2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷3.1 从算式到方程 课后训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷3.1从算式到方程课后训练(含答案)课后训练基础巩固1．在①2x＋3y－1；②1＋7＝15－8＋1；③1－＝x＋1；④x＋2y＝3中方程有______个．()．A．1 B．2C．3 D．42．下列四个方程中，一元一次方程是()．A．x2－1＝0 B．x＋y＝1C．12－7＝5 D．x＝03．下列方程中，以4为解的方程是()．A．2x＋5＝10 B．－3x－8＝4C．＋3＝2x－3 D．2x－2＝3x－64．下列方程变形正确的是()．A．由3＋x＝5，得x＝5＋3 B．由7x＝－4，得x＝C．由＝0，得y＝2 D．由3＝x－2，得x＝3＋25．根据“x的3倍与5的和比x的少2”列出方程是()．A．3x＋5＝ B．3x＋5＝＋2C．3(x＋5)＝ D．3(x＋5)＝＋26．七年级(1)班有20名女生，占全班人数的40%，求七年级(1)班的学生人数．(只设出未知数，列出方程)能力提升7．下列方程：①x－1＝5；②；③＝5；④x(x＋1)＝2；⑤4－2x＝x＋1中是一元一次方程的是()．A．①② B．①②③④C．①②③⑤ D．①②⑤8．下列运用等式的性质变形正确的是()．A．若x＝y，则x－5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bcC．若，则2a＝3b D．若x＝y，则9．方程x＋2＝3的解也是方程ax－3＝5的解时，a＝__________.10．方程(m－1)x|m|＋2＝0是关于x的一元一次方程，那么m的取值是__________．11．如果x＝1是方程－1＝3x＋m的解，则m＝__________.12．一个长方形的周长为26厘米，如果长减少1厘米，宽增加2厘米，则长方形就变成了正方形，设长方形的长为x厘米，可列方程为______．13．利用等式的性质解一元一次方程：(1)3＝x－5；(2)3－x＝；(3)3y＝2；(4)2x－5＝3.14．一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速每小时24千米．(1)飞机飞行速度为x千米/时，则顺风中飞机的速度为__________，逆风中飞机的速度为__________；(2)列出方程__________．15．服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3.5米，儿童服装每套平均用布1.5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？(列方程求解)16．在学完等式的性质后，赵老师让同桌之间交流一下，看看对这部分知识的理解情况，下面是三位同学的对话，李红说：从ab＝bc能得到a＝c，小明说：从，也能得到a＝c，它们互相批评对方不对，邻座的小华说他俩都对，你认为呢？请你评判一下他们三人谁对谁错．

参考答案1答案：B点拨：含有未知数且是等式．①②不是，③④是．2答案：D点拨：只有一个未知数，且未知数的次数是1，所以A、B、C都不符合，只有D符合．3答案：D点拨：将4代入各方程检验，只能使方程2x－2＝3x－6左右两边相等，是它的解，故选D.4答案：D点拨：D选项两边同时加2，再根据等式的对称性，3＋2＝x变化得到，因而正确，故选D.5答案：A点拨：x的3倍与5的和是3x＋5，x的是，少2，较大，所以A正确．6解：设全班人数为x，得40%x＝20.点拨：设全班人数为x，那么女生占40%是40%x.7答案：D点拨：③④不是，它们的未知数的次数不是1，①②⑤是，故选D.8答案：B点拨：A、C不符合等式性质，D除以a有可能是0，都不正确，B即使c＝0，也正确．9答案：8点拨：方程x＋2＝3的解是x＝1，ax－3＝5的解也是1，将x＝1代入，得a＝8.10答案：－1点拨：方程是一元一次方程，所以|m|＝1，m＝±1，但(m－1)不能等于0，即m≠1，所以m＝－1.11答案：－4点拨：把x＝1代入方程中，得方程－1＝3＋m，根据等式的性质，解得m＝－4.12答案：x－1＝15－x点拨：由题意可得长与宽的和等于13厘米，那么长方形的宽为(13－x)厘米，根据题意列出方程x－1＝13－x＋2，即x－1＝15－x.13解：(1)3＝x－5，方程两边都加5，得3＋5＝x－5＋5，化简，得8＝x，即x＝8.(2)3－x＝，方程两边都加－3，得3－x＋(－3)＝＋(－3)，化简，得－x＝，两边都乘以－1，得x＝.(3)3y＝2，方程两边都除以3，得3y÷3＝2÷3，化简，得y＝.(4)2x－5＝3，方程两边都加5，得2x－5＋5＝3＋5，化简，得2x＝8，方程两边都除以2，得2x÷2＝8÷2，即x＝4.