【模块1】（数与式）学生版

模块一数与式

第一讲实数

知识梳理夯实基础

知识点1：实数的分类

正整数

整数零无理数的几种常见形式

有理数负整数(1)开方开不尽的数的方根,如7，32，12等;

实数正分数(2)π及化简后含π的数;

分数有限小数或无限循环小数

负分数(3)构造型的数,如0.1010010001…(相邻两个1

正无理数之间依次多一个0)等;

无理数无限不循环小数(4)某些三角函数值,如sin60°,cos45°等.

负无理数

正实数

实数零

负实数

知识点2：实数的相关概念

1、数轴

（1）数轴的三要素:原点、和。例：

（2）实数和数轴上的点。

2、相反数

（1）定义：只有不同的两个数互为相反数。

（2）a的相反数是，特殊地，0的相反数是。

（3）实数a，b互为相反数ab0。

（4）互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离。

3、绝对值

（1）定义：在数轴上，表示数a的点到的距离，叫做数a的绝对值，记作a。

a0

若a0，则a

（2）aa0或

若a0，则a

a0

4、倒数

（1）定义：如果两个实数的乘积为，那么这两个实数互为倒数。

（2）实数a，b互为倒数ab1。

（3）非零实数a的倒数为，0没有倒数，倒数等于它本身的数是。

知识点3：科学计数法

科学记数法的表示形式为，其中1a10，n为整数。

用科学记数法表示绝对值较大的数：当原数的绝对值大于等于10时，n等于原数的整数位数

减去1；

用科学记数法表示绝对值较小的数：当原数的绝对值小于1时，n是一个负整数，它的绝对值

等于原数左起第一个非零数字前面零的个数(含整数位上的零)。

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温馨提示：

将含有计数（量）单位的数字用科学记数法表示时,应先把计数单位转化为数字，

把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示。常考的计数单位

有：1千=103，1万=104，1亿=108；常考的计量单位有：1mm=10-3m，1m106m，

1nm109m等。

知识点4：近似数

1、定义：一个与很接近的数叫做近似数。

2、精确度：一般由“四舍五入”法取近似数，“四舍五入”到哪一位,就说这个近似数精确到

哪一位。

知识点5：平方根、算术平方根与立方根

名称定义性质

一般地,如果一个数的

一个正数a的平方根有两个，它们互

平方等于aa0，那么

平方根为；0的平方根是0；负数没有平

这个数就叫做a的平方方根。

根。

算术平当a0时,是有意义的，一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术

方根它表示a的算术平方根.平方根是，即0=。

一般地，如果一个数的正数的立方根是一个正数；负数的立方根是

立方根立方等于a，那么这个数一个负数；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做a的立方根.性。

易失分点a的“双重非负性”

a具有双重非负性:①被开方数a必须是非负数,即a≥0;②a是非负数,即a≥0。

知识点6：实数的运算

1、加、减、乘、除、乘法的运算法则

（1）加法法则：

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝

对值，互为相反数的两数相加和为零；

一个数与零相加，仍得这个数。

（2）减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数与0相乘仍得0。

（4）除法法则：

除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。

（5）几种常见的运算：

乘方：anaa…a（n个a相乘）

第2页共23页.

零次幂：任何非零数的零次幂都为1，即a01a0

-1的奇、偶次幂：-1的偶次幂为1，奇次幂为-1。

负整数指数幂：任何不为零的数的-p(p为正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数；特别地，一个

11

不为零的数的-1次幂是其倒数。即ap（a0，p为正整数），a1a0

apa

2、运算律：

(1)加法运算律

加法交换律:abba；

加法结合律:abcabc。

(2)乘法运算律

乘法交换律:abba；

乘法结合律:abcabc；

分配律:abcabac。

3、实数的混合运算顺序

(1)计算每一小项的值(如零次幂、负整数指数幂、开方、绝对值、乘方等)；

(2)根据原式中的运算符号进行实数的混合运算(先乘除，后加减，有括号的先算括号内的，同级运

算按照从左到右的顺序进行)；

(3)写出算式的结果。

知识点7：实数的大小比较

数轴法将两个数表示在同一数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大。

正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的

类别法

反而小。

设，是两个任意实数，则；；

差值法abab0abab0ab

ab0ab

平方法若ab≥0，则ab(用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较).

a

作商法1⇔若b>0，则a>b；若b<0，则a<b.

b

估算法对任意两个正实数a，b，先估算出a，b两数的范围，再进行比较.

