中考数学专项复习：数轴与绝对值的综合应用（解析版）

专题02数轴上的四种动点问题

【知识点梳理】

1.数轴上两点间的距离

数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b,则A与B间的距离AB=|a-b|；

2.数轴上点移动规律

数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；

当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的

数为a—b.

类型一、求动点运动的时间

例.如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、点8在原点的右侧，点C在原点左侧，点A

表示的数为。，点3表示的数为6,且。与6满足-4|+（6-10）2=0,AC=24.

------------A

C0AB

C0AB

备用图

-----------A

COAB

备用图

⑴直接写出。、6的值，a=,b=；

（2）动点尸从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点。从点3出发，以每秒3个

单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为《"0）秒，请用含，的式子表示线段尸。的长度；

⑶在（2）的条件下，若点M为/P的中点，点&为PQ的中点，求f为何值时，满足2Mo=MR.

【答案】（1）4；10；（2）P2=|-3Z+3O|；⑶当"百或互时，满足2M

【解析】（1）解：r|a-4|+（6-10）2=0,.•.”4=0,6-10=0,解得：a=4,b=10；故答案为4；10；

（2）解：:/C=24,且点/表示的数为4,.,•点C所表示的数为-20,

由题意可得CP=6/,80=3f,则有点尸在数轴上所表示的数为一20+0,点。在数轴上所表示的数为10+37，

尸°=|10+3/+20-6t\=卜37+30|；

⑶解：由（1）（2）可得：点尸在数轴上所表示的数为-20+0,点。在数轴上所表示的数为10+3/,点/

表示的数为4,点8表示的数为10,点C表示的数为-20,.••以=|24-研，2。=卜3/+30],

•••点〃为/尸的中点，点五为尸0的中点，.••尸河=3"=；|24-6小ra=1p2=l|-3?+30|,

Q

①当点尸、M都在点。的左侧时，可得：如图所示：

iIIIIIiI»

CPMORABQ

33

.".OAf=O/?-m=20-6/-（12-3z）=8-3z,MR^PR-PM=--t+l5-U+3t+3,

o?A

,：2MO=MR,J.2（8—3。=Q,+3,解得：t=；

Q

②当点尸、又都在点。的右侧且在点/的左侧，即§<£<4,如图所示：

।।til।।t—

COPMARB0

33

,-.OM=OP+PM=6t-2Q-（12-3t）=9t-32,MR=PR-PM=--t+15-12+3t^-t+3,

3134

-：2MO=MR,.•.2（9/-32）=-Z+3,解得：t=—（不符合题意，舍去）；

③当点尸、M都在点/的右侧且在点P、。没有重合，即4</V10,如图所示：

IIIIIII1A

C0AMPBRo

33

.-.OM=OP-PM=6t-2Q-（3t-n）=3t-8,MR^PR+PM=--t+\5-n+3t^-t+3,

338

v2A/O=A4Rt2（3/—8）=—/^+3,解得：t=；

④当点尸在点0的右侧时，显然是不符合2Mo=〃R；

二综上所述：当2Mo=M?,/或蓑.

【变式训练1】如图，已知数轴上的点/、8对应的数分别是一5和L

/B

O

⑴若尸到点N、8的距离相等，求点尸对应的数；

（2）动点P从点/出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为/秒，问：是否存在某个时刻/,

恰好使得尸到点/的距离是点尸到点2的距离的2倍？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由；

⑶若动点P从点/出发向点8运动，同时，动点。从点8出发向点/运动，经过2秒相遇；若动点P从

点/出发向点3运动，同时，动点。从点2出发与点尸同向运动，经过6秒相遇，试求尸点与。点的运

动速度（长度单位/秒）

【答案】（1）-2；⑵存在；2或6；（3）2单位长度/秒；1单位长度/秒

【解析】（1）点4、8对应的数分别是-5和1,

设点尸对应的数为x,则尸4=x+5,PB=\-x,

PA=PB,x+5=1-x,解得：x=-2,

.••点P对应的数为-2；

（2）P对应的数为-5+2t,.•.P/=2f,出=卜5+2/-1|=|2”6|,

■.-PA=2PB,.-.2if=2|2f-6|,

当/=2t-6时，t=6,

当—=0时，t=2,

答：当f=2或6时，恰好使得尸到点N的距离是点P到点8的距离的2倍：

⑶设尸点的运动速度a单位长度/秒，0点的运动速度〃单位长度/秒，根据题意得，

f2m+2n=6[m=2

\AAA,解得：I1,

\-bm-077=6=1

答：尸点的运动速度2单位长度/秒，。点的运动速度1单位长度/秒.

