河南省漯河市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

漯河市高一上学期期中考试数学试卷一、单选题.1.已知集合和集合，则等于（）A. B. C. D.2.设，则“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（）A. B. C. D.5.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.设函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知函数，实数m，n满足不等式，则下列不等关系成立的是（）A. B. C. D.8.已知，，且，有下列不等式：①；②；③；，其中成立的不等式的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题9.下列式子不正确的是（）A. B.C. D.10.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数11.下列说法不正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.集合，，若，则实数的取值集合为C.“”是“”的充分不必要条件D.若存在使不等式成立，则实数的取值范围三、填空题12.已知关于的不等式的解集为，则_________.13.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则_________.14.已知函数的图像在上连续不断，定义：若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“函数”，若函数是上的“2函数”，则实数m的取值范围是_________.四、解答题15.（13分）（1）计算.（2）计算.（3）化简：.（4）已知，求的值.16.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求实数a的值；（2）求函数在上的解析式；（3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.17，（15分）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：（1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入=总成本+利润）（2）当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？（3）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？18.（17分）已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值，并证明在上单调递增；（2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.19.（17分）定义在上的函数满足：对任意，都有，则称函数是上的凹函数.已知二次函数（，）.（1）求证：函数是凹函数；（2）求在上的最小值，并求出的值域.参考答案题号1234567891011答案BACDADCCABBDABD1.B【详解】，，.2.A【详解】函数的对称轴为，由函数在上单调递增可得，即，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A3.C【分析】首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.【详解】因为，所以或，因为在上单调递增，且，所以，因为在上为奇函数，所以在上单调递增，且，因此，综上：不等式的解集为.故选：C.4.D【详解】因为（且），所以令，则，，所以过定点.故选：D.5.A【分析】根据已知判断得出函数的奇偶性，结合时，函数值的正负，即可得出答案.【详解】由已知的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，故C、D错误；当时，，所以，故B错误.故选：A.6.D【解析】由条件利用函数的单调性的性质可得，解不等式组即可求解.【详解】由函数是上的单调递增函数，可得，解得.故实数的取值范围为.故选：D7.C【解析】有关函数值的不等式，要得出自变量大小关系，考虑利用函数的性质转化，所以先判断函数的奇偶性，将函数化为，得出函数的单调性，即可求出结论.【详解】的定义域为，，为奇函数，，，在上为增函数，且大于0，在上为减函数，在上为增函数，化为，等价于，.故选：C.8.C【分析】对于①，根据，结合即可判断；对于②，根据，，且，可得，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果.【详解】①因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，①正确：②因为，，，所以，所以，②正确；③，当且仅当时等号成立，所以③错误；④，所以，当且仅当时等号成立，④正确；所以有3个不等式成立.9.AB10.BD【详解】对于A：令，则，所以A中的函数是偶的数，所以A错误；对于B：令，则，所以B中的函数为奇函数，故B正确：对于C：令，则，故C错误；对于D：令，则，故D正确.故选：BD11.ABD【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的值域问题对选项逐一判断.A选项：命题“，都有”的否定“，使得”，故A错误；B选项：当时，满足题意，故B错误；C选项：当时，可推出，但当时，无法推出，故“”是“”的充分不必要条件，C正确；D选项：令，二次函数开口向上，对称轴为，又因为，所以时，，则，故D错误；故答案：ABD.12.16【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.【详解】因关于的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，，所以.故答案为：16.13.3【解析】由幂函数为偶函数，且在上是单调递减函数，可得，且为偶数，，且.解出即可，【详解】幂函数为偶函数，且在上是减函数，，且为偶数，，且.解得，，且，只有时满足为偶数.，故答案为：3.14.【分析】根据函数在上恒成立，分离得在上恒成立，求出的最值，即可得解.【详解】由题可得函数在上恒成立即在上恒成立，，故答案为15.（1）（2）5；（3）（4）【详解】（1）（4）因为，两边同时平方可得：，再将两边同时平方可得：，所以.16.（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题利用即可求解；（2）当，则，根据函数为奇函数及当时，，可得函数在时的解析式，进而得到函数在上的解析式；（3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数t的取值范围.【详解】解：（1）函数是定义在上的奇函数，，解得（2）由（1）当，又是奇函数，，，（3）由及函数是定义在上的奇函数得，由的图像知为上的增函数，，，.【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键.17.（1）（2）当月产量为300个时利润最大，最大利润为25000元（3）当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.（2）由二次函数和一次函数的性质，分段求出的最值，即可求出答案.（3）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】（1）当时，，当时，，故.（2）当时，；故当时，；当时，是减函数，故.所以当月产量为300个时，自行车厂的利湤最大，最大利淘为25000元.（3）设零件的单位利润为，则，当时，，当且仅当，即时，等号成立，当时，，故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.18.（1），证明见解析（2）【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）略【详解】略19.（1）证明见解析（2），值域为【分析】（1）代入求出，的表达式，作差化简，即可得出证明；（2）先求出二次函数的对称轴为，根据对称轴与的关系，得出在各段上的表达式，根据函数的性质即可得出函数