高考数学一轮复习第7章不等式1第1讲不等关系与不等式教案理

第1讲不等关系与不等式知识点考纲不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.一元二次不等式的解法会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a≥0，b≥0)了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0，0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若eq\f(a,b)>1，则a>b.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)同向不等式具有可加性和可乘性．()(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√(教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为()A．A≥B B．A＞BC．A≤B D．A＜B解析：选B.A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>0，,ab>0.))又当ab>0时，a与b同号，由a＋b>0知a>0，且b>0.eq\f(1,\r(2)－1)________eq\r(3)＋1(填“>”或“<”)．解析：eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1<eq\r(3)＋1.答案：<下列不等式中恒成立的是__________．①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.解析：m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．答案：①②比较两个数(式)的大小[典例引领](1)已知a>b>0，m>0，则()A.eq\f(b,a)＝eq\f(b＋m,a＋m)B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m)C.eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)D.eq\f(b,a)与eq\f(b＋m,a＋m)的大小关系不确定(2)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln2,2)，比较a与b的大小．【解】(1)选C.eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(b（a＋m）－a（b＋m）,a（a＋m）)＝eq\f(m（b－a）,a（a＋m）).因为a>b>0，m>0.所以b－a<0，a＋m>0，所以eq\f(m（b－a）,a（a＋m）)<0.即eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)<0.所以eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).(2)因为a＝eq\f(ln3,3)＞0，b＝eq\f(ln2,2)＞0，所以eq\f(a,b)＝eq\f(ln3,3)·eq\f(2,ln2)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89＞1，所以a＞b.若本例(1)的条件不变，试比较eq\f(b,a)与eq\f(b－m,a－m)的大小．解：eq\f(b,a)－eq\f(b－m,a－m)＝eq\f(b（a－m）－a（b－m）,a（a－m）)＝eq\f(m（a－b）,a（a－m）).因为a>b>0，m>0.所以a－b>0，m(a－b)>0.(1)当a>m时，a(a－m)>0，所以eq\f(m（a－b）,a（a－m）)>0，即eq\f(b,a)－eq\f(b－m,a－m)>0，故eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m).(2)当a<m时，a(a－m)<0.所以eq\f(m（a－b）,a（a－m）)<0，即eq\f(b,a)－eq\f(b－m,a－m)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(b－m,a－m).eq\a\vs4\al()比较大小常用的方法[提醒]用作差法比较大小的关键是对差进行变形，常用的变形有通分、因式分解、配方等．[通关练习]1．设m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，则m与n的大小关系为()A．m>n B．m<nC．m≥n D．m≤n解析：选B.m－n＝x2＋5x＋6－(2x2＋5x＋9)＝－x2－3<0，所以m<n.故选B.2．比较eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)与a＋b(a>0，b>0)两个代数式的大小．解：因为eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)－(a＋b)＝eq\f(a3＋b3－a2b－ab2,ab)＝eq\f(a2（a－b）＋b2（b－a）,ab)＝eq\f(（a－b）（a2－b2）,ab)＝eq\f(（a－b）2（a＋b）,ab).又因为a>0，b>0，所以eq\f(（a－b）2（a＋b）,ab)≥0，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)≥a＋b.不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质是高考的常考内容，题型多为选择题，难度为中档题．高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度：(1)应用性质判断命题真假；(2)应用性质求代数式的范围．[典例引领]角度一应用性质判断命题真假(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.(2)因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故①错误．因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，所以eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，故②正确．因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正确．因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C.【答案】(1)C(2)C角度二应用性质求代数式的范围(整体思想)已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．【解】因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b，,f（1）＝a＋b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f（－1）＋f（1）]，,b＝\f(1,2)[f（1）－f（－1）]，))所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤f（－1）≤2，,3≤f（1）≤4，))所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范围是[6，10]．eq\a\vs4\al()(1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或用特值法．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．[通关练习]1．(2018·河南百校联盟模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C.当(a－b)a2≥0时，由a2≥0得a－b≥0，即a≥b，反之也成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件．2．