CDL4B,

•.•△48。是直角三角形，

：.ACXBC=CDXAB,

300X400=500XCO,

ACD=240(km),

•以台风中心为圆心周围2506以内为受影响区域，

海港C受台风影响；

(3)当EC=250km,EC=250bn时，正好影响C港口，

ED—gQ2_Qp2=70(km),

：.EF=140hn,

•/台风的速度为20千米/小时，

.*.1404-20=7(小时).

答：台风影响该海港持续的时间为7小时.

43.(2022秋•诏安县期中)如图，笔直的公路上幺、8两点相距25而，C、D为

两村庄，D4LZ5于点4CBLAB于点B,已知D4=15痴，CB=lQkm,现

在要在公路的25段上建一个土特产品收购站E,使得C、。两村到收购站£

的距离相等，则收购站£应建在离Z点多远处？

D\

【解答】解：•.•使得C,。两村到E站的距离相等.

：.DE=CE,

于Z,CBL4B于B,

：.ZA^ZB=90°,

：.A^+AD2=D^,BF^+BC2=EC2,

：.AE2+AD2=BE2+BC2,

设AE=xkm,则BE=AB-AE=（25-x）km.

■:DA=15km,CB=IQkm,

：.x2+152=(25-x)2+102,

解得：x=lQ,

：.AE=10km,

，收购站E应建在离/点10左根处.

44.(2021秋•玉门市期末)如图，把一块直角三角形(△48C,NZC5=90°)

土地划出一个三角形(△ZQC)后，测得CD=3米，2。=4米，8c=12米,

4g=13米.

(1)求证：Z^DC=90°；

(2)求图中阴影部分土地的面积.

【解答】（1）证明：,：ZACB=9Q°,BC=12米，幺5=13米,

：'AC=VAB2-BC2=V132-122=5（米

米，幺。=4米,

：.AD2+CD2=AC2=25,

：.ZADC=90°；

(2)解图中阴影部分土地的面积=LCX8C-LOXCZ)=JLX5><12-lx

2222

4X3=24(平方米).

45.(2022秋•滕州市校级月考)问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的

数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公

式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.

是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；

(2)如图2,在Rt^A8C中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以

及△4BC的三边长向外作正方形的面积分别为多,S2,S3,试猜想Si，S2,S3

之间存在的等量关系，直接写出结论.

(3)如图3,如果以RtZXZBC的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么第

(2)问的结论是否成立？请说明理由.

(4)如图4,在Rt448C中，ZACB=9Q°,三边分别为5,12,13,分别

以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积.

【解答】解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2-,

(2)Si+S2=S3；

(3)成立，设直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为a

戌)』兀,兀,兀,

：.S2=1Mb253=ln(A)2=a2s=l^.(9)2=c2

2、2，8228228

兀_|_b2兀=兀(a'+b，)

°-88-

.,.51+52=53；

(4)根据(3)的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的

半圆面积.

...阴影部分的面积=直角三角形面积

.,•阴影部分的面积=5X12+2=30.

46.(2022秋•东台市月考)如图，已知氏4=8C,BD=BE,ZABC=ZEBD=

90°.

(1)求证：AB平分/EAC；

(2)若AD=1,CD=3,求BD.

【解答】解：(1)证明：ZABC=ZEBD=90°,

：.ZABD+ZCBD=ZABD+ZABE,

：.ZCBD=ZABE,

在和△CAD中，

'BA=BC

<ZCBD=ZABE-

kBD=BE

:AABE2ACBD(&4S),

/EAB=/BAC,

.•.48平分NE/C；

(2),：AD^1,CD=3,

：.AC=4.

'：BA=BC,ZABC=90°,

:.AB=BC=,ZC=45

过点8作于点R如图:

则ABCF为等腰直角三角形，

:.BF=CF=2,

：.DF=CD-CF=1,

在RtZkBFD中，由勾股定理得:

5£)=VBF2+DF2

=V22+12

-yfb-

：.BD的长等于遥.

47.(2021秋•丰泽区校级期末)如图，在△48C中，AB=AC,Z。，5c于点

D,ZCBE=45°,分别交ZC,4D于点E、F.

(1)如图1,若48=13,5c=10,求4F的长度；

(2)如图2,若AF=BC,求证：叱+£产=/£2.

'：BC=10,

：.BD=5,

白△/8。中，'：AB=13,

AD=VAB2-BD2=V132-52=12,

白△RD尸中，VZC5£=45°,

.••△8。尸是等腰直角三角形，

：.DF=BD=5,

：.AF=AD-DF=12-5=7；

(2)证明：如图2,在AF上取一点H,使BH=EF,连接CF、CH

在△CHB和/XZE/中，

'BH=EF

•"ZCBH=ZAFE=45°>

BC=AF

:.LCHB咨LAEF(SAS),

：.AE=CH,AAEF=ZBHC,

：.ZCEF=ZCHE,

:.CE=CH,

,:BD=CD,FDLBC,

：.CF=BF,

：.ZCFD=ZBFD=45°,

：.ZCFB=9Q°,

:.EF=FH,

白△CFX中，由勾股定理得：CF2+FH2=CH2,

：.BF2+EF2=AE2.

48.(2022春•张湾区期中)如图，已知△NBC中，ZB=9Q°,AB=16cm,BC

=12cm,P、。是△4BC边上的两个动点，其中点尸从点Z开始沿Z-8方

向运动，且速度为每秒1。以，点0从点8开始沿5-C-Z方向运动，且速度

为每秒2c祖，它们同时出发，设出发的时间为/秒.

备用图

（1）出发2秒后，求尸0的长；

（2）当点0在边5c上运动时，出发几秒钟后，△P。能形成等腰三角形？

（3）当点0在边C4上运动时，求能使△BC。成为等腰三角形的运动时

间.

【解答】解：（1）•.•80=2X2=4（cm）,BP^AB-AP=16-2X1=14

（cm）,ZB=90°,

PQ=42+142=V212=2>/53（cm）；

（2）BQ=2t,BP=16-t,

根据题意得：2/=16-t,

解得：片也，

3

即出发笄秒钟后，△尸08能形成等腰三角形；

（3）①当CQ=B。时，如图1所示，

则NC=NC50,

VZ^5C=90°,

...NC80+N/8Q=9O°.

ZA+ZC=90°,

ZA=ZABQ,

^BQ=AQ,

：.CQ=AQ=10,

：.BC+CQ^22,

.•“=22+2=11秒.

②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24,

.1=24+2=12秒.

③当8c=3。时，如图3所示，

过5点作5EL/C于点E,

则/?ff=AB>BC=12X16_48：

AC20-5'

^^VBC^BE2=J122-(^-)2*,

IDD

：.CQ=2CE=14A,

：.BC+CQ=26A,

.•"=26.4+2=13.2秒.

综上所述：当/为11秒或12秒或13.2秒时，△3CQ为等腰三角形.

图3

Bp«-----A

南2

上

B-p图'«-----A

49.（2022春•龙湖区期末）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5机

的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13根，此人以0.5机/s

的速度收绳10s后船移动到点。的位置，问船向岸边移动了多少机？（假设

绳子是直的，结果保留根号）

【解答】解：•.•在RtZXZBC中，ZG45=90°,BC=13m,AC^Sm,

AAB=V132-52=12(m),

•此人以0.5根/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，

.\CD=13-0.5X10=8(m),

AD=VCD2-AC2=^64-25=V39(w))

**.BD=AB-AD=(12-V39)