福建省福州市罗源县第一中学2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

福建省福州市罗源县第一中学2025届高三六校第一次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A． B．C． D．2．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的()A．9 B．31 C．15 D．633．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）A．2 B．5 C． D．5．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．6．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．或 B． C． D．或7．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）A． B． C．6 D．88．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（）A． B．C． D．9．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c10．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（）A． B． C． D．12．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.14．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________15．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是__________．16．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点（1）求椭圆的方程；（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.19．（12分）已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.20．（12分）已知不等式对于任意的恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.21．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3565100（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．参考公式：，其中．参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图，执行循环前：，，，执行第一次循环时：，，所以：不成立．继续进行循环，…，当，时，成立，，由于不成立，执行下一次循环，，，成立，，成立，输出的的值为.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．2、B【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【详解】执行程序框；；；；；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.3、C【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4、D【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.5、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.6、D【解析】

根据正弦定理得到，化简得到答案.【详解】由，得，∴，∴或，∴或．故选：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.7、A【解析】

依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；【详解】解：∵双曲线的离心率为，所以，∴，∴，双曲线的焦距为.故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.8、C【解析】

根据偶函数的性质，比较即可.【详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.9、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.11、D【解析】

判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【详解】∵，∴．故选：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.12、C【解析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，当且仅当时等号成立，∴，∴面积的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.14、1【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。【详解】由，得，作出可行域，如图所示：平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。由，解得，代入直线，得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。15、【解析】∵，∴，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，，作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，，结合图象可知，<b<2，故答案为.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16、【解析】

将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，，且，不恒成立，不符合题意.当时，，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18、（1）（2）或【解析】

（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为联立，消元整理得，，由，解得设弦中点坐标为，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，即，解得或【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.【详解】（1），，，当时，，，，则函数在上单调递增；当时，，，，则函数在上单调递减；当时，，，，则函数在上单调递增.，，，，.所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.综上所述，函数在区间上的零点的个数为；（2），.由（1）得，在区间与上存在零点，所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，且满足即，，，又，即，，，，，由在上单调递增，得，再由在上单调递减，得，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）法一：，，得，则，由此可得答案；法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：（当且仅当时取等号），又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），由題意得，则，解得，故的取值范围是；法二：因为对于任意恒有成立，即，令，易知是偶函数，且时为增函数，所以，即，则，解得，故的取值范围是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．21、（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①；②分布列见解析，，【解析】

(1)计算再对照表格分析即可.(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.【详解】（1）由列联表可知,,因为,所以不能在犯错误的概率不超过0.10的