数字信号处理-证明题(3道)-

题干证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)答案证：因为：所以：由于：所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－1题干如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：答案证:由IDFT定义式：可知：题干证明:若x(n)为实序列，则X(k)为共轭对称序列，即。答案证:由DFT的共轭对称性。将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其难：Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即。题干证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，且则X(k)也实偶对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果

x(n)=xep(n)+xop(n)则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］

则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以：当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。题干证明：若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，且则X(k)为纯虚函数并奇对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果

x(n)=xep(n)+xop(n)则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］

则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。题干证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则答案证：令m=k+l,则题干证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则答案证：题干若X(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。答案证明：，题干其中:k,m为整数，N为自然数答案题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干证明:答案证明：题干证明：答案证明：题干证明：答案证明：题干证明：答案证明：题干证明答案证明：题干证明DFT的线性性质即：若则：其中：a、b为常数答案证明：题干证明FT的线性性质。即设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么式中,a，b是常数答案证明：题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：答案证明：实序列的Fourier变换具有共轭对称性题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：答案证明：虚数Fourier变换具有共轭反对称性题干证明：答案证明：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部XR(ejω)题干证明：答案证明：序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ejω)的虚部(包括j)。题干证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)则：Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）答案证明：令k=n－m，则:题干设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则答案证明：因此：题干设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］Rx－<|z|<Ry+1证明;W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)Rw－<|z|<Rw+Rw+=min［Rx+,Ry+］Rw-=max［Rx-,Ry-］答案证明：W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。题干设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+则:M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z) Rm-<|z|<Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］答案证明：Rm-<|z|<Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］题干证明：FT的周期性。即证明FT的周期是。答案证明：Ｍ为整数题干证明线性卷积服从交换律。即证