中考数学专项复习：完全平方公式（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）

第06讲完全平方公式

01学习目标

课程标准学习目标

1.掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的

①完全平方公式

几何意义并能够熟练应用其解决问题。

②添括号法则

2.掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。

02思维导图

03知识清单

知识点01完全平方公式

1.完全平方公式：

①完全平方和公式：

两个数的和的平方，等于这两个数的的和这两个数乘积的两倍。

即：（。+为2=o可以是两个数，也可以是两个式子。

②完全平方差公式：

两个数的差的平方，等于这两个数的的和这两个数的乘积的两倍。

即：（。-。2=。可以是两个数，也可以是两个式子。

2.完全平方公式的式子特点：

21

（a+bf=a+2ab+b：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的加上这

两项的。注意每一项都包含前面的符号。

巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。

3.完全平方公式的几何背景：

图1中面积的整体表示为：(a+bf

用各部分面积之和表示为：a2+2ab+b2

所以(a+by=a2+2aZ?+

用同样的方法表示图2的面积即可得到：

(a—=ci"-2ab+信。图1图2

4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化:

(ci++2ab+b1,(ci——cC~—2ab+F

a?+2ab+b--4ab-ct--2ab+b~

(a+b)2-4ab=(a-b)2

【即学即练1】

1.运用完全平方公式计算：

⑵(产；

(1)(4m+n)2；y—

(3)(-a-b)2(4)(-a+b)2

【即学即练2】

2.运用完全平方公式计算：

(1)632；(2)982；(3)700.12；(4)499.92.

【即学即练3】

3.已知/+y2=26,xy=3,求(x+y)2和(x-y)2的值.

【即学即练4】

4.若要使4/+mx+16成为完全平方式，则常数机的值为()

A.-8B.±8C.-16D.±16

【即学即练5】

5.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为()

A.3B.9C.±3D.±9

【即学即练6】

验证了一个等式，这个等式是()

(y+x)2=y2+2xy+x2

(y+无)2-(y-x)2=4孙

知识点02添括号法则

1.添括号法则：

在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都,若括号前面是负号,

则括到括号里面的每一项都要。

即：a-b+c=a+()；a-b+c=a-()

【即学即练1】

,7.计算题：

(1)(a-2b-3c)之；(2)(x+2y-z)Cx-2y-z)-(x+y-z)2.

题型精讲

题型01利用完全平方公式计算

【典例1】计算：

2

(1)(-5a+4b)2；(2)(2a-L)

3

(3)&」)2；(4)(-mn+—)2

324

【变式1】计算：

(1)(x-6)2(2)(-2x-y)2

(3)(-p+3q)2(4)[(2m+«)(2m-n)]2.

【变式2】计算：

(1)(1+4a)2；(2)(-5+3y)2(3)(x2-6y)2；

2222

(4)(-2x-y)；(5)(2«+l)-4a(a-1)；(6)(Xx+2y)+(Ax_2y).

题型02利用完全平方公式简便运算

【典例1】利用完全平方公式进行简便运算：

(1)1012=(+)2=；

(2)9.82=(________)2=.

【变式1】用简便方法计算：20032-2003X8+16=

【变式2】用简便方法计算：2022+202X196+982.

题型03利用完全平方公式变形求值

【典例1］已知a+6=4,ab—2,则/十户二()

A.8B.10C.12D.16

【变式1】已知(〃+Z?)2=12,ab=2,则(a-b)2的值为()

A.8B.20C.4D.16

【变式2】已知a-6=3,ab=l,求下列代数式的值.

(1)/+/；(2)(a+6)2

【变式3】已知(a-b)2=25,ab=-6,求下列各式的值.

(1)J+M；(2)a^+b^.

题型04利用完全平方式的特点求值

【典例1］若W+依+64为一个完全平方式，则k的值为()

A.16B.±16C.8D.±8

【变式1】若关于x的二次三项式/+(4-2)x+16是一个完全平方式，那么上的值是(

A.-6B.6C.±6D.10或-6

【变式2】若多项式4/-(k-1)孙+25『是关于x、y的完全平方式，则人的值为()

A.21B.19C.21或-19D.-21或19

【变式4】将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是(

A.6xB.-6xC.9x，D.3x

4

【变式5］若关于x的二次三项式j?+nx+m是完全平方式，则m与n的关系式为()

22

A.//I477-B.根=-4a~C.—D.——

44

题型02完全平方公式的几何意义

【典例1］如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是(

2

A./-b=a(♦+1)+b(〃-b)

B.Qa-Z?)2=〃2_2ab+b2

C.a2-b2=(〃+/?)(a-b)

D.(a+b)2=a2+2ab+b2

【变式1】两个边长为。的大正方形与两个边长为〃的小正方形按如图所示放置，如果〃-6=2,仍=26,

C.40D.44

【变式2】如图所示，两个正方形的边长分别为〃和4如果〃+b=10,ab=20,那么阴影部分的面积是

()

C.30D.40

【变式3】如图1,小长方形的长和宽分别为〃和。，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放.

