《电路分析基 础》课件-西电第4章正弦稳态交流电路相量模型

1

4.1正弦交流电的基本概念4.2正弦量的相量表示法

4.3两类约束的相量形式

基尔霍夫定律的相量形式

电阻元件、电感元件、电容元件VCR的相量形式4.4相量模型——阻抗和导纳4.5正弦稳态电路分析

4.5.1网孔法的应用4.5.2节点法的应用

4.5.3戴维南定理的应用

4.5.4相量图法的应用4.6实际应用4.7计算机辅助电路分析第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

电路分析基础【难点】

【知识点及重点】1.正弦交流电的三要素，正弦量的相量表示法。2.两类约束的相量形式

3.相量模型——阻抗

4.正弦稳态电路分析

4.5.1网孔法的应用4.5.2节点法的应用4.5.3戴维南定理的应用4.5.4相量图法的应用正弦稳态电路分析相量图法的应用返回下一页上一页

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

4.1.1正弦量的三要素大小和方向随时间按正弦规律作周期性变化的电流(电压)称为正弦交流电，统称为正弦量，4.1正弦交流电的基本概念当激励是正弦电压（电流）时，响应是由暂态和稳态分量组成，随着时间的增长，暂态分量为零，电路就进入正弦稳态状态，简称正弦稳态。定义本课分析正弦稳态电路时，一律采用函数代表正弦量。返回下一页上一页电路分析基础

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

电力系统中的交流电是由交流发电机产生的，在实验室中也可由正弦信号发生器提供。上式称为正弦量的瞬时值表达式，式中有三个常量：称为最大值，称为角频率，称为初相位。以正弦电压为例，其数学表达式为：在电路中，首先必须规定一个参考方向

4.1.1正弦量的三要素返回下一页上一页第4章4.1正弦交流电的基本概念1.

正弦交流电的最大值瞬时值是以解析式表示的：最大值就是上式中的Im，Im反映了正弦量振荡的幅度。2.

正弦交流电的角频率、频率和周期角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：4.1.1正弦量的三要素3.

正弦交流电的相位、初相正弦量解析式中随时间变化的电角度。相位：t=0时的相位，它确定了正弦量计时始的位置。初相：4.1.1正弦量的三要素4.1.2正弦交流电的有效值有效值指正弦交流电流i和一直流电流I同一个周期T内通过相同电阻R，如果所产生的热量相等，那么这个直流电流I的数值就称作交流电流i的有效值。RiRI返回下一页上一页

第4章4.1正弦交流电的基本概念若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um

311V；（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为

有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注意

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

4.1.2正弦交流电的有效值两个同频率正弦量之间的相位之差。相位差：例相位初相u、i的相位差为：

显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的初相之差。4.1.3正弦交流电的相位差(phasedifference)。返回下一页上一页

第4章4.1正弦交流电的基本概念(1)j>0，u超前ij

角，或i落后uj

角(u比i先到达最大值)；

(2)

j<0，

i超前

uj

角，或u滞后

ij

角,i比

u先到达最大值。

tu,iu

iyuyijO规定：|

|(180°)。94.1.3正弦交流电的相位差(phasedifference)。

第4章4.1正弦交流电的基本概念（3）j＝0，同相：(4)j=(180o)

，反相：特殊相位关系：

tu,iu

i0

tu,iu

i0=p/2：

tu,iu

i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。4.1.3正弦交流电的相位差(phasedifference)。4.2正弦交流电的相量表示法我们可以借用复数来表示正弦信号，使正弦稳态电路的分析和计算得到简化。角频率、有效值(或最大值)、初相位是正弦交流的三要素，能唯一地确定一个正弦量，而电源的角频率往往是已知的。因此求解正弦稳态电路的各支路电压、电流时，主要是求各支路电压、电流的有效值和初相位。由数学知，一个复数具有模和幅角，恰好与正弦量的

有效值、初相角两要素相对应。

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第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