【变式训练2】如图一，已知数轴上，点A表示的数为-6,点3表示的数为8,动点尸从A出发，以3个单

位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，运动时间为f秒。>0）

AB

-------1-------------1---------------1--------------->

-608

图一

⑴线段.

（2）当点尸运动到22的延长线时8P=.（用含f的代数式表示）

（3汝口图二，当/=3秒时，点M是4P的中点，点N是AP的中点，求此时的长度.

APB

--------1--------------1------•---------1----------------->

-608

图二

⑷当点尸从A出发时，另一个动点。同时从3点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动,

①点尸表示的数为：（用含f的代数式表示），

点。表示的数为：（用含f的代数式表示）.

②存在这样的，值，使3、尸、。三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出f

值..

AB

-----1---------1----------1---------->

-608

备用图

728

【答案】(1)14；⑵%-14；⑶7；(4)①%一6；f+8②5秒或彳秒或7秒或14秒

【解析】(1)解：,•・在数轴上，点/表示的数为一6,点2表示的数为8,

.•.^5=|8-(-6)|=14.

故答案为：14

(2,•在数轴上，点A表示的数为-6,点8表示的数为8,动点尸从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射

线48的方向向右运动，运动时间为t秒，

/.AP=3t,

.'.BP=AP-AB=3t-}4.

故答案为：3%-14

(3)・・•点A表示的数为-6,点5表示的数为8,动点尸从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线45的方

向向右运动，

当，=3秒时，AP=3t=3x3=9,

：.BP=AB-AP=14-9=51

又••・点〃是ZP的中点，点N是5尸的中点，

1915

：.PM=-AP=-,PN=-BP=-,

2222

95

,-.MN=PM+PN=-+-=7.

22

・•・此时MN的长度为7.

⑷①设运动时间为方,当点尸从A点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线45的方向向右运动，另一个动

点。同时从8点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，

AP=3t,BQ=t,

・••点尸所表示的数为：3”6,点。所表示的数为：，+8,

故答案为：3Z-6；£+8

②结合①的结论和点8所表示的数，可知：

点3表示的数为8,点尸所表示的数为：3t-6,点0所表示的数为：/+8,

分以下三种情况：若点8为中点，则=

.-.|3/-6-8|=|?+8-8|,解得："(或"7；

若点尸为中点，则*=尸0,

.•.3/-6-8=/+8-(3/-6),解得：?=y；

若点。为中点，则8。=尸。，

f+8—8=3/—6—(7+8),解得：t—i4.

7?e

综上所述，当/为:秒或9秒或7秒或14秒时，B、尸、。三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的

25

中点.

【变式训练3】如图，单位长度为1的数轴上有三个点N、B、C,其中N、。点表示的数互为相反数.

ABC

⑴点B表示的数是；

⑵若线段向左以每秒1单位运动，点C向左每秒2单位运动，那么经过几秒点C到/、3两点的距离相

等？

⑶若点P从点/开始以每秒1个单位向点C运动，点。从点C开始以每秒4个单位在N、C之间做往返运

动.当点P到达点C时，两个点同时停止运动，请问经过几秒P,。两点相遇.

Q

【答案】(D-1;(2)6.5秒；(3)经过1.6秒或§秒或4.8秒8秒后，尸、。两点相遇.

【解析】(1)解：・・•/、C点表示的数互为相反数.AC=8,

:.A,C点表示的数为-4,4,

点3表示的数是-4+3=-1,

故答案为：T;

⑵解：设经过/秒点C到A、8两点的距离相等，由题意得：

-l-f-(4-2z)=4-2f-(-4-0,解得f=6.5,

答：经过6.5秒点C到A、8两点的距离相等；

(3)解：设经过x秒尸、0两点相遇，

①当点。第一次从点C到点A的过程中，工+4工=8解得苫=1.6秒；

Q

②当点。第一次从点A到点C的过程中，4x-x=8,解得x=］秒；

③当点。第二次从点C到点A的过程中，4x-16+x=8解得x=4.8秒；

④当点。第一次从点A到点C的过程中，4x-x=24解得x=8秒；

Q

答：经过1.6秒或§秒或4.8秒8秒后，尸、。两点相遇.

