广东省广州市天河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广东省广州市天河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列事件为随机事件的是（）A．负数大于正数 B．三角形内角和等于180°C．明天太阳从东方升起 D．购买一张彩票，中奖3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定4．已知点A(m，2)与点B(−6，A．6 B．−6 C．2 D．−25．关于x的方程x2A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－16．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝74°，则∠OBC等于（）A．17° B．16° C．15° D．14°8．已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则A．0 B．-10 C．3 D．109．如图是二次函数y=ax2+bx+cA．−1<x<3 B．x<−1或x>3C．0<x<2 D．x<0或x>210．已知点P(m，n)，Q(3，0)都在一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象上，（）A．若mn有最大值4，则k的值为−9 B．若mn有最小值4，则k的值为−9C．若mn有最大值−9，则k的值为4 D．若mn有最小值−9，则k的值为4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．把二次函数y=3x2+512．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为cm213．某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是（结果保留小数点后一位）．排查车辆数n20401002004001000能礼让的车辆数m153282158324800能礼让的频率m00000014．如图，正方形ABCD的外接圆的半径为4，则它的内切圆的半径为．15．已知点(1，m)，(2，n)在二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数）的图像上．若a<016．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC=度时，AD有最大值．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解方程：x2﹣4x+4＝0．18．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，且点（1）确定点E的位置；（2）确定点D的位置．19．如图是抛物线y=−2x（1）当x取何值时，y的值随着x的增大而增大？（2）求抛物线与y轴的交点坐标．20．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率．21．人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，使用方法如图2所示，要将∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆与另一边EN恰好相切时，切点为F，则有∠1=∠2=∠3．若∠MEN=90°，半圆O的半径为2，EO与半圆交于点T，求TFC的长．22．党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．（1）求每天销售量的平均增长率．（2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？23．已知一直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

（1）如图1，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；（2）如图2，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE=x°(0<x<30)，∠BOF=y°24．已知：△ABC中，AB=BC=6，⊙O是（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：AC=（2）如图2，若∠ABC=60°，D为在AB上一动点，过点B作直线AD的垂线，垂足为E．求证：（3）如图3，若∠ABC=120°，过点B作BF⊥BC交AC于点F．点Q是线段AB上一动点（不与A，B重合），连接FQ，求25．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a≠0)与x轴交于坐标原点O（1）已知该抛物线的顶点P的纵坐标与点A的横坐标相同，设过点A的直线y=mx−6与抛物线的另一个交点为B．求点P和点B的坐标；（2）将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OC，若该抛物线与线段OC只有一个交点，请直接写出a的取值范围；（3）若直线y=kx−6(k≠3)与该抛物线交于M，N两点（点M在点N左侧），连接AM，AN．设直线AM为y1=k1x+m1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、不属于中心对称图形，故不符合题意；

B、属于中心对称图形，故符合题意；

C、不属于中心对称图形，故不符合题意；

D、不属于中心对称图形，故不符合题意.故答案为：B.【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、负数大于正数是不可能事件，A不符合题意；

B、三角形内角和等于180°是必然事件，B不符合题意；

C、明天太阳从东方升起是必然事件，C不符合题意；

D、购买一张彩票，中奖是随机事件，D符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件逐项分析即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故答案为：A．

【分析】根据点与圆的位置关系求解即可。4．【答案】A【解析】【解答】解：∵点A(m，2)与点B(−6，n)关于原点对称

∴m=65．【答案】A【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1故答案为：A.【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，解之即可求解.6．【答案】D【解析】【解答】解：A：不共线的三点确定一个圆，错误，不符合题意；

B：三角形的外心到三角形各个顶点的矩离相等，错误，不符合题意；

C：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误，不符合题意；

D：垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，正确，符合题意.