点拨：解方程，就是把方程变形，使方程左边只含未知数，右边是常数，再变为x＝a(a是常数)的形式．如：方程3＝x－5中，要去掉方程右边的－5，因此两边都加5.再利用等式的对称性得到x＝8.14答案：(1)(x＋24)千米/时(x－24)千米/时(2)5.5(x＋24)＝6(x－24)点拨：顺风飞行速度＝飞机飞行速度＋风速；逆风飞行速度＝飞机飞行速度－风速．15解：设余下的布还可以做x套儿童服装，根据题意，得1.5x＋3.5×80＝355.方程两边都加－280，得1.5x＋3.5×80－280＝355－280，化简得1.5x＝75，两边都除以1.5，得x＝50.答：余下的布还可以做50套儿童服装．点拨：根据做成人服装的用料＋做儿童服装的用料＝总的布料，列出方程求解．16解：李红的说法错误，小明的说法正确，因此小华的理解也是错误的．点拨：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．由此从ab＝bc得到a＝c，两边同除以b，b可以是0，所以李红说的不正确；而从，得到a＝c，两边都乘以b，既然成立，b≠0，所以小明的说法正确．3.1从算式到方程1．方程(1)定义：含有未知数的等式叫做方程．(2)理解：①方程是等式的一种，它可以看作由两个式子组成，等号的左右各1个，它区别于等式的最大特点是式子中含有未知数；②方程的种类较多，形式也不一样．如：x＋2y＝0,3x2－2x＝4,5x＝0，eq\f(3x,y)＝6，…，都是方程．解技巧方程的辨别判断是否是方程要抓住两点：①首先是一个等式，②式子中含有字母表示的未知数．【例1】判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”．(1)－2＋5＝3()；(2)3x－1＝7()；(3)m＝0()；(4)x＞3()；(5)x＋y＝8()；(6)2x2－5x＋1＝0()；(7)2a＋b()；(8)eq\f(2,x)＋7＝6x＋4()．解析：(1)是等式不含未知数，不是；(4)不是等式；(7)不是等式，其余都是．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√(6)√(7)×(8)√2．一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是等式，这样的方程叫做一元一次方程．(2)特点：①是整式方程，左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的次数是1.在整式方程中，元是指的未知数，几元就是有几个未知数，次是指的未知项的次数，几次就是未知项的次数．【例2－1】判断下列方程是不是一元一次方程：(1)23－x＝－7：(2)2a－b＝3；(3)y＋3＝6y－9；(4)x2＝1；(5)eq\f(1,2)y－4＝eq\f(1,3)y.分析：(2)(4)不是，(2)中含有两个未知数，(4)中虽含有一个未知数，但未知数的次数不是1.解：(1)(3)(5)是，(2)(4)不是．【例2－2】若方程3xa－4＝5(a已知，x未知)是一元一次方程，则a等于()．A．任意有理数 B．0C．1 D．0或1解析：方程是一元一次方程，未知数的次数就是1，即a＝1，故选C.答案：C3．方程的解(1)定义：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．注意：有些方程的解只有1个，有些则有多个，也有些可能一个也没有．(2)解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做解方程．(3)方程解的检验方法：要检验某个值是不是方程的解，就是用这个值代替未知数代入方程，看能否使方程左右两边的值相等，相等就是方程的解，不相等则不是．【例3】x＝2是下列方程____的解．()．A．2x＝6B．(x－3)(x＋2)＝0C．x2＝3D．3x－6＝0解析：把x＝2分别代入四个方程检验，只有方程3x－6＝0左右两边相等，故选D.答案：D4．等式的性质1(1)性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．(2)表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c.(3)注意：①等式性质运用的前提必须是等式；②等式两边所加或减的数(式子)必须相等．③同加或同减后的式子的结果相等，即左右两边仍相等，但原式的左右两边的值与变化后式子的值相比较都已改变，不再相等(加或减0除外)．