把要比较的两个数进行适当放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较

放缩法

两个实数大小的目的.

直击中考胜券在握

31

1．实数tan45°，，0，5，，3，sin60°，0．3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中

3

无理数的个数是（8）9

A．4B．3C．2D．1

2．（2021·山东·胶州市初级实验中学一模）38的相反数（）

1

A．B．2C．2D．

22

第3页共23页.

3．（2021·广东·珠海市文园中学三模）实数-3的绝对值是（）

1

A．3B．3C．3D．

3

4．（2019·山东·宁津县育新中学七年级阶段练习）下列说法①﹣5的绝对值是5；②﹣1的相反数是1；③0的

1

倒数是0；④64的立方根是±4，⑤是无理数，⑥4的算术平方根是2，其中正确的个数为（）

3

A．2B．3C．4D．5

5．（2022·全国·九年级专题练习）下列各数：4，2.8，0，4，其中比3小的数是（）

A．4B．4C．0D．2.8

27

6．（2020·陕西·一模）﹣的立方根是（）

64

3349

A．﹣B．C．﹣D．

48916

7．（2021·四川凉山·中考真题）81的平方根是（）

A．3B．3C．9D．9

8．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果ab0，那么下列结论

正确的是（）

a

A．acB．ac0C．abc0D．1

b

9．下面不等式正确的是（）

2313

A．B．C．(8)2(7)2D．0.911.1

34611

10．（2019·天津滨海新·中考模拟）若a30，b6，c365则下列关系正确的为()

A．abcB．cbaC．bacD．bca

11．（2019·福建南安·中考模拟）已知m2＝4+23，则以下对|m|的估算正确的（）

A．2＜|m|＜3B．3＜|m|＜4C．4＜|m|＜5D．5＜|m|＜6

12．设a为最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，d是倒数等于自身的有理数，则a-b+c-d

的值为（）

A．1B．3C．1或3D．2或-1

13．（2020滨州中考）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0109米，若用科学记数法表示110纳

米，则正确的结果是（）

A．1.1109米B．1.1108米C．1.1107米D．1.1106米

14．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记

数法表示为（）

A．218106B．21.8107C．2.18108D．0.218109

15．（2021·江苏仪征·八年级期中）下列说法正确的是（）

A．近似数4.80精确到十分位

第4页共23页.

B．近似数5000万精确到个位

C．近似数4.51万精确到0.01

D．1.15×104精确到百位

2511

16．（2021·山东胶州·八年级期中）比较大小：___．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

33

17．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是12

的整数部分，f是5的小数部分，则代数式abcdef的值是___．

18．（2021·全国·八年级专题练习）在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别

是5和1，则点B对应的实数为__．

19．（2021·四川广元·中考真题）如图，实数5，15，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原

点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．

20．（2021·江苏溧阳·七年级期中）数轴上有两个实数a,b，且a>0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，-a，-b的大

小关系为____（用“＜”号连接）．

21．（2021·丽水中考）计算：|2021|(3)04．

2021

22．（2021·金华）计算：1+84sin45+2．

2

01

23．（2021·全国·九年级专题练习）计算：|12|2sin45(3.14)．

2

11

24．（2019·四川达州·中考真题）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为1，

1a12

11

1的差倒数，已知a5，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数…，依此类推，a2019的

1(1)21213243

值是（）

144

A．5B．C．D．

435

第5页共23页.

