2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3.2 等腰三角形 同步测控优化训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3.2等腰三角形同步测控优化训练(含答案)12.3.2等边三角形一、课前预习(5分钟训练)1.等边三角形有________条对称轴，分别是________.2.等边三角形每边上的中线、角平分线、高________且________.3.等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则这个等腰三角形的腰长是________cm，顶角是________.二、课中强化(10分钟训练)1.下列条件能判定三角形为等边三角形的有()①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图14-3-8，已知P、Q是△ABC边BC上的两点，且PB=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的度数为()图14-3-8图14-3-9A.150°B.120°C.100°D.90°3.△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=________.4.如图14-3-9，△ABC是等边三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.5.如图14-3-10，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．图14-3-10三、课后巩固(30分钟训练)1.如图14-3-11，已知等边△ABC的边长为6cm,D是AC的中点，E为BC的延长线上一点，且CE=CD,DM⊥BC于M，则ME的长为()A.5cmB.5.5cmC.4.5cmD.3.5cm2.如图14-3-12，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个图14-3-11图14-3-12图14-3-133.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为()A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°4.如图14-3-13，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PAC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.45.等腰三角形的底角为15°，腰长为2acm，则三角形的面积为________.6.如图14-3-14，已知OA＝10，P是射线ON上的一动点（即P点在射线ON上运动），且∠AON＝60°.（1）当OP＝_________时，△AOP为等边三角形，此时∠APO的度数为________；（2）当△AOP为直角三角形时，OP＝________，此时∠APO的度数为________.图14-3-14图14-3-157.如图14-3-15，P是线段AB上一点，△APC与△BPD是等边三角形，请你判断AD与BC相等吗？并证明你的判断．8.如图14-3-16，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=FC.图14-3-169.已知，如图14-3-17中，等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.图14-3-17若点P在一边BC上（如图①），此时h3=0，可得结论：h1＋h2＋h3＝h.请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图②）、点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请简述理由；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.等边三角形有________条对称轴，分别是________.答案：三每条边的垂直平分线〔或每条边上的高（或中线、顶角平分线）所在的直线〕2.等边三角形每边上的中线、角平分线、高________且________.思路解析：等边三角形具有等腰三角形的所有性质.答案：重合相等3.等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则这个等腰三角形的腰长是________cm，顶角是________.思路解析：底边上的高分等腰三角形为两个全等的直角三角形，利用30°直角三角形的特殊性质.答案：18120°二、课中强化(10分钟训练)1.下列条件能判定三角形为等边三角形的有()①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析：判定等边三角形的方法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.因此②④是正确的.当每边上的高与中线都重合时，这个三角形也是等边三角形.答案：B2.如图14-3-8，已知P、Q是△ABC边BC上的两点，且PB=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的度数为()图14-3-8图14-3-9A.150°B.120°C.100°D.90°思路解析：已知边的相等关系求角的度数，需要用“等边对等角”性质，涉及相邻三角形的内角关系时，可以用“外角性质”转换.由PQ=AP=AQ可知△APQ是等边三角形，每个内角为60°，由PB=AP，AQ=QC，得△ABP、△ACQ都是等腰三角形，根据“外角性质”得∠B=∠BAP=∠C=∠CAQ=30°.答案：B3.△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=________.思路解析：由AB=BC得到∠C＝∠A，即△ABC的三个内角相等.答案：60°4.如图14-3-9，△ABC是等边三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.思路解析：综合运用等边三角形的性质和特殊直角三角形性质.答案：30°60°2.5cm120°5.如图14-3-10，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．图14-3-10思路分析：两个等边三角形公共中心，构成了新的三个三角形：△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形.解：（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE.理由：如图：∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠EFD=∠FDE=∠DEF=60°，EF=FD=DE.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠5=∠5+∠6=∠6+∠1=120°.∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=BF=CD，AF=BD=CE.（2）用旋转与平移相结合的方法可以相互得到.