(1)图2中的四边形E尸GH为正方形，其边长为.

(2)能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：=.

(3)若x-y=3,孙=4,求x+y的值.

AabD

题型02平方差公式与完全平方公式的综合

【典例1】计算：

(1)(3x-2y-1)之；(2)(〃+2b-c)(a-2b-c)-(a-b-c)2

【变式1】计算下列各式：

(1)(f+3y)2-(^--3y)2；(2)(2a-36+1)2

【变式2】已知m2+n2-6m+10n+34=0,求m+n.

【变式3】阅读理解.

已知(a-12)2+(14-a)2=6,求(a-13)2的值.

解:由(〃-12)2+(14-4)2=6,可得[(〃-13)+1『+[(。-13)-1]2=6.

整理得(。-13)之+2(〃-13)+1+(〃-13)2-2Ca-13)+1=6.

2(〃-13)2+2=6

得(a-13)2=2.

请仿照上述方法，完成下列问题：

(1)已矢口(a-98)2+(96-。)2=10,求(〃-97)2的值.

(2)已知(Q-2024)2=8,求(Q-2025)2+(2023-a)2的值.

强化训练

1.小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“=4/・.-+25『”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一

项及其符号可能是（）

A.+10孙B.+10孙或-10孙

C.+20孙D.+20孙或-20孙

2.已知/+%-3=0,那么代数式工（x-2)+(x+2)2+5值是()

A.14B.15C.16D.17

3.已知a=5+5b,则代数式/-10H+25院的值是（）

A.16B.20C.25D.30

4.若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+6）2=16,（a-b）2=4,则该长方形面积为（）

A.3B.4C.5D.6

5.若（2r+3y）2=（2x-3y）2+（）成立，则括号内的式子等于（）

A.24xyB.12xyC.6xyD.4xy

6.如果/+（m-1）x+9是一个完全平方式，那么M的值是（)

A.7B.-7C.-5或7D.-5或5

7.已知a+b=5,ab=-2,贝lja2-ab+b1的值是()

A.30B.31C.32D.33

8.设〃=%-2022,Z?=x-2024,c=x-2023.若4Z2+/?2=16,贝1Jc2的值是（）

A.5B.6C.7D.8

9.有两个正方形A,B,现将8放在A的内部，得到图①，将A,8并列放置后构成新的正方形，得到图

②.若图①阴影面积为3,正方形A,2的面积之和为11,则图②阴影面积是()

①②

A.8B.9C.12D.15

10.已知a+b+c=0,a2+b2+c2=4,那么a4+b4+c4的值是()

A.6B.8C.20D.34

11.计算：(a+26)2=；(3x-1)2=

12.若(龙+y)2=9,(x-y)2=5,则孙=.

13.若|x+y-5|+(xy-6)2=0,则/+/的值为.

14.已知：a+b—3,ab—5,贝U-2。-2b+6=.

15.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，

可以解决很多数学问题.如图摆放两个正方形卡片,A、M、B在同一直线上.若

AB=5,且两个正方形面积之和为13,则阴影部分的面积为.

16.已知：a-b=3,ab—l,试求：

(1)/+3"+庐的值；(2)(a+6)2的值.

17.运用乘法公式计算：

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(Q+A+C)2

18.阅读下列解答过程：

已知：xWO,且满足f-3x=l.求：的值.

解：Vx2-3x=LAx2-3x-1=0

•*,x-3-~=0,即x-^-=3-

­1•x2^y=(x」)2+2=32+2=11.

X2X

请通过阅读以上内容，解答下列问题：

已知aWO,且满足(2.7+1)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=14a-7,

i2

求：(1)a92」:?的值；(2)——---------的值•

242

a5a+a+5

19.在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题.比如，运用两数和的完全平方公式(。+6)2=/+2湖+庐，

能够在三个代数式“+乩ab,