【变式训练4】如图，数轴上线段/3=2（单位长度），8=4（单位长度），点/在数轴上表示的数是-8,

点C在数轴上表示的数是10,若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段。。以1个单

位长度/秒的速度也向右匀速运动.

AB0CD

⑴线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间；

⑵问运动多少秒时8c=2（单位长度）;

⑶设线段CD开始运动后的运动时间为f秒，当f为何值时，恰好满足AD=2BC.

【答案】（1"=3秒；（2）①8、C相遇之前：f=7秒，②B、C相遇之后：f=9秒

⑶当/为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC

【解析】⑴解：B、C相遇后到/点完全离开:

AB+CD(-6)-(-8)+(14-10)2+4°

t=------------=----------------------------=-------=3秒

VAB-VCD3-12

BC-210-(-6)-214

⑵解：①8C相遇之前:=

VAB-VCD一打—二万

BC+2吐3号=9秒

②3、C相遇之后:

3-1

VAB-VCD

⑶由题可得，，秒后/,B,C,。可分别表示为：A：—8+3t,B：—6+3?,C：10+7,D：14+/.

贝lj：=|14+f-(-8+3/)|=|22-2t\,5C=|10+Z-(-6+3f)|=|16-2f|,

①）3、C相遇之前，由题可得：22-2/=2（16-2f）,2/=10,t—5

②8、C相遇之后，由题可得：22-2/=2⑵-16）,-6y-54,t=9

综上所述：当，为5秒或9秒后恰好满足NO=22C.

类型二、定值问题

例1.点/、2在数轴上对应的数分别为a、b,且a、6满足卜+1|+|6-3『=0.

-BToBNP

⑴如图1,求线段的长;

(2)若点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+l=；x-2的根，在数轴上是否存在点尸使尸/+P8=3C,

若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；

⑶如图2,点尸在3点右侧，PN的中点为M,N为尸3靠近于8点的四等分点，当尸在8的右侧运动时,

2

有两个结论：①尸M-28N的值不变；②尸的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结

论，并直接写出该值.

【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC；理由见解析

⑶结论①正确，PM-2BN=2

【解析】⑴解：•・,|。+1|+(Z)-3)2=0,.*.(2+1=0,6-3=0,b=3,

.*.^=1-1-31=4.答:45的长为4；

⑵解：存在，T2X+1=；x-2,.，.工二-2,泊。二卜2-3卜5.

设点尸在数轴上对应的数是加，・・・尸4+必=8。，.・.|"+1|+|加-3|=5,

令加+1=0,m-3=0,・••加=-1或加=3.

①当加V-1时，-m-l+3-m=5,m=-1.5；

②当-IV加43时，m+l+3-m=5,(舍去)；

③当加＞3时，m+l+m-3=5,加=3.5..•・当点尸表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC；

(3)解:设尸点所表示的数为〃，，尸4=〃+1,PB=n-3.

■.PA的中点为"，♦•/"=；R4=等.

•.W为尸5的四等分点且靠近于8点，・•・BN」尸庆二，.•.①尸环28冲噂-2'二=2(不变)，

4424

②PM+g:x一=/〃(随点P的变化而变化)，

正确的结论为①，且PM-2BN=2.

例2.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达/点，再向右移动4cm到达5点，然后再向

右移动加到达。点，数轴上一个单位长度表示1cm.

■iiaiiititii

-6-5-4-3-2-1012345

⑴请你在数轴上表示出4B,C三点的位置；

⑵把点C到点A的距离记为CA,则CA-cm.

(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm?

(4)若点/以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点8、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动.设

移动时间为f秒，试探索：氏4-的的值是否会随着/的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请

直接写出区4-的的值.

【答案】⑴见解析；(2)］15；⑶经过］3或7;秒后点/到点C的距离为3cm

(4)BA-CB的值不会随着t的变化而变化，BA-CB=；

【解析】(1)解：由题意得：/点对应的数为-3,2点对应的数为1,点C对应的数为1，

点4B,C在数轴上表示如图：

1i.Aii1

-5-4-3-2-10

(2)解：设原点为。，如图

A

-5-4-3-2-10

915

.0=3,OC=-,：.AC=OA+OC=—.