25．观察下列等式：

211

第一个等式：a；

113222221221

211

第二个等式：a；

213222(22)2221231

211

第三个等式：a；

313232(23)2231241

211

第四个等式：a；

413242(24)2241251

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：a6==；

（2）用含n的代数式表示第n个等式：an==；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最简结果）；

（4）计算：a1+a2+…+an．

模块一数与式

第二讲整式与因式分解

知识梳理夯实基础

知识点1：整式的相关概念

1、单项式：

用数字或字母的表示的代数式叫做单项式。单独一个数字或字母也是单项式。

(1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的。

(2)一个单项式中，所有字母指数的叫做这个单项式的次数。

2、多项式：

几个单项式的叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫

做。

一个多项式含有几项，这个多项式就是几项式，多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项

式的次数。

单项式与多项式统称为整式。

知识点2：整式的运算

1.加减运算

(1)整式加减运算的实质是、合并同类项。

(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同

类项。

第6页共23页.

合并同类项的法则:同类项的系数相加，字母和字母的不变。

去括号法则:

如果括号前面是“+”，去括号时括号内的各项都不改变符号；

如果括号前面是“-”，去括号时括号内的各项都改变符号。

添括号法则:

所添括号前面是“+”,括到括号内的各项都不改变符号；

所添括号前面是“-”，括到括号内的各项都改变符号。

2、重要公式：

常用变形：

222

完全平方公式：abab2ab222222

aba+b2aba+bab+2ab

22

平方差公式：ababab2222

a+b=ab+4abab=ab4ab

3、幂的运算

性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。amanamn（m，n为正整数）

nm

性质2、幂的乘方，底数不变，指数相乘。amamnan（m，n为正整数）

n

性质3、积的乘方等于各因式乘方的积。abanbn（m，n为正整数）

性质4、同底数幂相除,底数不变,指数相减。amanamn（a0，mn）

4、乘法运算

单项式与单项单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个

式的乘法法则单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个。

单项式与多项单项式与多项式相乘，用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积

式的乘法法则相加，如m(a+b+c)=。

多项式与多项多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的

式的乘法法则每一项，再把所得的积，如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

知识点3：代数式及其求值

用加、减、乘、除及乘方等运算符号把连接而成的式子，叫做代数式。

代数式求值：

①直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值。

②化简后求值：先对所求代数式进行去括号、合并同类项等化简，在把已知字母的值带入化简后的

代数式计算求值。

③整体代入法：先观察已知条件和所求代数式的关系，再将所求代数式变形(一般会用到提公因式、

平方差公式、完全平方公式)，最后把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值。

知识点4：因式分解

1、定义：把一个多项式化为几个整式的的形式，叫做因式分解。

2、方法

(1)提公因式法

(2)公式法

3.因式分解的步骤（注意：因式分解一定要分解到底）

(1)多项式为两项或三项时，步骤如下:

第7页共23页.

十字相乘法：

头尾分解，交叉相

乘，求和凑中，观

察实验。

(2)多项式为四项及以上时，通常需先分组，分组后再利用提公因式法或公式法进行分解。

直击中考胜券在握

ab2c3

1．单项式的系数和次数分别是（）

3

1

A．-1和5B．和6C．-和5D．-和6

333

2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级阶段练习）下列运算正确的是（）

A．a-3•a2＝a5B．（x3）3＝x6

C．x5+x5＝x10D．（﹣a2b）5＝﹣a10b5

1

3．（2022·浙江·九年级专题练习）计算(mn3)2n2的结果是（）

2

111

A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4

444

4．（2021·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（）

3

A．2x23x35x5B．2x6x3

2

C．xyx2y2D．3x223x49x2

5．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级阶段练习）下列运算中，正确的是（）

343

A．a3a2a6B．a2a5a10C．2a316a12D．ab2a3b6

6．（甘肃省天水市秦安县古城农业中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题）如图，将图1中阴影部分无

重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是()

A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab

7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下

列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）

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A．12(m1)B．4m8(m2)C．12(m2)8D．12m16

