浙江省G5联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省G5联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，所以.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则由不等式的性质知，，故充分性成立；若，则，即，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．3.已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】函数恒过定点，，解得，，，在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点，的图象不经过第四象限．故选：D．4.已知，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，则，所以的解析式为.故选：D.5.关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（）A.或 B.C D.【答案】C【解析】设，则由题意可知，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C．6.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，设，，则，，，．故选：C．7.若，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数，则，即，因为对数函数在上为增函数，则，因此，.故选：B.8.定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（）A.若均为奇函数，则为奇函数B.若单调性相同，则为增函数C.若，则D.若，则【答案】A【解析】对于A，若，均为奇函数，则，则，则函数为奇函数，故A正确；对于B，设，，在上都是增函数，则，但其在上不具有单调性，故B错误；对于C，设，，满足，但不成立，故C错误；对于D，设，，，在上递增，满足，但为减函数，，故D错误.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列等式正确的是（）A. B. C. D.．【答案】AD【解析】由，可得，利用换底公式可得，A项正确；因为，且，所以，则，所以，选项B错误；因为，所以，C项错误；，所以，D项正确．故选：AD．10.函数，若该函数存在最小值，则的可能取值是（）A B. C. D.3【答案】AB【解析】由题可知且，当时，函数在上单调递减，且，；此时函数在，单调递减，要使函数有最小值，则，解得，所以；当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，且当时，，要使函数有最小值，则，解得，不满足；当时，，此时函数有最小值2，满足题意；当时，，函数无最小值，不满足题意；当时，函数在，和上单调递增，不满足题意；综上，或.故选：AB.11.已知，对关于的方程的实数解情况进行讨论，则下列结论中正确的是（）A.存在，使该方程无实根B.对任意，该方程至少有一个实根C.存在，使该方程有两个实根D.存在，使该方程有三个实根【答案】BCD【解析】对于AB，由题意知：方程的实数解，即为函数与的图象交点的横坐标，，作出其图象如下：由函数图象特征可知直线一定会与的图象有交点，故A错误，B正确；对于C，如图，当直线位于位置①时，直线与的图象有两个公共点，C正确；对于D，如图，当，时，直线位于位置②，此时直线的图象有三个交点，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出命题“”的否定__________．【答案】【解析】“，”的否定：，．13.已知奇函数在上单调递减，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】因为奇函数在上单调递减，故，时，，时，，则不等式可化为或，即或，所以.所以不等式的解集是.14.已知，，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，，则，，因为，则，即，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．解：（1），则，集合，则或，故.（2）因为，则，当时，符合，此时，解得，当时，要使，，则，解得，综上所述，的取值范围为.16.设函数.（1）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（2）解关于的不等式：．解：（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.当时，不等式可化为，不满足题意.当，有，即，解得，所以的取值范围是．（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式解集为.当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17.某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形下底边为半圆直径，、在圆周上．（1）写出这个梯形周长与腰长的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求的长．解：（1）如图，过作于，圆心为，连接，设，则，由，得，整理得，则，所以，由于，，所以．故所求函数为，.（2）由（1）知，，，则当时，取得最大值，此时，，，，则等腰梯形的底角为，面积为，令，则时，，解得（舍去）；当时，，解得；当时，，解得（舍去）或（舍去）.综上所述，.18.已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．解：（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为，所以，解得.（2）由（1）的结论，，函数在上单调递减，证明如下：任取，所以，由，可得，所以，所以，即，所以在上单调递减．（3）方程等价于，因为方程在上恰有两个不相等的实数根，且在上单调递减，所以在上恰有两个不相等的实数根，令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，由二次函数的图象与性质可得，解得，所以的取值范围是．19.定义．（1）写出函数的表达式；（2