故答案为：D

【分析】根据圆的性质及三角形性质逐项进行判断即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接OC，∵∠A=74°，∴∠BOC=2∠A=2×74°=148°，∵OB=OC，∴∠OBC=故答案为：B

【分析】连接OC，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠BOC的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和的性质求出∠OBC即可。8．【答案】A【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2∴mn=−5，∵m是x2∴m∴m∴m故答案为：A.【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.9．【答案】D【解析】【解答】解：由图可得：二次函数对称轴为x=1，与y轴交点坐标为(0，3)

∴点（2，3）也在函数图象上

∴不等式ax2+bx+c<3的解集是x<0或x>2

10．【答案】D【解析】【解答】解：∵点P(m，n)，Q(3，0)都在一次函数y=kx+b的图象上

∴n=mk+b，3k+b=0，即b=-3k

∴mn=m(mk-3k)=km-322-94k

当k>0时，mn有最小值-94k

当k<0时，mn有最大值-94k

A：若mn有最大值-94k=4，解得k=-169，错误，不符合题意；

B：若mn有最小值-94k=4，解得k=-169，错误，不符合题意；

C：若11．【答案】y=3【解析】【解答】解：由题意可得：

把二次函数y=3x2+5的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为y=3x212．【答案】20π【解析】【解答】解：圆锥的侧面积为12·2π·4·5=20π（cm2）13．【答案】0.8【解析】【解答】解：观察表格可得：能礼让的频率在0.8左右

∴驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是0.8

故答案为：0.8

【分析】根据频率估算概率即可求出答案.14．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得：

OA=OB=4

∴AB=OA2+OB2=4215．【答案】>【解析】【解答】解：由题意可得：

函数对称轴为x=-1

∵a<0

∴当x>-1时，y随x的增大而减小

∵1<2

∴m>n

故答案为：>

【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.16．【答案】120；7【解析】【解答】解：在直线AC上方作等边三角形OAC，连接OD

∵△BCD，△AOC都是等边三角形

∴CA=CO，CB=CD，∠ACO=∠BCD

∴∠ACB=∠OCD

在△ACB和△OCD中

AC=OC∠ACB=∠OCDBC=DC

∴在△ACB≌△OCD(SAS)

∴OD=AB=3

∴点D的运动轨迹是以O为圆心，OD长为半径的圆

∴当D，O，A共线时，∠DOC=180°-60°=120°

∴当∠BAC=120°时，AD有最大值为7

故答案为：120，7

17．【答案】解：∵x2∴(x−2)2∴x1【解析】【分析】根据配方，再直接开方即可求出答案。18．【答案】（1）解：根据旋转的全等性，得AC=AE，根据点E在直线BC上，故以A圆心，以AC长为半径，画弧，交点即为所求，画图如下：则点E即为所求．（2）解：根据旋转的全等性，得AB=AD，ED=CB，故以A圆心，以AB长为半径，画弧，以E圆心，以则交D点即为所求．【解析】【分析】（1）根据旋转性质作图即可求出答案.

（2）根据旋转性质作图即可求出答案.19．【答案】（1）解：由图象可知，y=−2x2+bx+c∵该抛物线开口向下，∴当x≤2时，y随x的增大而增大；（2）解：由图象可知，抛物线y=−2x2+bx+c经过点∴将点(1，0)和0=−2+b+c解得：b=8，c=−6，所以该抛物线解析式为：y=−2x把x=0代入y=−2xy=−6故抛物线与y轴的交点坐标为(0，【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案，

（2）根据待定系数法将点(1，0)和20．【答案】（1）1（2）解：根据题意，画树状图如下：一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种．故两张卡片中不含D卡片的概率是612【解析】【解答】解：（1）由题意可得：