4.2.1复数及复数运算∆学习目标：复数的运算是电路相量分析的基础，理解复数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，掌握复数进行加减乘除运算的规则。1复数及其表示方法复数P在复平面上是一个点，＋j0b＋1aP原点指向P的箭头称为它的模,模r与正向实轴之间的夹角称为复数P的幅角；P在实轴上的投影是它的实部；P在虚轴上的投影称为其虚部。复数P的（1）代数表达式为：P=a+jb由图又可得出复数P的模值r和幅角分别为：r第4章4.2正弦交流电的相量表示法

（2）P=rcos+jrsin由图还可得出复数还可以表示为指数形式和极坐标形式：又可得到复数P的三角函数式为：＋j0b＋1aAr（3）P=rej

或（4）

P=r/复数的几种表示方法可以相互转换。解已知复数P的模r=5，幅角

=53.1°，试写出复数P的极坐标形式和代数形式表达式。极坐标形式为：P=5/53.1°代数表达形式为：P=3+j4例4.2.1复数及复数运算∆2复数运算法则

显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。设有两个复数分别为：两个复数加、减、乘、除时的运算公式P1P2ReIm0图解法例4.2.1复数及复数运算∆在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：3.注意：代数表达形式为：P=0+j4极坐标形式：

=

记住

特殊复数4.2.1复数及复数运算∆假设某正弦电流为利用欧拉公式复指数函数的虚部正好是正弦电流

复数其模为正弦电流的振幅（最大值）幅角为该正弦电压的初相。复值常数称为电流振幅相量。

4.2.2正弦量的相量表示

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

17对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数相量为有效值相量包含了三要素：I、、w，相量包含了I

,。相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位4.2.2正弦量的相量表示复常数第4章4.2正弦交流电的相量表示法

18在复平面上用向量表示相量的图相量(phasor)是复数，为了与一般复数区别，利用它代表一个正弦量时，在相量的字母上端需加一点。相量图q其有效值相量为4.2.2正弦量的相量表示第4章4.2正弦交流电的相量表示法

19例4.2

已知同频率的正弦电压和正弦电流分别为

试写出的相量，画出相量图，并说明它们的相位关系。解以正弦函数为标准的，因此，以函数表示的正弦电压应化为以正弦函数表示，然后再写相量。

注意4.2.2正弦量的相量表示4.3两类约束的相量形式本节重点掌握KCL、KVL方程的相量形式及元件的伏安关系（VCR）的相量形式。可以把直流电阻的分析方法推广应用于分析正弦稳态电路中。在正弦电路中基本的无源元件是电阻、电感和电容，如果建立起元件的伏安关系及KCL、KVL方程的相量形式。返回下一页上一页20电路分析基础

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

1.基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。4.3.1基尔霍夫定律的相量形式2.基尔霍夫电压定律（KVL）的相量形式第4章4.3两类约束的相量形式

1.基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。4.3.1基尔霍夫定律的相量形式2.基尔霍夫电压定律（KVL）的相量形式第4章4.3两类约束的相量形式

例4.3

解如图所示，已知

求：表的读数。方法一：

采用相量和KVL计算

由KVL得表的读数为10V。

方法二：相量图法

利用平行四边形法则：返回下一页上一页4.3.1基尔霍夫定律的相量形式流出任一节点的全部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零注意注意下一页上一页下一页上一页4.3.1基尔霍夫定律的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-（1）大小关系（2）相位关系R+-UR相量关系：UR=RI4.3.2

电阻元件VCR的相量形式1.电阻的电压与电流的关系已知下一页上一页

第4章4.3两类约束的相量形式

有效值关系

波形图及相量图：

i

tOuRpR同相位返回下一页上一页4.3.2

电阻元件VCR的相量形式

第4章4.3两类约束的相量形式

时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型j

L+-相量关系：

（1）有效值关系：UL=wLI（2）相位关系：4.3.3电感元件VCR的相量形式-下一页上一页UL

第4章4.3两类约束的相量形式

感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比；wXL相量表达式:XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=1/L=1/2fL，

感纳，单位为S感抗和感纳:4.3.3电感元件VCR的相量形式

第4章4.3两类约束的相量形式

t

iOuL

i波形图及相量图：电压超前电流900电感电压与电流波形为同频率，电感的电压相位要比电流的相位超前900。返回下一页上一页4.3.3电感元件VCR的相量形式30

[例4.4]有一电感器,电阻可忽略不计,电感L=0.2H。把它接到220V工频交流电源上工作，求（1）电感的感抗（2）电感的电流有效值及[解](1)接到220V工频交流电源时XL