【例4】如果m＝n，那么下列各式：①m－3＝n＋3；②m－eq\f(1,2)＝n－eq\f(1,2)；③2m＝m＋n；④m－n＝0，正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①不正确，左边减3，右边加3，所以结果不相等；②、③、④正确，左右分别是同减eq\f(1,2)、同加m，同减n，所以仍然相等，故选C.答案：C5．等式的性质2(1)性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．(2)表示：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，(c≠0)，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).(3)注意：根据等式的性质变形后，等式的结果仍相等，但原等式左右两边的式子的值已变化，所以已不等于原式的值，因此不能连等．同往天平里添加砝码一样，虽仍然平衡，但左右两个托盘中砝码数量已变化．谈重点等式的性质等式的性质是等式变形的基础，是解决等式问题的依据，也是解方程的理论依据和基础．【例5】填空：(1)在等式－5x＝5y的两边都__________，得x＝－y；(2)在等式－eq\f(1,3)x＝4的两边都__________，得x＝__________；(3)如果－eq\f(1,4)x＝－2y，那么x＝__________，是等式两边都__________得到的．解析：根据等式的性质2回答．答案：(1)除以－5(2)乘以－3或除以－eq\f(1,3)－12(3)8y乘以－4或除以－eq\f(1,4)6．方程解的验证方法能使方程中等号左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以要检验某个值是不是方程的解，就是把这个数代入方程的左右两边，看等号两边的值是否相等．方程的解对于不同的方程，解的情况也不一样，只要能使方程左右两边相等的所有未知数的值都是方程的解．【例6】检验下列数值哪些是方程x2＋2x＝3x的解．(1)x＝－1；(2)x＝0；(3)x＝1；(4)x＝2.分析：把(1)x＝－1，(2)x＝0，(3)x＝1，(4)x＝2分别代入原方程中，计算观察看左右两边的值是否相等．解：(1)把x＝－1代入方程，左边＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，右边＝3×(－1)＝－3，左边≠右边，所以x＝－1不是原方程的解；(2)把x＝0代入方程，左边＝02＋2×0＝0，右边＝3×0＝0，左边＝右边，所以x＝0是原方程的解；同样可得，x＝1是方程的解，x＝2不是方程的解．7.运用等式的性质解方程方程也是等式，所以等式的性质也可以应用于方程中的变形，根据等式的性质1,2可以将一个方程，经过变形最后化成x＝a(a是常数)的形式，这个过程就是运用等式的性质解方程的过程；如：求方程－eq\f(1,3)x－5＝4的解，可以根据等式的性质1，左右两边都加5(或减－5)，可以得到－eq\f(1,3)x＝9，再根据等式的性质2，左右两边同时乘以－3eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(或除以－\f(1,3)))式子变为x＝－27，由此可以求出方程的解为x＝－27.谈重点等式性质的重要性等式的性质不仅是等式变形的依据也是解方程的理论依据和基础，随着进一步的学习，等式性质在解方程中应用更多，也不断变化．【例7】用等式的性质解下列方程：(1)x＋7＝26；(2)－5x＝20；(3)－eq\f(1,3)x－5＝4；(4)6x＝4x－3.分析：运用等式的性质1，通过加减可以将方程左边的常数项消掉，运用等式的性质2，可以将方程化为x＝a的形式，解出方程．解：(1)把方程两边都减7，得x＋7－7＝26－7，∴x＝19.(2)方程两边除以－5，得－5x÷(－5)＝20÷(－5)，∴x＝－4.(3)方程两边都加5，得－eq\f(1,3)x－5＋5＝4＋5，化简，得－eq\f(1,3)x＝9，两边都乘以－3，得－eq\f(1,3)x×(－3)＝9×(－3)，∴x＝－27.(4)方程两边都加－4x，得6x－4x＝4x－3－4x，化简，得2x＝－3，两边都除以2，得2x÷2＝－3÷2，∴x＝－eq\f(3,2).8.一元一次方程概念的应用分类一元一次方程是最简单的方程，它只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式．对于它的概念的理解和应用主要有两类：(1)判定一个方程是否是一元一次方程，一般给出一些方程，判断或选择其中的一元一次方程．(2)根据一元一次方程的特点，判断方程中未知指数或未知系数的值的情况，如：已知2xm－1＋5＝0是一元一次方程，求m的值等．