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图14-3-11，已知等边△ABC的边长为6cm,D是AC的中点，E为BC的延长线上一点，且CE=CD,DM⊥BC于M，则ME的长为()A.5cmB.5.5cmC.4.5cmD.3.5cm思路解析：运用等腰三角形的性质与判定定理，△CDE是等腰三角形，△DME是特殊的直角三角形.答案：C2.如图14-3-12，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个图14-3-11图14-3-12图14-3-13思路解析：观察图形，注意60°的角.答案：B3.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为()A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°思路解析：等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，分两种情况讨论.答案：A4.如图14-3-13，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PAC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4思路解析：运用相关的定理逐一判断，在猜测结论是正确时，把结论换成证明题解决.如图：①△PCA是顶角为150°的等腰三角形，则∠PAC＝15°；②△PCB是顶角为150°的等腰三角形，（顶角：360°-60°-60°-90°=150°）∠BCD=15°+60°=75°，∠CDA=45°+60°=105°，所以∠BCD+∠CDA=180°，AD∥BC；③△CAB中，∠BCA=∠CAD=45°－15°=30°，∠BAC=105°－30°=75°，所以∠CBA=180°－30°－75°=75°，△CAB为等腰三角形，而CP平分∠BCA，则直线PC与AB垂直;④四边形ABCD是以AD的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.答案：D5.等腰三角形的底角为15°，腰长为2acm，则三角形的面积为________.思路解析：这是一个钝角三角形（如图），作出腰上的高，构造出特殊的直角三角形.答案：a2cm26.如图14-3-14，已知OA＝10，P是射线ON上的一动点（即P点在射线ON上运动），且∠AON＝60°.图14-3-14（1）当OP＝_________时，△AOP为等边三角形，此时∠APO的度数为________；（2）当△AOP为直角三角形时，OP＝________，此时∠APO的度数为________.思路解析：动点P决定了△AOP的形状，当有两边相等时，△AOP为等边三角形；当有一个角为直角时，△AOP为直角三角形，当直角顶点没有确定，需要讨论.(1)∵∠AON＝60°，若△AOP是等边三角形，则OP＝OA＝10，根据等边三角形的性质，∠APO＝60°.(2)∵∠AON＝60°,若△AOP为直角三角形,则∠A＝90°,此时∠APO＝30°,∴OP＝2·OA＝20或者∠APO＝90°，此时∠A＝30°.∴OP＝OA=5.答案：（1）1060°（2）2030°(或590°)7.如图14-3-15，P是线段AB上一点，△APC与△BPD是等边三角形，请你判断AD与BC相等吗？并证明你的判断．图14-3-15思路解析：△CPB可以看作是△APD绕点P顺时针旋转60°得到，用全等三角形的判断证明这两个三角形全等.答案：AD=BC.证明：∵△APC为等边三角形,∴AP=PC,∠APC=60°.同理,PD=PB,∠BPD=60°.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴AD=BC.8.如图14-3-16，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=FC.图14-3-16思路解析：线段的一半与特殊的直角三角形的两边关系类似，而∠C＝30°，可以通过垂直平分线的性质把BF转化成AF，从而可以得到△ACF为直角三角形，下一步只要证明AF=FC即可.证明：连结AF.∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF，∠B=∠BAF.∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠AFC=2∠B=60°.∴∠CAF=90°.∴AF=FC.∴BF=FC.9.已知，如图14-3-17中，等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.图14-3-17若点P在一边BC上（如图①），此时h3=0，可得结论：h1＋h2＋h3＝h.请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图②）、点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请简述理由；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明.思路分析：这是一个阅读理解题，以点P在等边三角形的边上为前提，有结论“h1＋h2＋h3＝h”成立，因此我们要把问题②、③转化成图①的情景.过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM（或它们的延长线）于点N、Q、K（如图），则△ANQ仍为等边三角形，对应有类似“h1＋h2＋h3＝h”的结论.解：当点P在△ABC内部时，结论h1＋h2＋h3＝h仍然成立.如图，过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM于点N、Q、K，则△ANQ仍为等边三角形，由①可知h1＋h2＝AK.∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC∴KM=PF=h3.∴h1＋h2＋h3＝AK＋KM＝AM＝h.当点P在△ABC外部时，h1、h2、h3与h之间的关系为h1＋h2－h3＝h，如图，证法同上.数学活动班级姓名座号月日主要内容:轴对称在生活中的运用,如设计艺术字,剪纸,镜面反射,倒影等问题一、课堂练习:1.写出5个是轴对称的汉字.2.在英文单词TEACHER中,请写出是轴对称的英文字母.3.将0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个印刷体数字放在镜子前面,在镜子中看到的像与本身相同的数字有()个A.1B.2C.3D.44.如下所示的4组图形中,左边图形与右边图形成轴对称的有()A.1组B.2组C.3组D.4组①④②①④②③5.如图,平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是()第5题A.B.C.D.6.黑板上写的不等式在正对着黑板的镜子中的像是,黑板上写的不等式对吗?7.如图,下列图形在正对镜子时,镜中的像与原来图形完全一样的有哪几个?为什么?8.字符在水中的倒影为.9.请你用彩纸,将如图所示的图案剪出来,并展示给同学们看,看谁剪的美丽．