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，则2a＋3b的取值范围为________．解析：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又因为－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq\f(1,2)(a－b)<－1，所以－eq\f(9,2)<eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)<eq\f(13,2).即－eq\f(9,2)<2a＋3b<eq\f(13,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，\f(13,2)))eq\a\vs4\al()真假分数的性质(1)真分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变大．(2)假分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变小．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定限制条件的选择题，用特殊值验证的方法更简单．易错防范(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．1．已知a>b，则下列结论正确的是()A．a2>b2 B．ac2>bc2C.eq\r(a)>eq\r(b) D．a－1>b－2解析：选D.因为a>b时，a与b的符号不确定，所以A、C不正确；当c＝0时，B不正确；对于D，a>b⇒a－1>b－1，又b－1>b－2，所以a－1>b－2正确．2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选D.由题可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．选D.3．若x2＋y2≤2(x＋y－1)，则x，y满足的条件是()A．x、y∈R B．x≥1且y≥1C．x≤1且y≤1 D．x＝1且y＝1解析：选D.因为x2＋y2－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋1＝(x－1)2＋(y－1)2≥0，当且仅当x＝1且y＝1时，取等号，即x2＋y2≥2(x＋y－1)．又因为x2＋y2≤2(x＋y－1)，所以x2＋y2＝2(x＋y－1)．所以x＝1且y＝1，故选D.4．(2018·湖北黄冈检测)已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：选C.因为x>y>z，所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>z))得xy>xz.故选C.5．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b).其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选B.由ac2>bc2知c≠0，c2>0，所以a>b，故①正确；由不等式的同向可加性易知②正确；对于③，当a＝－1，b＝－4，c＝－2，d＝－3时，ac<bd，故③不正确；对于④，若a＝2，b＝1，满足a>b，但eq\f(1,2)>eq\f(1,1)不成立，故④不正确．6．(2018·扬州模拟)若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，因为a1<a2，b1<b2，所以(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b17．已知a，b∈R，则a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b8．若α，β满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3，))则α＋3β的取值范围是________．解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x＋2y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围为[1，7]．答案：[1，7]9．设实数a，b，c满足①b＋c＝6－4a＋3a2，②c－b＝4－4a＋a2.试确立a，b，c的大小关系．解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，所以b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，所以b>a，从而c≥b>a.10．若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：eq\f(e,（a－c）2)>eq\f(e,（b－d）2).证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0.又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.所以0<eq\f(1,（a－c）2)<eq\f(1,（b－d）2).又因为e<0，所以eq\f(e,（a－c）2)>eq\f(e,（b－d）2).1．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0B．sinx－siny＞0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0D．lnx＋lny＞0解析：选C.法一：(通性通法)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝eq\f(π,2)，则sinx－siny＝sinπ－sineq\f(π,2)＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝eq\f(1,2)，则lnx＋lny＝ln(xy)＝ln1＝0，排除D.故选C.法二：(光速解法)因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，且x＞y＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0，故选C.2．(2017·高考山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)<log2(a＋b)B.eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)<log2(a＋b)<eq\f(b,2a)D．log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)解析：选B.根据题意，令a＝2，b＝eq\f(1,2)进行验证，易知a＋eq\f(1,b)＝4，eq\f(b,2a)＝eq\f(1,8)，log2(a＋b)＝log2eq\f(5,2)＞1，因此a＋eq\f(1,b)＞log2(a＋b)＞eq\f(b,2a).3．已知△ABC的三边长分别为a，b，c且满足b＋c≤3a，则eq\f(c,a)的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0，2)C．(1，3) D．(0，3)解析：选B.由已知及三角形的三边关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b＋c≤3a，,a＋b>c，,a＋c>b，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)>\f(c,a)，,1＋\f(c,a)>\f(b,a)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1<\f(c,a)－\f(b,a)<1，))两式相加得，0<2×eq\f(c,a)<4，所以eq\f(c,a)的取值范围为(0，2)，故选B.4．(2018·安徽合肥模拟)已知a，b，c∈(0，＋∞)，若eq\f(c,a＋b)<eq\f(a,b＋c)<eq\f(b,c＋a)，则()A．c<a<b B．b<c<aC．