中考数学专项复习：平方差公式（1个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第05讲平方差公式

01学习目标

k

课程标准学习目标

1.掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能够

①平方差公式

在题目中熟练应用。

02思维导图

f!H知识清单

知识点01平方差公式

1.平方差公式:

1

(a+b\a-b)^—a-b-o即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。

2.平方差公式的特征：

两个二项式相乘。若他们其中一项相同，另一项互为相反数，则他们的结果等于相同项

的平方减去互为相反数项的平方。

3.平方差公式的几何意义：

如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。

图①的面积为：(a+b)(a—乃；图②的面积为：a2-b2.

图①与图②的面积相等。所以(。+砍。—乃=储—廿

【即学即练1】

1.计算：

(1)(a+b)(a-2)；⑵(x蒋)(x《)；(3)(m+n)(m-«)；

(4)(0.1-x)(0.1+%)；(5)(x+y)(-y+x)

【分析】根据平方差公式(a+6)(a-b)=a2-b2,可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项

式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.相乘的结果应该是：右边是乘式中

两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).即可解答本题.

【解答】解：(1)(a+6)2)

—c^+ba-1a-2b,

(2)(x--)(x+—)

22

_21

一X---，

4

(3)(m+n)(m-

一_m2-n2,

(4)(0.1-x)(0.1+x)

=0.01-x2,

(5)(x+y)(-y+x)

-y2.

【即学即练2】

2.已知％2-y2=]0,x_y=2,则x+y等于5.

【分析】根据平方差公式得出G+y)(%-y)代入已知求出即可.

【解答】解：<％2->2=10,%-y=2,

.,.x2-y2=(x+y)(%-y)=2(尤+y)=10,

••x+y5•

故答案为：5.

【即学即练3】

3.计算：1232-124X122.

【分析】先把124X122写成(123+1)X(123-1),利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.

【解答】解：1232-124X122,

=1232-(123+1)(123-1),

22

=1232-(123-1),

【即学即练4】

4.如图(1),在边长为。的正方形中挖去一个边长为6的小正方形(a>6),把余下的部分拼成一个长方

形，如图(2),此过程可以验证()

A.(a+6)2—a2+2ab+b2B.(a-b)2—cr-2ab+b2

C.a2-b2=(a+6)(a-b)D.(a+b)2=(a-b)2+4ab

【分析】分别表示图(1)和图(2)中阴影部分的面积即可得出答案.

【解答】解：图(1)中阴影部分的面积为：a2-b2,

图(2)中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),

因此有-匕2=(a+b)(a-b),

故选：C.

题型精讲

题型01利用平方差公式计算

【典例1】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()

A.(x+1)(-x-1)B.(2+a2)(2-a2)

C.(-x+y)(尤-y)D.(/+y)(x-y2)

【分析】根据平方差公式分别进行判断即可.

【解答】解：A、(x+1)(-%-1),不可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意;

B、(2+/)(2-a2),可以用平方差公式计算，故选项8符合题意；

C、(-x+y)(尤-y),不可以用平方差公式计算，故选项C不符合题意；

D、(f+y)(x-y2),不可以用平方差公式计算，故选项O不符合题意；

故选：B.

【变式11计算：

(1)(x+3y)(x-3y)；

(2)(城+2)-2)：

(3)(2m-n)(-2m-n).

【分析】(1)直接运用平方差公式展开；

(2)先根据平方差公式展开得到原式=(X3)2-22,然后根据幕的乘方法则运算；

(3)先提负号得到原式=-(2m-n)(2m+n),然后根据平方差公式计算.

【解答】解：(1)原式=7-9/；

(2)原式=(%3)2-22

=x6-4；

(3)原式=-(2m-n)(2m+n)

=-(4m2-及2)

=-4m2+n2.

【变式2】利用乘法公式计算下列各题：

(1)(2x+y)(2x-y)；

(2)(-|-x+5y)(-|-x-5y)；

(3)(x+3)(x-3)(W+9)；

(4)(x-A)(/+-1)(x+A).

242

【分析】(1)利用平方差公式进行计算即可得解；

(2)利用平方差公式进行计算即可得解；

(3)二次利用平方差公式进行计算即可得解；

(4)先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解.