22

故答案为：—■

(3)解：①当点/在点C的左侧时，设经过x秒后点/到点C的距离为3cm,

由题意得：=15-3》=3,解得:x3

22

②当点/在点C的右侧时，设经过x秒后点/到点C的距离为3cm,

157

由题意得：3X-?=3,解得:x=(.

22

37

综上，经过;或;秒后点/到点C的距离为3cm.

⑷解：氏4-CB的值不会随着/的变化而变化，BA-CB=^.

7

由题意：AB=4cm,CB=—cm,

2

•••移动/秒后，45=4+£+4/=(4+5。。加,CB=9t-4t+^=^5t+^cm,

.•.8/-0?=(4+5/)-(5/+()=3.；."-酸的值不会随着/的变化而变化，BA-CB=^.

【变式训练1】如图，在数轴上点”表示的数为。，点2表示的数为6,且a,b满足|。+2|+伍-5『=0,。

为原点，若动点P从点/出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为/

(秒).

~~A~o

(1)求Q,b的值.

(2)当点尸运动到线段上时，分别取。2和NP的中点E,F,试探究下列结论：①的值为定值;

"'E二F°’

②牛”的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值.

EF

⑶当点尸从点N出发运动到点。时，另一动点Q从点3出发，以每秒2个单位长度的速度在08间往返运

动，当尸0=1时，求动点尸运动的时间f的值.

【答案】⑴：二7；⑵①正确，该定值为2；⑶P运动的时间”学或f=4或f=6或"之

S=533

【解析】⑴由题得|。+2|+修一5『=0,•.•,+2|»0,(b-5)2>0,

II,.7[ci——2

：.\a+2|=0,仅一5)=0,"+2=0,6―5=0,.'.k.

⑵设P点对应的数为X,则04xW5,•.•08与/尸的中点分别为£、F,则£点对应的数为g,尸点对应的

数为三2，则N2=7,OP=x,所=宁，

2N

AB-OP__1—x_0

对于①有EF=不了=为定值,

2

4B+0P7+x7(7+X)

对于②有EFi7-x一7-无不为定值.

2

.•.①正确，该定值为2.

⑶当点尸运动到6对应的点时，=8,此后尸5>1恒成立，由于0在。5间往返运动.

则尸。=1不会再成立，当点P运动到。时，t=2,

.•-2</<8,且由题得尸点对应的数为L2,

点。第一次到达。时，"2+尹点。第一次到达8时，;步尹7,

点Q第二次到达。时，f=7+尹煤，

.•.①时，0点对应的数为5-2(/-2)=9-2L则尸0=|11-30=1,

I.ll~3t=lt=——

f3

II.­=4.

②泊<7时,Q点对应的数为2，-驾=2”9,

PQ=\(2t-9)-(t-2)\=\t-l\=l,

I.7=1,t=8(舍)，

II.L7=—1,t=6.

③74三8时，0点对应的数为5-2(/7)=19-2乙PQ=\21-3t\=l,

20/人、

I.21—3/=1,t=—(舍)，

3

22

II.21-3^=-1,t=—.

3

1022

综上尸运动的时间，=<或/=4或£=6或公工.

【变式训练2】如图，直线/上有两条可以左右移动的线段43和C。，线段在线段。。的左边，AB=m,

CD=n,且|加—8|+(〃-16)2=0,运动过程中，点河、N始终分别是线段48、。。的中点.

I.I________________________I__________,___________I_______[

AMBCND

⑴求线段加，”的值；

(2)若线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时，线段CD以每秒1个单位长度的速度也向右运动，

且线段42运动6秒时，MN=4,求运动前点3、C之间的距离；

⑶设BC=24,且线段CD不动，将线段以每秒4个单位长度的速度向右运动.在向右运动的某一个

时间段内，是否存在九W+/。的值为定值，若存在，请直接写出这个定值，并直接写出这个时间段；若不

存，请说明理由.

【答案】(1)"?=8,”=16；(2)运动前点8、C之间的距离为10或2；

⑶当9<r<12时，MN+AD=12为定值.

【解析】(l)v|m-8|+(w-16)2=0,.-.m-8=0,«-16=0,解得：m=8,«=16；

⑵由(1)可得：AB=8,CZ)=16,

,•,点”、N始终分别