二、课后作业:1.判断题：(1)小明站在镜子前,镜子里的右手是小明的右手.()(2)镜子里的像与原来的关系是左变成右,右变成左.()(3)M在水中倒影的像是W.()(4)水中倒影的像与原来的关系是上变成下,下变成上.()2.在“工、木、口、民、公、晶、离”这几个汉字中,是轴对称的有.3.在26个英文字母中,请写出4个关于轴对称的英文字母.4.请在如图所示的一组图形符号中找出它们所蕴含的规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形．5.小明从平面镜子里看到镜子对面电子钟示数的像是,这时的时刻应是()A.21:10B.10:21C.10:51D.12:016.一个汽车车牌在水中的倒影如图所示,则确定该车的牌照号码是.7.如图所示,请根据小文在镜中的像写出他的运动衣的实际号码是.第6题第7题第6题第7题（1）（2）（3）（4）8.将一正方形纸片按图中(1)、(2)的方式依次对折后,再沿(3)中的虚线裁剪,最后将(4)中的（1）（2）（3）（4）BBACD9.你有自己的印章吗？如果有,请把你的印章上的名字写出来；如果没有,你自己设计一个印章,可以用土豆块或橡皮．

参考答案一、课堂练习:1.写出5个是轴对称的汉字王、工、木、口、田.(答案不唯一)2.在英文单词TEACHER中,请写出是轴对称的英文字母TEACH.3.将0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个印刷体数字放在镜子前面,在镜子中看到的像与本身相同的数字有(B)个A.1B.2C.3D.44.如下所示的4组图形中,左边图形与右边图形成轴对称的有(A)A.1组B.2组C.3组D.4组①④②①④②③5.如图,平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是(D)第5题A.B.C.D.6.黑板上写的不等式在正对着黑板的镜子中的像是,黑板上写的不等式对吗?答:黑板上写的不等式对的,是5＞2.7.如图,下列图形在正对镜子时,镜中的像与原来图形完全一样的有哪几个?为什么?答:图中(1)、(2)、(3)、(4)正对镜子与原来的图形完全一样,因为这两个图形是左右对称的轴对称图形.8.字符在水中的倒影为wp31285qb.9.请你用彩纸,将如图所示的图案剪出来,并展示给同学们看,看谁剪的美丽．二、课后作业:1.判断题：(1)小明站在镜子前,镜子里的右手是小明的右手.(×)(2)镜子里的像与原来的关系是左变成右,右变成左.(√)(3)M在水中倒影的像是W.(√)(4)水中倒影的像与原来的关系是上变成下,下变成上.(√)2.在“工、木、口、民、公、晶、离”这几个汉字中,是轴对称的有工、木、口、晶.3.在26个英文字母中,请写出4个关于轴对称的英文字母ABCDEHIKMOTUVWXY.4.请在如图所示的一组图形符号中找出它们所蕴含的规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形．5.小明从平面镜子里看到镜子对面电子钟示数的像是,这时的时刻应是(C)A.21:10B.10:21C.10:51D.12:016.一个汽车车牌在水中的倒影如图所示,则确定该车的牌照号码是MT7936.7.如图所示,请根据小文在镜中的像写出他的运动衣的实际号码是108.第6题第7题第6题第7题（1）（2）（3）（4）8.将一正方形纸片按图中(1)、(2)的方式依次对折后,再沿(3)中的虚线裁剪,最后将(4)中的（1）（2）（3）（4）BBACD9.你有自己的印章吗？如果有,请把你的印章上的名字写出来；如果没有,你自己设计一个印章,可以用土豆块或橡皮． 13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给、两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小?(保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=(180°－∠A)=(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．∴A、D是对称点．∴AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE=DE．在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．∴AB=BD．又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角∵∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM．∴∠AMN=∠ANM．∴∠AMC=∠ANB．∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形．∴∠C=∠B．在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN．∴CM=BN．设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．7．A解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.13.3等腰三角形1．等腰三角形(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．破疑点等腰三角形有关概念的认识(1)对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．【例1】等腰三角形两边长分别是5cm和11cm，则它的周长是()．A．27cm B．22cmC．27cm或22cm D．无法确定解析：边长为5cm的边可能是底，也可能是腰，当5cm的边是底边时，腰长为11cm，所以周长为27cm，当5cm的边是腰时，则底边长为11cm，因为5＋5＜11，所以构不成三角形，因此只有一种情况，周长为27cm.故选A.答案：A2．等腰三角形性质1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．(3)适用条件：必须在同一个三角形中．(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.【例2－1】已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为()．A．40° B．80°C．40°或100° D．100°解析：因为并未说明等腰三角形中40°的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论．①当40°的角是底角时，则顶角的度数为：180°－40°×2＝100°；②当40°的角是等腰三角形的顶角时，则顶角的度数为40°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C.答案：C哦，不指明是底角还是顶角时，要分类讨论，还要看三角形内角和是否是180°啊！【例2－2】如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.分析：由等腰三角形的性质易得∠A＝∠B，由平行线的性质可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，等量代换即得∠C＝∠D.证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴∠C＝∠D.3.等腰三角形性质2(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．(4)应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．