2024-2025学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知(1+i)z−=1+3i，则复数z的虚部为A.1 B.−i C.−1 D.i2.一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是(

)A.14 B.15 C.23 D.253.在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，G为△ABC的重心，P在OG上，且A.−29a+19b+14.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.6，P(B)=0.3，则P(A−)等于A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.25.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向量为S=(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为(

)A.322 B.22 6.双曲线C与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为A.x24−y2=1 B.y7.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若A.x218+y29=1 B.8.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为1的直线l过左焦点F1交C于A，B两点，且A.[62,122] B.[6,12]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，FA.BC1//平面B1DEB.直线C.平面A1AF⊥平面B1DED.点E10.已知点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：x28A.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为42

B.使△F1PF2为直角三角形的点P11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点F1(−2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4，则下列结论正确的是A.点D(22,0)在曲线C上

B.点M(x,1)(x>0)在C上，则|MF1|=22

C.点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点P(2,1)在角θ的终边上，则sin(2θ−π)1+sin(13.若f(x)=(x+a)⋅ln2x−12x+1为偶函数，则实数a=14.如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦点F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线x−y+1=0上，且与直线2x+y=0相切于坐标原点．

(1)求圆M的标准方程；

(2)经过点A(0,2)的直线l被圆M截得的弦长为32，求直线l的方程．16.(本小题15分)

已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A+C)sinA+sinC=a−cb−c，且a=2．

(1)若B=π6，求c；

(2)点D在边BC上且AD平分∠BAC17.(本小题15分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)且离心率为63，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A(−4,0)．

(Ⅰ)求椭圆C18.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AD=12BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点．

(1)证明：DE/​/平面PAB；

(2)若直线PF与平面PAB所成的角为60°，

①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

②平面ADE将四棱锥P−ABCD分成上、下两部分，求平面19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，渐近线方程为y=±12x．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，过点B(3,0)作与x轴不重合的直线l与C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，直线A1Q与A2P交于点T参考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.−113.0

14.32

15.解：(1)∵圆M的圆心在直线x−y+1=0上，设M(m,m+1)，则m+1m×(−2)=−1，

解得m=−2，即M(−2,−1)，∴圆的半径为4+1=5，

∴圆M的标准方程为(x+2)2+(y+1)2=5；

(2)经过点A(0,2)的直线l被圆M截得的弦长为32，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，

此时直线l被圆M截得的弦长为25−4=2，不符合题意，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，即kx−y+2=0，16.解：(1)由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC，

∴sin(A+C)sinA+sinC=sin(π−B)sinA+sinC=sinBsinA+sinC=ba+c=a−cb−c，

∴b(b−c)=(a+c)(a−c)，

∴b2−bc=a2−c2，即b2+c2−a2=bc，

由余弦定理知cosA=b2+c2−a22bc=12，

又∵A∈(0,π)，

∴A=π3，由A=π3，B=π6，知C=π−π3−π6=π2，

17.解：(1)由题意可得：3a2+1b2=1，ca=63，又a2=b2+c2，

联立解得：a2=6，b2=2，c=2．

∴椭圆C的方程为：x26+y22=1．

(2)F(2,0)．

①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：46+y22=1，解得y=±63．

则S△AMN=18.(1)证明：取PB中点M，连接AM，EM，

因为E为PC的中点，所以ME/​/BC，ME=12BC，

又因为AD//BC，AD=12BC，

所以ME/​/AD，ME=AD，所以四边形ADEM为平行四边形，

所以DE/​/AM，因为DE⊄

平面PAB，AM⊂平面PAB，所以DE/​/平面PAB；

(2)解：平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，

BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，

取AB中点G，连接FG，则FG/​/BC，所以FG⊥平面PAB，

所以∠GPF=60°，GF=12(AD+BC)=3，所以tan60°=3PG，所以PG=3，

又PA=PB=2，所以AG=GB=4−3=1，AB=2，

①如图，以G为坐标原点，GB，GF，GP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

所以P(0,0,3)，C(1,4,0)，D(−1,2,0)，

所以PC=(1,4,−3),CD=(−2,−2,0)，

设平面PCD的一个法向量，n1=(x,y,z)，

则n1⋅PC=0n1⋅CD=0，即x+4y−3z=0−2x−2y=0，取y=1，则n1=(−1,1,3)，

平面PAB的一个法向量可取n2=(0,1,0)，

设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，

所以cosθ=|n1⋅n219.解：(