第02讲 整式与因式分解课件2025年中考数学复习

第一章

数与式

第02讲整式与因式分解4大考点精讲+专训2大中考命题点+14大题型探究01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求列代数式代数式求值整式的加减幂的运算整式的乘除整式的混合运算★★★★★★★★★★★★能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示将具体数代入代数式进行计算能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).1.了解整数指数罪的意义和基本性质；2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；3.能进行简单的整式加减乘除运算；4.理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；5.灵活运用多种方法化简代数式.【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底.因式分解★★★02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究整式的运算考点三因式分解考点四

整式的相关概念考点二代数式考点一代数式1.列代数式把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.代数式考点一定义代数式的书写要求4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.2.代数式的值代数式考点一根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.定义求代数式的值的步骤将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.1）代入2）计算针对练习代数式考点一

C

方法指导对求值式子进行变形，并将已知条件转化进行整体代值

解：

针对练习代数式考点一3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为

公里．（用含x的代数式表示）

220针对练习代数式考点一

03考点突破·考法探究整式的运算考点三因式分解考点四整式的相关概念考点二代数式考点一整式的相关概念单项式的次数单项式的系数1.

单项式整式的相关概念考点二由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.例：单项式的定义圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；单项式中的数字因数叫做单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.注意注意单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.∴次数不是14.

2＋3＋4=9

9次数：多项式的项定义在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.2.多项式整式的相关概念考点二多项式的定义几个单项式的和叫做多项式单项式与多项式统称为整式.1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式如3x²+x+7是二次三项式.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．3.整式多项式的次数一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数注意升幂排列与降幂排列整式的相关概念考点二针对练习

3

1024

针对练习整式的相关概念考点二

452解

析03考点突破·考法探究整式的运算考点三因式分解考点四整式的相关概念考点二代数式考点一整式的运算1.同类项整式的运算考点三相同字母的指数也相同定义所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.判断同类项的标准所含字母相同缺一不可.1）2）2.合并同类项定义把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项法则同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.一相加两不变3.去括号与添括号整式的运算考点三添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.4.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；5.幂的运算整式的运算考点三其中“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．即4）同底数幂的除法：底数不变，指数相减，任何不等于0的数的0次幂都等于1，（a≠0）.

幂的运算法则中底数a的规定（m，n都是整数）即即（m，n都是整数）3）积的乘方：把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘（n为整数）即（a≠0，m，n都为整数）5）零指数幂：即例如：注意底数a可以是单项式，也可以是多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，6.整式的乘除整式的运算考点三多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．.单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.实质乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.单项式乘多项式运算法则：1）2）3）多项式乘多项式运算法则：实质利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式即即①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．6.整式的乘除整式的运算考点三4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.5）多项式除以单项式运算法则：实质把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.b7.乘法公式整式的运算考点三1）【平方差公式】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式即等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.特点等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右侧涂色部分的面积为所以可以得到.2）【平方差公式的推导】①用多项式的乘法推导平方差公式②通过面积法推导平方差公式：a涂色部分的面积7.乘法公式整式的运算考点三【补充】常见验证平方差公式的几何图形baa+ba-b图1ba图2baba图3图47.乘法公式整式的运算考点三3）【完全平方公式】完全平方公式两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍即特点右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.左边是两数的和（或差）的平方口诀首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：

②③④⑤①②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为4）【平方差公式的推导】7.乘法公式整式的运算考点三①用多项式的乘法推导完全平方公式：②通过面积法推导完全平方公式：它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即.8.整式的混合运算整式的运算考点三先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.定义运算顺序含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算整式的运算考点三针对练习

D

A整式的运算考点三针对练习

解析：依题意这个多项式为

故答案为：

整式的运算考点三针对练习03考点突破·考法探究整式的运算考点三因式分解考点四整式的相关概念考点二代数式考点一因式分解1.因式分解因式分解考点四1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.补充说明2.公因式因式分解考点四准确找出多项式各项的公因式.公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.定义多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.注意3.提公因式法分解因式如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法即：定义实质：关键：乘法分配律的逆用.4.公因式法分解因式因式分解考点四定义运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步骤：观察是否有公因式公因式提取有观察多项式观察剩余项平方差公式完全平方公式检查每个多项式是否都分解彻底没有三项两项一提二套三检查针对练习因式分解考点四

B

通过因式分解，得到乘积的形式，找到能被整除的数或式

B针对练习因式分解考点四

204题型精研·考向洞悉实际问题中的代数式题型01实数的基础命题点一求代数式的值题型02整式的加减题型03幂的混合运算题型04整式的乘除题型05乘法公式的应用题型06整式的化简求值题型07整式的混合运算题型08判断因式分解的正误题型09因式分解题型10因式分解的应用题型11命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式方法指导代数式的书写要求4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式

用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量再根据要求列出代数式是解题关键方法指导命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式【例1】（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝

；甲棋盒乙棋盒原来现在10810-a8+a列表【解析】

（1）命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式

甲棋盒乙棋盒原来现在列表1【解析】（2）m2mm-a2m+a第一次变化后，乙比甲多

命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式

甲棋盒乙棋盒原来第一次拿第二次拿列表2【解析】（2）m黑2m白m黑-a黑2m白+a黑

m黑-a黑+a混合2m白+a黑-a混合

命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式【变式】（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？

这是一题代数式与方程结合体；用代数式表示相关量，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键方法指导

命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式

C

命题点一整式及其相关计算题型02求代数式的值.求代数式的值的步骤：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；代入按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的计算命题点一整式及其相关计算题型02求代数式的值.【解析】

方法指导

命题点一整式及其相关计算题型02求代数式的值.