解技巧解决方程的有关概念问题的方法技巧第(1)类题目应抓住方程特点：次数是1次，且只有一个未知数来判定；第(2)类题目首先在是一元一次方程的前提下，根据一元一次方程特定的特点，得出未知指数为1，同时所有次数不是1的项不存在，即系数为0，同时要注意次数为1的未知数的系数和不能为0.【例8－1】下列方程中是一元一次方程的是()．A．x＋3＝y＋2 B．x＋3＝3－xC.eq\f(1,x)＝1 D．x2＝1解析：A中含有两个未知数，C不是整式方程，D中未知数的次数不是1，只有B是，故选B.答案：B【例8－2】填空：(1)xk＋1＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；(2)2x|k|＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；(3)(k＋1)x|k|＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；(4)(k＋2)x2＋kx＋21＝0是一元一次方程，则k＝__________.解析：(1)因为方程是一元一次方程，所以未知数x的次数只能是1，即k＋1＝1，所以k＝0.(2)因为方程是一元一次方程，所以未知数x的次数是1，所以|k|＝1，所以k＝±1.(3)方程是一元一次方程，既要满足|k|＝1，又要满足k＋1≠0，所以k＝1.(4)因为方程是一元一次方程，而(k＋2)x2这项次数是2，所以不能存在，系数为0，即k＋2＝0，所以k＝－2.答案：(1)0(2)±1(3)1(4)－29．等式性质运用拓展等式除了我们所学的2个性质以外，还有一些常用的性质：等式的传递性，有时称作等量代换：如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这个性质在几何的证明中经常使用；等式的对称性：如果－5＝x，那么x＝－5，这在解方程或等式变形中也常用，可起到简化计算过程的作用．如：解方程5＝3x－1时，我们可以将方程左右两边同时加1，得6＝3x，两边同除以3，得2＝x，即x＝2.因为等式的性质有很多，因而有时把所学的两个性质称为等式的基本性质，这些性质共同构成了等式变形的基础，并渗透在等式的各个变化过程中，互相结合，应用也很广泛．【例9－1】下列变形正确的是()．A．若x＝y，则x－a＝y＋a B．若－x＝eq\f(3,4)，x＝y，则y＝－eq\f(3,4)C．若ac2＝bc2，则a＝b D．若x＝y，则eq\f(x,a＋2)＝eq\f(y,a＋2)解析：A错误，两边所加的数不等，C、D分别是两边同时除以c2和a＋2，但c2和a＋2可能等于0，因而不正确，只有B正确，故选B.答案：B【例9－2】判断：(1)若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，则eq\f(a,c2)＝eq\f(b,c2)()；(2)若x＝y，则eq\f(x,a)＝eq\f(y,a)()．解析：(1)正确，因为既然式子成立，c≠0，所以同时除以c，等式仍然成立；(2)不正确，等式两边同时除以a，a可以是0，所以等式不一定成立．答案：(1)√(2)×10.用等式表示数量关系(1)广泛性：用等式表示数量关系在数学中应用很广泛，像所有的公式，如：s＝vt；S＝πr2等；有些法则也可以用等式表示，如加法交换律：a＋b＝b＋a；分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.(2)作用：运用等式表示数量关系从数学的角度反映了各量之间的关系及变化，并且能运用等式的性质通过等式变形的方法或解方程的形式，在已知某些数据的情况下，求出未知数据，从而更快、更准确地解决实际问题．(3)实质：大多都是用两种不同的方法表示同一个量，或相等的量，往往与多多少、少多少、几倍、增加、减少等紧密联系．【例10】列等式表示下列关系：(1)比x的一半少3的数是y的eq\f(2,3).(2)比a的3倍大2的数等于a的4倍．(3)两个数的和与这两数的差的积等于这两数的平方差．(4)一种商品原价a元，按八折(即原价的80%)出售的售价是b元．分析：分析各数量之间的关系，用含字母的式子表示各量，再根据它们之间的和、差、倍、分或相等关系列出等式．解：(1)eq\f(1,2)x－3＝eq\f(2,3)y；(2)3a＋2＝4a；(3)设这两个数分别为a，b，那么(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(4)80%a＝b.3.1从算式到方程(1)◆课堂测控知识点一一元一次方程定义1．若4xm－1－2=0是一元一次方程，则m=______．2．某正方形的边长为8cm，某长方形的宽为4cm，且正方形与长方形面积相等，则长方形长为______cm．3．已知（2m－3）x2－（2－3m）x=1是关于x的一元一次方程，则m=______．