【解答】解：(1)(2x+y)(2r-y)

=(2x)2-y2

=4/-y2；

(2)(—x+5y)(—x-5y)

SB，

=心X)2-(5J)2

3

=—x2-25y2；

9

(3)(x+3)(x-3)(/+9)

=(x2-9)(X2+9)

=x4-81；

(4)(x-A)(/+工)(x+1)

242

【变式3】计算:

(1)(2a-5)(-2a-5)；

⑵(3a《b)(《a蒋b)；

(3)(5ab-3x)(-3x-5ab)；

(4)(yx-2)(yx+2)-x(x+8)；

(5)(x-y)(yx-y)-(yx-y)(yx+y)-

【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=（T-b2,即可解答本题.

【解答】解：（1）（2a-5）（-2a-5）=25-4a2；

(2)(_Aa+Ab)(-_Lb)=、2］匕2；

323294

(3)Cab-3尤)(-3x-5ab)=9/-25a2Z?2；

(4)(/x-2)(/x+2)-点x(尤+8)，

22

=—x-4-—x-2x,

44

=-2x-4；

(5)(x-y)(4x-y)-4x-y)Ax+y)，

9o3

=(x-y)(yx-y)_(yx2-y2),

_210

—2oy-^-xy-

题型02利用平方差公式求值

【典例1】如果/-庐=12,a+b=A,则a-b=3.

【分析】先根据平方差公式分解，再代入求出即可.

【解答】解：：a2-62=12,

（〃+8）（4-。）=12,

〃+。=4,

••ci~b~~39

故答案为：3.

【变式1】若/-庐=10,a-b=2,贝Ua+6的值为（）

A.5B.2C.10D.无法计算

【分析】/-庐=10,即（a+b）（a-b）=10,把a-b=2代入即可求得答案.

【解答】解:•••。2-廿=1（）,

（〃+。）（〃-。）=10,

•・"-。=2,

••〃+Z?^5.

故选：A.

【变式2】已知/-y2=-i,X+y=X,则X-y=-2.

【分析】先对已知等式的左边利用平方差公式分解因式，然后再利用积、因数的关系可得答案.

【解答】解：-y2=（x+y）（x-y）=-1,%+y=/

2

故答案为：-2.

【变式3］若〃+。=3,贝U〃2-廿+66的值为()

A.3B.6C.9D.12

【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可.

【解答】解：・・・〃+。=3,

Aa2-庐+66

=(〃+。)(a-Z?)+6。

=3a-3b+6b

=3(〃+/?)

=3X3

=9.

故选：C.

【变式4］已知根-〃=1,则渥-A?-2〃的值为()

A.1B.-1C.0D.2

【分析】根据平方差公式化简，把加-九=1整体代入即可得出答案.

【解答】解：・.・加-〃=1,

，原式=(m+n)(m-n)-2n

—m+n-2n

=m-n

=1,

故选：A.

题型03利用平方差公式简便运算

【典例1】用简便方法计算103X97时，变形正确的是()

A.1002-3B.1002-32

C.1002+2X3X100+3D.1002-2X100+32

【分析】利用平方差公式进行简便运算，把原式化为103X97=(100+3)(100-3)=1002-32,从而

可得答案.

【解答】解:103X97=(100+3)(100-3)=1002-32.

故选：B.

【变式1】20132-2012X2014的计算结果是()

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根据平方差公式计算即可.

【解答】解：20132-2012X2014=20132-(2013-1)(2013+1)=20132-20132+1=1.

故选：A.

【变式2】利用平方差公式计算：

(1)31X29；

(2)9.9X10.1；

(3)98X102；

(4)1003X997.

【分析】这是两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数.相乘的结

果应该是：右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).

【解答】解：(1)(30+1)(30-1),

=900-1,

=899；

(2)(10-0.1)(10+0.1),

=100-0.01,

=99.99；

(3)(100-2)(100+2),

=10000-4,

=9996；

(4)(1000+3)(1000-3),

=1000000-9,

=999991.

【变式3】已知"=20242,2023X2025,则M与N的大小关系是()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【分析】利用平方差公式把N=2023X2025变形后即可判断.

【解答】解：VM=20242,N=2023X2025=(2024-1)(2024+1)=20242-1,

20242-(20242-1)=1>0,

：.M>N.