8．（2021·山西襄汾·八年级期中）若2021m5，2021n8，则20212mn（）

258

A．B．2C．3D．

825

9．（2021·山东惠民·八年级阶段练习）下列计算中错误的是（）

A．(ab)(ba)a2b2B．(ab)(ab)a2b2

C．(ab)(ba)a22abb2D．(ab)2(ab)24ab

1

10．（2021·上海松江·七年级期中）已知xy2，xy，那么x3y3x2y2xy3的值为（）

2

1313

A．3B．6C．D．

24

2

11．如果m2m5，那么代数式mm2m2的值为（）

A．-6B．-1C．9D．14

12．（2021·辽宁铁西·八年级期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（）

A．2B．5C．20D．9

13．（2021·黑龙江佳木斯·八年级期末）已知4x2mxy9y2是完全平方式，则m的值为（）

A．6B．6C．12D．12

14．（2021·湖北天门·八年级阶段练习）下列因式分解正确的是（）

A．2a24aa(2a4)B．9x24y2(9x4y)(9x4y)

C．x2x2x(x1)2D．m26m9(m3)2

22021

15．（2021·广西福绵·七年级期中）若单项式2xmy和xyn3是同类项，则mn的值为（）

3

A．-1B．1C．32021D．32021

16．如图,是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形,则该图形的面积为()

2222

21mnmmmnmn

A．mmnB．C．D．

2222

17．（江西省宜春市丰城市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题）在长方形ABCD内，将两张边长分别为

a和b(a＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未

被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当

AD－AB＝2时，S2－S1的值为()

A．2a－2B．－2bC．2aD．2b

第9页共23页.

a2bc3xy37

18．（2021·全国·七年级课时练习）在下列各式①，②0，③，④，⑤sr2，⑥，⑦b24ac，

53x5

1

⑧m，⑨1中，其中单项式是_______，多项式是_______，整式是_______．（填序号）

a

19．（2021·河南伊川·七年级期中）按照如图所示的计算程序，若x2，则输出的结果是________．

2022

120210

20．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学八年级期中）计算77_______．

7

21．（2022·全国·九年级专题练习）已知xy2,x3y3，则2x3y12x2y218xy3_________．

22．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校七年级期中）若m2n1，则3m26mn6n的值为______．

23．（山东省青岛市崂山区第三中学2020-2021学年七年级下学期期初考试数学试题）如图，某广场地面的图案

是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个

正方形组成……那么第n个黑色L形的正方形个数是____________．

24．（2020年贵州省铜仁市中考数学试题）观察下列等式：

2+22=23﹣2；

2+22+23=24﹣2；

2+22+23+24=25﹣2；

2+22+23+24+25=26﹣2；

…

已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则

220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．

25．（2021·浙江·中考真题）计算：xx21x1x．

第10页共23页.

2

26．（2021·湖南衡阳·中考真题）计算：x2yx2yx2yxx4y．

27．（2021·湖北郧西·八年级期中）先化简，再求值：(2x1)(2x1)(2x3)2，其中x1．

211

28．先化简，再求值：2x3y2xy2xy2y其中x,y

56

2

29．（2021·北京·中考真题）已知a22b210，求代数式abb2ab的值．

30.将下列多项式进行因式分解：

（1）4x324x2y36xy2；

2

（2）xy494y．

31．（2019·广西河池·中考真题）分解因式：(x1)22(x5)．

32．因式分解：9(x2y)24(xy)2

33．因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．

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34．（2021·全国·八年级专题练习）将下列各式分解因式：

（1）6y219y15；（2）14x23x27

35.因式分解：（1）m24n24n1．（2）x24y2x2y．

36．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些相关的代数等式，这些等式可

用于代数式的证明或求一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为abc的正方形，若把这个大正方形的

面积直接用边长表示，其面积是________；若把这个大正方形的面积用分割成的小正方形或小矩形的面积表示

时，其面积是________；无论怎样表示，面积不变，所以，可得等式是________；并用多项式的乘法公式说明

该等式成立；

（2）已知三个数a，b，c满足a2b2c252，abbcca24，利用（1）中发现的结论可直接写出

(abc)2________；

（3）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，

若两正方形的边长满足ab10，ab20，请求出阴影部分的面积．

37．已知（10x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（3x﹣23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整

数，求a+b+c的值．

第12页共23页.