通过因式分解，得到乘积的形式，整体代值

通过等式变形，得到a²+1与2b的关系，代数式化简得出代数式的值命题点一整式及其相关计算题型03整式的加减

命题点一整式及其相关计算题型03整式的加减

作差比较法命题点一整式及其相关计算题型03整式的加减

DD理解同类项定义和合并法则命题点一整式及其相关计算题型03整式的加减3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

D日历中的数字规律是解题关键：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，方法指导

【解析】命题点一整式及其相关计算题型04幂的混合运算计算时可能用到以下公式：1）2）3）4）5）同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算.注意命题点一整式及其相关计算题型04幂的混合运算

【解析】C

解题的关键：熟练掌握整式乘除的各类运算法则方法指导

命题点一整式及其相关计算题型04幂的混合运算

A

命题点一整式及其相关计算题型05整式的乘除类型法则例样单项式×单项式单项式×多项式多项式×多项式单项式÷单项式多项式÷单项式方法技巧系数相乘，字母相乘利用乘法分配律，化为单项式×单项式1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定.2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项.运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号.1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项；2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化.命题点一整式及其相关计算题型05整式的乘除

【解析】B

本题考查整式的运算，根据法则计算逐一排查

命题点一整式及其相关计算题型05整式的乘除解题的关键：掌握整式的混合计算的运算顺序，分式的混合计算关键是通分和约分∶（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．方法指导

命题点一整式及其相关计算题型05整式的乘除

C

命题点一整式及其相关计算题型06乘法公式的应用【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D方法指导解题的关键：恒等式等号左右两边的代数式表示用两种不同的方法表示同一个图形的面积．

D命题点一整式及其相关计算题型06乘法公式的应用

方法指导解题的关键：正确应用乘法公式化简运算。完全平方公式平方差公式命题点一整式及其相关计算题型06乘法公式的应用

【解析】

命题点一整式及其相关计算题型07整式的化简求值整体代入法/间接代入法求值从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值.【整体代入法】【间接代入法】【赋值法】命题点一整式及其相关计算题型07整式的化简求值

2028．方法指导解题的关键：利用一元二次方程的解满足方程以及根与系数关系求得：𝑎²+2024𝑎=4，𝑎+𝑏=−2024命题点一整式及其相关计算题型07整式的化简求值【变式】

2023方法指导解题的关键：利用等式变形得到相关代数式，再整体代入进行降次

命题点一整式及其相关计算题型07整式的化简求值

1

2

分式约分运算等式变形命题点一整式及其相关计算题型08整式的混合运算

方法指导解题的关键：熟记特殊角的三角函数值、平方差公式

命题点一整式及其相关计算题型08整式的混合运算

命题点一整式及其相关计算题型08整式的混合运算

以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．命题点一整式及其相关计算题型09判断因式分解的正误

C

解：

命题点一整式及其相关计算题型09判断因式分解的正误方法指导解题的关键：结合多项式的特征，灵活选用合适的分解因式方法;熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法A

解：

命题点一整式及其相关计算题型09判断因式分解的正误

CCA命题点一整式及其相关计算题型10因式分解

方法指导解题的关键：熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法

多项式乘以多项式需要展开后合并同类项，再因式分解

命题点一整式及其相关计算题型10因式分解解：方法指导解题的关键：通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律；应用因式分解进行简便运算或化简

两个连续的奇数平方差能被8整除

命题点一整式及其相关计算题型10因式分解

方法指导计算类证明题解题的关键：通过代换和因式分解将问题转换为完全平方式形式，进而利用非负数性质得到结论04题型精研·考向洞悉图形类规律探索题型01规律探索及新定义问题命题点二数字类规律探索题型02数式中的新定义问题题型03命题点二规律探索及新定义题型01图形类规律探索【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．

命题点二规律探索及新定义题型01图形类规律探索【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．

根据图形，总结规律，列式计算方法指导36120

（1）解：三角点阵中前8行的点数之和：

前15行的点数之和：

命题点二规律探索及新定义题型01图形类规律探索【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．

不能得出关于n的一元二次方程，利用根的判别式方法指导命题点二规律探索及新定义题型01图形类规律探索【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．

利用第（1）的方法得出前n排花盆总数的计算公式，再列方程求解方法指导

方法迁移命题点二规律探索及新定义题型01图形类规律探索