解技巧“三线合一”的应用因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5cm，求底边BC的长．分析：因为是等腰三角形，所以底边上的高也是底边上的中线，所以BC＝2BD，即可求出BC的长．解：因为AB＝AC，AD⊥BC，所以BC＝2BD＝2×5＝10(cm)．答：底边BC的长是10cm.4．等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：eq\x(线段相等)→eq\x(角相等)；判定：eq\x(角相等)→eq\x(线段相等).(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．破疑点等腰三角形的判定方法的理解教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．【例4】如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形．5．等边三角形的概念和性质(1)等边三角形①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．【例5】如图，点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝60°.在△ABM和△BCN中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABC＝∠BCA，,BM＝CN，))∴△ABM≌△BCN(SAS)．∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°.6．等边三角形的判定(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．解技巧巧用条件证明等边三角形在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.【例6】如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．解：△APQ是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.在△ABP和△ACQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABP＝∠ACQ，,BP＝CQ，))∴△ABP≌△ACQ(SAS)．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠CAP＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝60°.∴△APQ是等边三角形．7．含30°角的直角三角形的性质(1)性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(2)应用模式：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB.(3)理解：①该性质是含有30°角的特殊的直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用；②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系；③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．解技巧巧用含30°角的直角三角形的性质在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．【例7】如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝__________AD.解析：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D＝15°.∴∠BAC＝30°.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AD.答案：eq\f(1,2)8．等腰三角形性质和判定的综合应用类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的．一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛．注意：等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中．【例8】如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高，求证：CD＝AB＋BD. 图1 图2证明：如图2，在DC上截取DE＝BD，连接AE，又∵AD是BC边上的高线，∴AD垂直平分BE.∴AB＝AE，∴∠B＝∠AED.∵∠AED＝∠C＋∠CAE，∠B＝2∠C，∴∠C＋∠CAE＝2∠C.∴∠CAE＝∠C.∴AE＝CE.∴AB＝CE.∴CD＝AB＋BD.9.巧用“三线合一”性质解题(1)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”性质；(2)应用：它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法．构造“三线合一”解决等腰三角形问题在等腰三角形问题中，最常添加的辅助线就是作底边上的高，或作顶角的平分线，或作底边上的中线，这样就可以由其中一线得到其他两线，从而知道更多的条件，以便更好地完成计算、证明．【例9】已知：如图a所示，△ABC中，AB＝AC，BF是AC边上的高，求证：∠FBC＝eq\f(1,2)∠BAC. 图a 图b证明：如图b，过A点作BC的垂线，垂足为E，则∠CAE＋∠C＝90°，∵AB＝AC，∴AE平分∠CAB，即∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵BF是AC边上的高，∴∠FBC＋∠C＝90°.∴∠CAE＝∠FBC.∴∠FBC＝eq\f(1,2)∠BAC.10.等边三角形的应用等边三角形也称正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三边相等，三个内角相等，且每个角都是60°外，还具有很多特殊的性质：如，证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可；同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等，并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形；它的高和边长也存在着特殊的比例关系，因此已知是等边三角形，就可以知道其中的许多等量关系．等边三角形的判定也具有自己独特的特点，可以由普通三角形满足条件直接判定，也可以在等腰三角形的基础上进行判定．【例10】(学科内综合题)如下图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE＝EF＝FC的道理．证明：如下图，分别连接OE、OF，∵E、F分别是OB、OC垂直平分线上的点，∴OE＝BE，CF＝OF.∴∠OBE＝∠BOE.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵OB平分∠ABC，∴∠OBE＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.∴∠OEF＝∠OB