新编应用数学 课件 第3章 导数的应用

第3章导数的应用第3章导数的应用

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-2函数的单调性及其极值3-3函数的最大值和最小值3-4曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

3-5导数在经济分析中的应用3-6曲率3-7数学建模与数学实验Lingo软件的简介

2024.2.2823-1拉格朗日中值定理

洛必达法则

一、拉格朗日中值定理二、洛必达法则三、小结3-1微分中值定理

定理3.1.1

则在区间内至少有一点，

使得

如果函数满足条件：

(1)在上连续；

(2)在内可导；一、拉格朗日中值定理3-1拉格朗日中值定理洛必达法则.或3-1拉格朗日中值定理洛必达法则拉格朗日中值定理的几何意义:

如果连续曲线除端点外处处都有不垂直于轴的切线，那么该曲线上至少有这样一点存在，在该点处曲线的切线平行于连接两端点的弦（如图3-1）.或3-1拉格朗日中值定理洛必达法则则曲线上至少存在一点的切线与轴平行，这是罗尔中值定理.（2）拉格朗日中值定理给出了函数在一个区间上的增量与函数在区间内某点处的导数之间的关系.3-1拉格朗日中值定理洛必达法则推论1

如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在内是一个常数.推论2

如果函数与函数在区间

内的导数处处相等，即，则与在区间内只相差一个常数.即．

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则若与满足：定理3.1.2洛必达法则Ⅰ

(2)与在点的某个邻域内(点可除外)可导，且；

(1)，；

(3)（或）．则（或）．3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-1拉格朗日中值定理洛必达法则若与满足：定理3.4洛必达法则Ⅱ

(1)，；

(2)与在点的某个邻域内(点可除外)可导，且；

(3)或.则或．3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3.其它未定式3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则三、小结3-1拉格朗日中值定理洛必达法则1.掌握拉格朗日中值定理及其应用2.掌握洛必达法则的各种未定式，特别是

未定式和

型未定式3.了解其他未定式的解法第3章导数的应用

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-2函数的单调性及其极值

3-3函数的最大值和最小值3-4曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

3-5导数在经济分析中的应用3-6曲率3-7数学建模与数学实验Lingo软件的简介

243-2函数的单调性及其极值

一、函数的单调性二、函数的极值及其求法三、小结

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

定理3.2.1(单调性的判定定理）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导.3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

(1)，则称为函数的极大值，并且称点是的极大值点.

(2)

,则称为函数的极小值，并且称点是的极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数的极值点.

定义3.2.1函数极值的定义3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

函数的极值仅仅是在某一点的近旁而言的,它是局部性概念.在一个区间上,函数可能有几个极大值与几个极小值，甚至有的极小值可能大于某个极大值.

极值与水平切线的关系:

在函数取得值处（该点可导）,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

(1)若，则函数在点处取得极大值；

(2)若，则函数在点处取得极小值；

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

3-2函数的单调性及其极值

1.掌握函数的单调性的判定定理2.掌握函数的极值的第一判别法和第二判别法三、小结第3章导数的应用

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-2函数的单调性及其极值

3-3函数的最大值和最小值3-4曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

3-5导数在经济分析中的应用3-6曲率3-7数学建模与数学实验Lingo软件的简介

503-3函数的最大值和最小值

一、闭区间上连续函数的最值二、实际问题中最值的求法三、小结

3-3函数的最大值和最小值

一、闭区间上连续函数的最大值和最小值求法

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

二、实际问题中的最大值和最小值

在解决实际问题时，应注意以下结论：3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

因此有如下结论：

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

因此，实际问题求最值步骤:（1）建立目标函数，并写出定义域;（2）求最值点（驻点和不可导点）;

（3）若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大值（或最小值）。3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

练习1：设有一块边长为a的正方形铁皮，从四个角各截去大小一样的小正方形，做一个无盖的方匣，问截去边长为多少的小正方形时能使做成的方匣的容积最大？3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

点击图片任意处播放\暂停练习2:

敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟，

两岸相距0.5公里，敌我两军最初水平距离4公里。问我军摩托车何时射击最好？3-3函数的最大值和最小值

我军敌军1千米/分钟2千米/分钟问题：我军何时射击最好？4公里0.5公里3-3函数的最大值和最小值

解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点3-3函数的最大值和最小值

3-3函数的最大值和最小值

三、小结1.注意最值概念与极值概念的区别.2.最值是整体概念而极值是局部概念.3.闭区间上连续函数最值的求解方法.4.实际问题求最值的步骤.第3章导数的应用

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-2函数的单调性及其极值

3-3函数的最大值和最小值

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

3-5导数在经济分析中的应用3-6曲率3-7数学建模与数学实验Lingo软件的简介

763-4曲线的凹凸性与拐点

函数图形的描绘

一、曲线的凹凸性与拐点二、函数图形的描绘三、小结

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

什么是曲线的凹与凸？

曲线除上升与下降的变化外，还有向上弯曲与向下弯曲的变化。

就是曲线的弯曲方向喽。

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

一、曲线的凹凸性与拐点

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

三、小结1.掌握曲线凹凸性概念.2.曲线的凹凸区间的判定定理.3.曲线拐点的定义，会求曲线的拐点.4.曲线的渐近线定义.3-4曲线的凹凸性与拐点函数图象的描绘

5.函数图形的描绘的步骤.第3章导数的应用

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-2函数的单调性及其极值

3-3函数的最大值和最小值

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

3-5导数在经济分析中的应用

3-6曲率3-7数学建模与数学实验Lingo软件的简介

1003-5导数在经济分析中的应用

一、边际分析二、弹性分析三、小结

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用

3-5导数在经济分析中的应用三、小结1.掌握边际分析的概念.2.边际成本、边际收入、边际利润.3.了解弹性分析的概念.4.边际和弹性在经济问题中的应用.3-5导数在经济分析中的应用第3章导数的应用

3-1拉格朗日中值定理洛必达法则3-2函数的单调性及其极值

3-3函数的最大值和最小值

3-4曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘

3-5导数在经济分析中的应用

3-6曲率

3-7数学建模与数学实验Lingo软件的简介

1193-6曲率

一、弧微分二、曲率三、曲率圆与曲率半径四、小结

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

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3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6