=

2πfL=62.8

U22062.8XLIL

==A=3.5A(2)

4.3.3电感元件VCR的相量形式

第4章4.3两类约束的相量形式

时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-（1）有效值关系：

IC=wCU（2）相位关系：相量关系：4.3.4电容元件的正弦交流电路IC

第4章4.3两类约束的相量形式

XC=1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)BC=wC，

称为容纳，单位为S

频率和容抗成反比,

0，|XC|

直流开路(隔直)w

，|XC|0高频短路(旁路作用)容抗与容纳：相量表达式:返回下一页上一页4.3.4电容元件的正弦交流电路

第4章4.3两类约束的相量形式

t

iCOupC2

电压与电流波形同频率，电容的电流相位超前电压

。（4）.波形图及相量图：电流超前电压900返回下一页上一页4.3.4电容元件的正弦交流电路

第4章4.3两类约束的相量形式

例4.5

解：电路如图4.11(a)所示已知相量模型如图4.11(b)所示。

求：，，及其有效值相量。

根据RLC元件相量形式的VCR方程求电流：

4.3.4电容元件的正弦交流电路

4.4相量模型、阻抗和导纳相量模型是一种运用相量分析方法方便地对正弦稳态电路进行分析、计算的假想模型，建立相量模型是分析正弦稳态电路的重要步骤。对于含有多个元件但不含独立电源的单口网络，可以求得端口的电压相量与电流相量的比值，从而得到阻抗的概念，相应引出导纳的定义，阻抗和导纳可以进行等效变换。返回下一页上一页35电路分析基础

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

36LCRuuLuCi+-+-+-+-uR4.4.1相量模型(phasormodel)

保持原来电路的结构不变，电路的元件用阻抗表示，也就是其参考方向不变。这样的模型是一种假想的模型，是分析正弦稳态电路的工具，称为相量模型。

返回下一页上一页

该模型中电压、电流都使用相量，-j

LR++-+-+-

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳正弦稳态情况下Z+-无源线性+-单位：

阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式4.4.2阻抗1.阻抗的定义定义阻抗（impedance)为端口处电压相量与电流相量的比值，下一页上一页37

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳分析RLC串联电路由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uR返回下一页上一页-j

LR++-+-+-=RI+jXLI－jXCI=[R+j(XL－XC)]I4.4.2阻抗

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳1.阻抗的定义阻抗是复数，它的表示形式可以是极坐标形式，还有代数形式和指数形式，可以相互转换：是阻抗的虚部，称为电抗分量，

是阻抗的实部，称为电阻分量，

阻抗由指数形式向代数形式转换时

已知阻抗的代数形式求指数形式394.4.2阻抗40返回下一页上一页下一

节上一节

（1）wL>1/wC

，X>0，j

z>0，电路为感性，电压超前电流；

（2）wL<1/wC

，X<0，j

z<0，电路为容性，电压滞后电流；

（3）wL=1/wC

，X=0，j

z=0，电路为电阻性，电压电流同相；Z=R+j(XL－XC)=R+jX4.4.2阻抗2、电路的性质:三种不同性质:

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳41[例4.6]

如图4.13（a）所示，已知端口电压

，

，

求：该网络的输入阻抗及等效电路。

解：由题可得电压与电流相量为

电路呈感性等效电路为

？？的电阻与一个感抗

的电感元件串联，4.4.2阻抗转换关系：或R=|Z|cos

zX=|Z|sin

z(1)阻抗三角形|Z|RXjz下一页上一页423、阻抗三角形与电压三角形4.4.2阻抗

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳（2)电压三角形相量图：串联电路一般选电流为参考向量。三角形UR、UX、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。

zUX电压三角形返回下一页上一页433、阻抗三角形与电压三角形4.4.2阻抗

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳(2)wL<1/wC，

X<0，jz<0，电路为容性，电压落后电流；(3)wL=1/wC

，X=0，j

z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。

zUXR+-+-+-等效电路R+-+-等效电路443、阻抗三角形与电压三角形已知导纳代数形式求极坐标形式G是导纳的实部，称为电导B是导纳的虚部，称为电纳已知导纳极坐标形式求代数形式？？？？？454.4.3导纳