4．下列方程中是一元一次方程的是（）A．3x+2y=5B．y2－6y+5=0C．x－3=D．4x－3=0知识点二设未知数列方程5．（设比例份数为未知数）已知长方形的长与宽之比为2：1周长为20cm，设宽为xcm，得方程：________．6．（用某些公式寻找相等关系）利润问题：利润率=．如某产品进价是400元，标价为600元，销售利润为5%，设该商品x折销售，得方程（）－400=5%×400．7．（用不同式子表示同一个量，列方程）某班外出军训，若每间房住6人，还有两间没人住，若每间住4人，恰好少了两间宿舍，设房间为x，两个式子分别为（x－2）6人，（x+2）4，得方程_______．8．（利用总量等于分量之和，寻找等量关系）某农户2006年种植稻谷x亩，2007年比2006增加10%，2008年比2006年减少5%，三年共种植稻谷120亩，得方程_______．◆课后测控9．一个两位数，十位上数字为a，个位数字比a大2，且十位上数与个位上数和为6，列方程为______．10．某幼儿园买中、小型椅子共50把，中型椅子每把8元，小型椅子每把4元，买50把中型、小型椅子共花288元，问中、小型椅子各买了多少把？若设中型椅子买了x把，则可列方程为______．11．中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%，某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除5%的利息税）．设到期后银行向储户支付现金x元，则所列方程正确的是（）A．x－5000=5000×3.06%B．x+5000×5%=5000×（1+3.06%）C．x+5000×3.06%×5%=5000×（1+3.06%）D．x+5000×3.06%×5%=5000×3.06%12．足球比赛的计分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队共打了14场比赛，负了5场，得19分，设该队共平x场，则得方程（）A．3x+9－x=19B．2（9－x）+x=19C．x（9－x）=19D．3（9－x）+x=1913．（原创题）已知方程（m－2）x|m|－1+3=m－5是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．◆拓展测控14．小明爸爸把家里的空啤酒瓶让小明去换饮料，现有40个空啤酒瓶，1个空啤酒瓶回收是0.5元，一瓶饮料是2元，4个饮料瓶可换一瓶饮料，问小明可换回多少瓶饮料？答案:课堂测控1．22．163．（点拨：2m－3=0，∴m=）4．D[总结反思]理解一元一次方程的定义（1）含一个未知数，并且未知数指数是一次，（2）是否关于未知数的整式方程．像+2=0不是一元一次方程．5．2（2x+x）=206．进价，600x7．6（x－2）=4（x+2）8．x+（10%+1）x+（1－5%）x=120[总结反思]过程设未知数，用已知数，未知数表示代数式，寻找等量关系．课后测控9．a+a+2=610．8x+4（50－x）=28811．C12．D13．解：原方程整理，得（m－2）x|m|－1+3+5－m=0│m│－1=1，且m－2≠0，m≠2由│m│=0，得m=±2即m=－2[解题技巧]这里x的次数是1，且系数m－2≠0．拓展测控14．解：方法一：40瓶啤酒瓶可换回钱为40×0.5=20元，用20元钱可换回饮料10瓶，10个空瓶又可换回2瓶饮料，加余下2瓶，共4个空瓶又可换回一瓶饮料．10+2+1=13瓶……余一个空瓶方法二：设能换回x瓶饮料则=x，x=3，只能换3瓶，共13瓶．2.1从算式到方程一、训练平台（1～5小题每题4分，6小题20分，共40分）1．一批电脑按原价的85%出售，每台售价为y元，则这批电脑的原价为（）A．y元B．y元C．y元D．y元2．礼堂第一排有a个座位，后面每排比前一排多一个座位，则第n排座位的个数是（）A．n+1B．a+（n-1）C．a+nD．a+（n+1）3．已知2是关于x的方程x2-2a=0的一个解，则2a-1的值是（）A．3B．4C．5D．64．小程买80分邮票和1元邮票共花了16元，已知所买的一元邮票比80分邮票少2枚，设买了80分邮票x枚，则依题意得到的方程是（）A．0.8x+（x-2）=16B．0.8x+（x+2）=16C．80x+（x-2）=16D．80x+（x+2）=165．如图所示的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则这三个数之和为________．（用含a的代数式表示）6．用等式性质求x:（1）x-6=30（2）x+2=5（3）4x=2x+6（4）8x-4=4二、提高训练（1～3小题每题4分，4小题16分，5小题10分，共38分）1．一批运动服原价每套x元，若按原价的