故选：A.

【变式4]计算：I2-22+32-42+52-62+-+20012-20022+20032-20042.-2009010

【分析】本题是平方差公式的应用.

【解答】解：I2-22+32-42+52-62+…+20012-20022+20032-20042=-[(22-I2)+(42-32)+(62

-52)+•••+(20022-20012)+(20042-20032)],

利用平方差公式I2-22+32-42+52-62+―+20012-20022+20032-20042=-[(22-I2)+(42-32)+(62

-52)+•••+(20022-20012)+(20042-20032)]

=-[(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+•••+(2002-2001)(2002+2001)+(2004-

2003)(2004+2003)]

(3+7+11+15+-+4003+4007)(1+2004)X2004

"I-

=-2009010.

【变式5】计算:（心）（咔]

2)•

420042

【分析】根据平方差公式求解即可.

【解答】解:原式=(1-1)(1+1)(1-1)(1+1)…(1----)(1+---)

223320042004

■lxgx2x&x…X2UUS.X2UU5

223320042004

_1x2005_2005

220044008

题型04平方差公式的几何意义

【典例1】如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为。的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个

长方形，上述操作能验证的等式是（）

图②

A.cr-ab—a(a-b)B.cz2-lab+b1—(a-b)2

C.cr-b2—(a+b)(a-6)D.a2+2ab+b2—(a+b)2

【分析】由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解.

【解答】解：由图1可知剩余部分的面积为：a2-b2,

由图2可求长方形的面积为：（a+b）（a-6）,

•*.a2-b2=（a+b）（a-i＞）,

故选：C.

【变式1】如图，阴影部分是在边长为。的大正方形中剪去一个边长为6的小正方形后所得到的图形，将

阴影部分通过割、拼，形成新的图形.给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）

图②

C.①②D.①②都不能

【分析】利用面积法，分别计算左图与右图的阴影部分面积进而可得结论.

【解答】解：如图①，左图的阴影部分的面积为/-扇，右图的阴影部分是上底为26,下底为2a,高

为(a-b)的梯形，因此面积为工(2b+2a)(tz-i>)=(。+6)(a-b),

2

所以有。2-廿=(。+6)(a-b),

因此图①方法可以验证平方差公式，

如图②，左图的阴影部分的面积为a2-b2,右图的阴影部分是底为(a+b),高为(a-b)的平行四边形，

因此面积为la+b)(a-6),

所以有/-/=(«+&)(a-b),

因此图②方法也可以验证平方差公式，

故选：C.

图①图②

【变式2】王大爷改建一个边长为x(尤>3)米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向

减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是()

A.面积减少3加2B.面积减少97/

C.面积增加3/2D.面积增加9扇

【分析】求出变化前后面积差即可.

【解答】解：变化前正方形的面积为/平方米，

变化后的长为(x+3)米，宽为(x-3)米，因此面积为(x+3)(x-3)=(?-9)平方米，

所以变化后面积减少9平方米，

故选：B.

【变式3］如图，边长为(a+3)的正方形纸片剪出一个边长为。的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个

长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3,则另一边长是()

A.2。+3B.2。+6C.〃+3D.〃+6

【分析】设另一边长为x,然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解.

【解答】解：设另一边长为羽

根据题意得，3x=(〃+3)2-a2,

解得x=2a+3.

故选：A.

【变式4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是40,则阴影部分的面积是()

A

BD

A.80B.40C.20D.10

【分析】设8C=a,BD=b,由拼图可知a2-&2=40,再利用三角形面积公式分别用代数式

表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行因式分解即可.

【解答】解：设BC=a,BD=b,则AE=a-b,a2-Zj2=40,

所以S阴影部分=工〃(a-b)+—h(a-b)

22

=—(a+6)(a-b)

2

=—X(a2-Z?2)

2

=AX40

2

=20.

故选：C.

05强化训练

1.下列各式不能用平方差公式计算的是()

A.(y+2x)(2x-y)B.(-x-3y)(x+3y)

C.(2?-J2)(2/+y2)D.(4a+6)(4a-b)

【分析】根据(a+b)Qa-b)=。2-序平方差公式逐项分析即可.