模块一数与式

第三讲分式

知识梳理夯实基础

知识点1：分式的概念

A

一般地,如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母,那么式子叫做分式，其中A叫做分式的

B

分子，叫做分式的分母。

B注意

A1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为

（1）分式有意义的条件:分母不为零，即B0

B被除式，分母为除式，分数线起除号和括号

的作用。

A

（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。即2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

B字母，但分母中必须含有字母，这是区别分

（A0且B0）式和整式的重要依据。

3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，

知识点2：分式的基本性质否则分式无意义。

分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）

AACAAC

同一个不等于0的整式，分式的值不变。,（C0），其中A、B、C是整式。

BBCBBC

利用分式的基本性质可以进行约分、通分。

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的约去，叫做分式的约分，约分通常

是把分式化成最简分式或整式。

利用分式的基本性质，把异分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符号法则：改变分子、分母及整个分式三者中任意两个的符号，分式的值不变，即

AAAA

BBBB

知识点3：分式的运算

1、分式的运算法则

acac

分式乘法分子的积作积的，用分母的积作积的分母

bdbd

acadad

分式除法将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分别()n

bbn

abab

同分母分式加减分母不变,分子

ccc

acadbcadbc

异分母分式加减先，变为同分母的分式后再相加减。

bdbdbdbd

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分式的混合运算：

分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；有括号的先算括号，有乘

方的先算乘方；先乘除后加减。异分母相加减，先通分，化为同分母，再加减。

a35

例：a2

a22aa2分式化简中的误区

a3a2a251.注意分式混合运算顺序

aa2a2a22.分式化简不同于解分式方程,化简过程中不能去分

a3a29母.

aa2a23.分数线有除号和括号两重作用,同分母分式相加减

a3a2

(分子是多项式),分子应整体加括号.

aa2a3a34.分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然

1

后按分式四则运算法则计算。

aa3

2、分式化简求值的一般步骤

(1)按运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式；

(2)代入求值(代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义)。

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12xy3a2b3c6x

1．（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）在式子，，，，y中，分式的个数是（）

a43x2

A．2B．3C．4D．5

1

2．（2021·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，x的取值应满足（）

x2

A．x0B．x2C．x2D．x2

3．（2021·山东昌乐·八年级期中）当x1时，下列分式没有意义的是（）

x1xx1x

A．B．C．D．

xx1xx1

11

4．（2021·山东临沂·中考真题）计算(a)(b)的结果是（）

ba

aabb

A．B．C．D．

bbaa

x0

5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

x1

A．x–1B．x1且x0C．x1且x0D．x0

ba

6．（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数a、b满足ab0，则等于（）

ab

A．2B．1C．1D．2

3x227

7．（2021·全国·八年级课时练习）当x＝﹣2时，分式的值是（）

96xx2

A．﹣15B．﹣3C．3D．15

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x29

8．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）分式值为0的条件是x的值为（）

x3

A．3B．3C．3D．0

9．（2021·山东寒亭·八年级期中）下列变形正确的是（）

aabaa

A．B．

bb2bcbc

a22a1a1xx2

C．D．

a21a1yy2

x2x3xy2y

10．（2021·山东寒亭·八年级期中）已知y，则（）

12xyxyx

17

A．B．-7C．D．-5

33

yyxxyyaa

11．（2021·全国·八年级课时练习）下列式子中①；②；③；④中，

xxyxyxxxbb

正确的有（）．

A．①②③④B．①③④C．①②③D．只有④

nmm2n2

12．（2021·四川南充·中考真题）若3，则_________

nmn2m2

a1

13．（2020·全国·八年级课时练习）计算：1________．

1aa2a

28

14．（2021·四川自贡·中考真题）化简：_________．

a2a24

x3x1x9

15．（2021·全国·八年级课时练习）当x20213时，代数式()的值是____．

x23xx26x9x