随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为14

故答案为：14

【分析】（1）根据等可能事件的概率计算即可求出答案.21．【答案】解：∵∠1=∠2=∠3，∠MEN=90°，∴∠1=∠2=∠3=30°，∵DB是半圆的切线，∴∠EBO=90°，∴∠BOE=60°，∴∠TOC=120°，∵半圆O的半径为2，∴TFC的长为120°×π×2180°【解析】【分析】根据角之间的关系可得∠1=∠2=∠3=30°，再根据切线性质可得∠EBO=90°，则∠BOE=60°，再根据角之间的关系可得∠TOC=120°，再根据弧长公式即可求出答案.22．【答案】（1）解：设每天销售量的平均增长率为x，根据题意得：25解得：x1=0.∴每天销售量的平均增长率为20%（2）解：设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，∴W=(60−35−y)(36+2y)=−2=−2∵α=−2<0∴当y=3.5∴将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是【解析】【分析】（1）设每天销售量的平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

（2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，根据题意列出关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.23．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，直线l与⊙O相切于点C．∴OC⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB．（2）解：关系是y=2x，理由如下：连接BF，OF，

∵AB是⊙O的直径，AD⊥l∴∠AFB=∠ADE=90°，∵四边形AEFB是⊙O内接四边形，∴∠AED=∠ABF，∴∠BAF=∠ADE=x，根据圆周角定理，得∠BOF=2∠BAF，∴∠BOF=2∠DAE，故y=2x．【解析】【分析】（1）根据切线性质可得OC⊥l，再根据直线平行判定定理可得AD∥OC，则∠DAC=∠ACO，再根据等边对等角可得∠BAC=∠ACO，则∠BAC=∠DAC，再根据角平分线判定定理即可求出答案.

（2）连接BF，OF，根据切线性质可得∠AFB=∠ADE=90°，再根据圆内接四边形性质可得∠AED=∠ABF，则24．【答案】（1）解：∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴AC=（2）解：如图，连接BD，过点B作BG⊥DC于点G，∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠BDC=∠BAC=60°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠BCA=∠BDE=60°，∴∠BDG=∠BDE，∵∠BGD=∠BED∠BDG=∠BDE∴△BDG≌△BDE(AAS)，∴DE=DG，∵BA=BCBE=BG∴△BEA≌△BGC(HL)，∴AE=CG，∵CD=DG+CG，∴CD=DE+AE．（3）解：过点B作BE⊥AC于点E，∵AB=BC=6，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，AE=EC=1∴sin30°=BE解得BE=3，EC=33∴AC=63∵BF⊥BC，∠A=∠C=30°，∴tan30°=BFBC解得BF=23∴CF=2BF=43∴AF=AC−CF=23过点F作FP⊥AB于点P，延长FP到点N，使得FP=PN，则FP=AFsin∴FN=2FP=23，∠AFP=60°，∠NFB=60°过点N作NG⊥BF于点G，交AB于点D，根据垂线段最短，得到点N到BF的最短距离为NG，∵BQ+2FQ=2(1过点Q作QM⊥BF于点M，∵∠ABC=120°，∠FBC=90°，∴∠ABF=30°，∴QM=BQsin∴只需求QM+FQ的最小值，故当Q与点D重合时，QM+FQ取得最小值，此时最小值为3，∴BQ+2FQ=2(故BQ+2FQ的最小值为6．【解析】【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△ABC是等边三角形，则AB=AC，由相等弦长所对的弧长相等即可求出答案.

（2）连接BD，过点B作BG⊥DC于点G，根据等边三角形判定定理可得△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，即∠BDC=∠BAC=60°，再根据圆内接四边形性质可得∠BDG=∠BDE，由全等三角形判定定理可得△BDG≌△BDE(AAS)，则DE=DG，BE=BG，即△BEA≌△BGC(HL)，由全等三角形性质可得AE=CG，再根据边之间的关系即可求出答案.

（3）过点B作BE⊥AC于点E，解含30°角的直角三角形可得AC=63，BF=23，再根据边之间的关系可得AF=23，过点F作FP⊥AB于点P，延长FP到点N，使得FP=PN，解含30°角的直角三角形可得FN=2FP=23，∠AFP=60°，