【解答】解：A.(y+2x)(2x-y)=4?-/,故能够用平方差公式计算；

B.(-x-3y)(x+3y)不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；

C.(2?-y2)(2x2+，)=4；-，，故能够用平方差公式计算；

D.(4«+£>)(4a-6)—16a1-b2,故能够用平方差公式计算；

故选：B.

2.己知尤-y=5,则/ioy的值是()

A.10B.15C.20D.25

【分析】先把/-丁-i0y变形为：(x+y)(x-y)-10y,把尤-y=5代入，再整理为：5(x-y),再

把x-y=5代入计算，即可得出答案.

【解答】解：・・・％-y=5,

.'.X2-y2-10y

=（%2-y2）-10y

=（x+y）（x-y）-lOy

=5（x+y）-lOy

=5x+5y-lOy

=5x-5y

=5（x-y）

=5X5

=25.

故选：D.

3.若（〃+l）（4-1）=35,则〃的值为（）

A.±6B.±3C.6D.3

【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答.

【解答】解：・.・（«+1）（67-1）=35,

a2-1=35,

/=36,

••a='±6,

故选：A.

4.已知：4+6=3,a-b=\,贝!J/-廿等于（)

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据平方差公式即可得出答案.

【解答】解：•.,。+。=3,a-b=l,

・\原式=（〃+。）（〃-。）

=3X1

=3.

故选：C.

5.计算（a-b）（〃+/?）（d+廿）（tz4+Z?4）等于（）

A.〃4_。4B./+卢C.a6-庐D.a8-心

【分析】根据平方差公式：（〃+。）Ub）=/-序求解即可得到答案.

【解答】解：（〃-。）（〃+/?）（渣+庐）（a^+b^）

=（〃2-廿）（/+万2）（fl4+Z?4）

=（〃4一。4）（曲心

=〃8-Z?8,

故选：D.

6.若一个正方形的边长增加2on,则面积相应增加了325？，那么这个正方形的边长为（）

A.6cmB.5cmC.8cmD.7cm

【分析】设这个正方形的边长为尤cm,根据题意由面积相增加了32。层列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：设这个正方形的边长为xcm,

由题意得（x+2）2-/=32,

解得x=7.

故选：D.

7.若（x+y+1）（x+y-1）=8,则x+y的值为（）

A.3B.±3C.-3D.±5

【分析】根据题中条件，掌握解方程的基本方法是解决问题的关键.令x+y=7〃，得出（初+1）（w-1）

=8,求出//=9,得出相=±3,即可得出答案.

【解答】解：令x+y=加，

（x+y+1）（x+y-1）=8,

（m+1）（m-1）=8,

m2-1=8,

解得：m2=9,

.'.m=±3,

.•.x+y=-3,x+y=3,

故选：B.

8.如图，从边长为。+1的正方形纸片中剪去一个边长为〃-1的正方形剩余部分沿虚线剪开，

再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）

【分析】根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可.

【解答】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为（a+1）+（〃-1）=2〃，宽为（〃+1）-（41-1）=

2,因此面积为2〃X2=4〃，

故选：A.

9.如图，在边长为2〃的正方形中央剪去一边长为（〃+2）的小正方形（〃>2）,将剩余部分剪开，密铺成

一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）

7\

2a

A.3a2-4B.2『+4aC.3/-4。-4D.3a2+4a+4

【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可.

【解答】解：该平行四边形的面积为(2a)2-Q+2)2=4/52ya-4=3/-4a-4,

故选：C.

10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如(8=32-1,16

=52-32,即8,16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为()

A.255024B.255054C.255064D.250554

【分析】设相邻的两奇数分别为2”+1,2”-1"21,且w为正整数)，求出和谐数的表达式，根据和

谐数不超过2017,列出不等式，求得〃的范围，进而可以知道最大的“，求出此时的相邻两个奇数，然

后把这些和谐数加起来计算即可.

【解答】解：设相邻的两奇数分别为2”+1,2n-l(“21,且〃为正整数)，

(2n+l)2-(2n-1)2=8n,

根据题意得：8〃W2017,

—52工

8

最大为252,此时2〃+1=505,2“-1=503,

A32-12+52-32+...+5032-5012+5052-5032

=5052_p

=255024.

故选：A.