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳464.4.3导纳导纳三角形

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳u超前i，Y呈感性。

i超前u，Y呈容性。ui同相，Y呈阻性。下一页47电路的性质:三种不同性质:R4.4.3导纳

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳48[例4.7]如图4.17（a）所示RLC并联电路，求(1)总电流

电路的导纳及性质(2)画出电流相量图。[解]

三个元件为并联连接，各元件电压相同，均为

(1)利用KCL的相量形式

电流超前电压，电路呈？性。4.4.3导纳

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳49[例4.7]

如图4.17（a）所示RLC并联电路，求(1)总电流(2)画出电流相量图。[解]（2）也可以利用相量图，由几何关系也求得总电流。

并联电路做图时常选择电压相量作为参考相量，画在实轴上，其他相量以它为基准。电流相量图如图4.17（b）所示。4.4.3导纳

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳例4.8电路如图4.18(a)所示，，试求含受控源电路的输入阻抗。

做出相量模型如图4.18(b)所示。

解利用KVL的相量形式

根据输入阻抗的值，含受控源的等效电路可以视为一个负电阻和电感的串联，其阻抗角大于900。

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳N阻抗与导纳互为倒数阻抗角与导纳角差一负号模互为倒数RjXGeqjBeq4.4.4阻抗与导纳的关系

已知阻抗Z，求导纳Y

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳RjXGeqjBeq一般情况并非是R的倒数，，应根据来推导注意R、G、X、B等均为的函数，只有在某一指定频率时才能确定R、G的数值和X、B的数值及其正负号。等效相量模型只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。注意524.4.4阻抗与导纳的关系

第4章4.4相量模型、阻抗和导纳电阻电路与正弦电流电路的分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，然后运用电阻电路分析所用的方法，如网孔电流法，节点电压法及戴维南定理等进行分析，不同的是电流、电压要用相量表示，电阻用阻抗表示，计算用复数来计算。也可借助相量图来分析。

4.5正弦稳态电路的分析返回下一页上一页电路分析基础

第4章正弦稳态交流电路相量模型及分析

例4.9电路如图4.19（a）所示，已知

试用网孔法求电流

解：（a）电路中电流源与5Ω电阻并联，利用电源等效法等效为10V电压源与5Ω电阻串联，如图（b）所示

4.5.1网孔法的应用,

列网孔方程，与直流电阻方程类似，不同的是网孔电流相量分别为,用自阻抗和互阻抗来列方程，

和

第4章4.5正弦稳态电路的分析例4.9

解：

,

55补充受控电压源的控制量与网孔电流之间关系的辅助方程4.5.1网孔法的应用

第4章4.5正弦稳态电路的分析电路如图4.20（a）所示，已知

试用节点分析法求电路中电压和电流。解先做出（a）电路的相量模型，如图（b）所示

,

列方程时用自导纳和互导纳。56例4.104.5.2节点法的应用

第4章4.5正弦稳态电路的分析

试用节点分析法求电路中电压和电流。解注意列节点电压方程时，与电流源串联的阻抗元件不出现在节点方程中

,

57例4.104.5.2节点法的应用电路如图4.21(a)所示，利用戴维南定理求

（1）求开路电压：例4.11解将ab端断开，电路如图(b)，因为所以电容上无电压。

4.5.3戴维南的应用

第4章4.5正弦稳态电路的分析（2）求等效阻抗：例4.11解因为网络有受控源，不能利用阻抗的串、并联公式求。利用外加电压源法，将内部的独立源置零后得到等效电路

.4.5.3戴维南的应用例4.12解在如图4.22(a)所示正弦稳态电路中，电流表A、A1、A2的指示均为有效值，若A为10A，A1为8A，求电流表A2的读数。方法一、用相量图法求解(1)首先选取参考相量，画在正实轴上。本题是并联电路，宜取电压为参考相量，在图4.22(c)中设①表示第一笔画。(2)利用元件电压与电流的相位关系绘出各元件的电压相量，电阻元件的电压应与电流同相；电感元件的电流滞后于的角度为90°，。得图中的②和③。