11.给出下列式子：

①(x-y)(x+y)；②(x+y)(y-尤)；③(y-x)(-j-x)；④(-x+y)(尤-y)；⑤(-x-y)(尤+y)；

⑥(-x-y)(x-y),其中，符合平方差特征的有①②③⑥(填序号).

【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可.

【解答】解：由平方差公式的结构特征可得，

①(x-y)(x+y)符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；

②(x+y)(y-x)=(y+x)(y-x)符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；

③(y-x)(-y-x)=-(y+x)(y-无)符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；

④(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计

算；

⑤(-尤-y)(x+y)=-(x+y)(x+y)不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算；

⑥(-尤-y)(x-y)=-(x+y)(x-y)符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；

故答案为：①②③⑥.

12.计算——双式——=250.

2512-2492

【分析】先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可,

5002

【解答】解：原式=

（251+249）X（251-249）

5002

500X2

_500

~~2~

=250,

故答案为：250.

13.一个长方形的长为(2a+36),宽为(2a-3b),则长方形的面积为4/-9层.

【分析】先根据长方形的面积公式列式，再根据平方差公式：(a+b)(a-b)=浸-/直接求解即可得

到答案.

【解答】解：由长方形的面积公式可列式：(2a+36)(2a-36),

根据平方差公式得：(2a+3&)(2a-3b)=4a2-9b2.

故答案为:4a2-9b2.

14.已知/+°=2,则代数式(a+2)(a-2)+a(a+2)值为0.

【分析】本题考查的是整式的乘法运算，代数式的求值，先计算整式的乘法，合并同类项，再结合分配

律整体代入求值即可.

【解答】解：由题意，：(a+2)(a-2)+a(a+2)

=a2-4+/+2。

=2a2+2a-4

=2(a2+fl)-4,

.,.当q2+a=2时，原式=2X2-4

=4-4

=0.

故答案为：0.

15.两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S,四个小长方形如图

②摆放，左上角形成的是边长为6的正方形，此阴影部分面积为S1,另一阴影部分的面积为S2,则S,

Si,S2之间的数量关系为S=S1+S2.

b___________

小长方形图①图②

【分析】利用图①用含有a、b的代数式表示S,在图②用含有服。的代数式表示S1+S2,比较得出答

案.

【解答】解：图①中，阴影部分是边长为Qa-b)的正方形，因此面积为：S=(a-b)2；

图②中，两个阴影部分的面积和为边长为(。+6)的正方形面积减去4个长为a,宽为b的长方形的面

积差，

即SI+52=(〃+。)2-4ab=(〃-。)2,

所以S=Si+S2,

故答案为：S=Si+S2.

16.运用平方差公式计算.

①(3o+b)(3a-b)

②(-x+2y)(-x-2y)

(3)(—a-/?)(-—a-Z?)

22

@59.8X60.2

⑤(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y)

【分析】①②③利用平方差公式进行计算即可得解；

④把59.8X60.2写成(60-0.2)X(60+0.2),然后利用平方差公式进行计算即可得解;

⑤利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可.

【解答】①解：(3〃+。)(3〃-。)，

=(3〃)2-b2,

=9a2-b2；

②解：(-x+2y)(-x-2y),

=(-x)2-(2y)2,

-4y2；

③解：(L-6)(-Xa-b),

22

=(-2-(—<7)2,

2

2

=/-Afl；

4

④解：59.8X60.2,

=(60-0.2)X(60+0.2),

=602-0.22,

=3600-0.04,

=3599.96；

⑤解：(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y),

=(2x)2-(3y)2-(4y)2+(3x)2,

=4/-9y276y2+97,

=13/-25亡

17.利用乘法公式计算：

(1)(2+1)(2*2+*l)(24+***l)；

(2)1002-992+982-972+-+22-I2.

【分析】(1)把所求算式乘以(2-1),再连续用平方差公式可算出答案；

(2)逆用平方差公式，再求和即可.

【解答】解：(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)

=(24-1)(24+1)

=28-1

=256-1

=255；

(2)原式=(100+99)X(100-99)+(98+97)X(98-97)+...+(2+1)X(2-1)

=100+99+98+97+...+2+1

_(100+1)X100

~2~

=5050.

18.观察下面的式子；tzi=32-I2,«2=52-32,13=72-5、,