2023-2024学年江西省南昌一中朝阳校区高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省南昌一中朝阳校区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x−3<1}，B={x|x+1⩾0}，则A∩B=(

)A.[−1,2) B.[−1,1) C.[−2,+∞) D.[−1,+∞)2.已知a，b∈R，则“a>b”是“a(a−b)>0”的(

)A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件3.已知函数f(x)的定义域为[−2,2]，则函数F(x)=f(x+1)x的定义域为(

)A.[−1,3] B.[−3,1] C.[−1,0)∪(0,3] D.[−3,0)∪(0,1]4.已知命题“∃x∈[1,3]，x2−mx−1<0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(

)A.(−∞,0] B.(−∞,83] C.[0,+∞)5.设a=0.42，b=log0.43，c=40.3，则a，A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b6.若函数f(x)=ax2+x+1的值域为[0,+∞)，则实数A.(0,14] B.{0}∪[14,+∞)7.已知函数f(x)满足：f(x−1x)=x2+A.f(x)=x2+2 B.f(x)=x2

8.已知函数f(x)的定义域为R，函数F(x)=f(1+x)−(1+x)为偶函数，函数G(x)=f(2+3x)−1为奇函数，则下列说法错误的是(

)A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1) B.f(0)=−1

C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有3361种不同的情况，下面对于数字3361的判断正确的是(参考数据：lg3≈0.4771)(

)A.3361的个位数是3 B.3361的个位数是1 C.3361是173位数 D.310.已知a+2b=ab(a>0,b>0)，则下列结论正确的是(

)A.ab的最小值为2 B.a+b的最小值为3+22

C.1a+1b的最大值为11.下列定义在(0,+∞)上的函数f(x)中，满足∀x∈(0,+∞)，f(x)+f(1x)≥2f(1)的有A.f(x)=x B.f(x)=x1+x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围是______．13.已知函数f(x)=[(a+1)x2+ax]⋅(14.已知函数f(x)=log12(1−x),−1≤x≤n22−|x−1|−3,n<x≤m的值域是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(0)=2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若x∈[−1,2]时，y=f(x)的图象恒在y=−x+a图象的上方，试确定实数a的取值范围．16.(本小题15分)

已知四棱锥P−ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一点，PE⊥AD．

(1)若F是PE中点，证明：BF//平面PCD．

(2)若AB⊥平面PED，求面PAB与面PCD夹角的余弦值．17.(本小题15分)

甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．

(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；

(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为X，求X的分布列与期望．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+ax2+3(a∈R)．

(Ⅰ)当a=−12时，求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ)当a=0时，若xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)19.(本小题17分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，若存在常数λ(λ>0)，使得λan≥Sn+1对任意n∈N∗都成立，则称数列{an}具有性质P(λ)．

(1)若数列{an}为等差数列，且S3=−9，S5=−25，求证：数列{an}具有性质P(3)；

(2)设数列参考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.AC

10.BD

11.ACD

12.[−2,10]

13.−1

14.[1,2]

15.解：(1)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

由f(0)=2得c=2；

由f(x+1)−f(x)=2x−1得a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2x−1，

即2ax+a+b=2x−1恒成立，故2a=2a+b=−1，则a=1b=−2，

故f(x)=x2−2x+2；

(2)因为当x∈[−1,2]时，y=f(x)的图象恒在y=−x+a图象的上方，

所以当x∈[−1,2]时，x2−2x+2>−x+a恒成立，

即当x∈[−1,2]时，a<x2−x+2恒成立，

令g(x)=x2−x+216.(1)证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，

因为F是PE中点，所以FM//ED，且FM=12ED，

因为AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，

所以四边形ABCE为平行四边形，BC/​/ED，且BC=12ED，

所以FM/​/BC，且FM=BC，

即四边形BCMF为平行四边形，

所以BF//CM，

因为BF⊄平面PCD，CM⊂平面PCD，

所以BF/​/平面PCD．

(2)解：因为AB⊥平面PED，

所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，

所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,−2)，CD=(−1,2,0)，

设平面PAB的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅AB=x1=0m⋅AP=y1+217.解：(1)记这2个球颜色相同为事件A，

则P(A)=36×16+36×56=12；

(2)依题意X的可能取值为0、1、2X

0

1

2

P

19

293所以E(X)=0×193518.解：(Ⅰ)当a=−12时，f(x)=lnx−12x2+3，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=1x−x=1−x2x，

令f′(x)>0，即0<x<1，f(x)单调递增；

令f′(x)<0，即x>1，f(x)单调递减；

所以f(x)在x=1处取得极大值即f(1)=52，无极小值．

(Ⅱ)f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，

①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；

②当a<0时，

当x∈(0,−−2a2a)时，f′(x)>0，f(x)递增；

当x∈(−−2a2a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减．

综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a<0时，f(x)在(0,−−2a2a)上单调递增，在(−−2a2a,+∞)上单调递减．

(Ⅲ)xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，

即k<xlnx+3x−2x−1恒成立，

令F(x)=xlnx+3x−2x−1，则F′(x)=x−lnx−2(x−1)2．

令m(x)=x−lnx−2，

则m′(x)=1−1x=x−1x>0在x>1上恒成立，

所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，且19.(1)证明：因为数列{an}为等差数列，且S3=−9，S5=−25，

所以3a1+3d=−9，5a1+10d=−25，

解得a1=−1，d=−2，

所以an=−1+(n−1)(−2)=−2n+1，Sn=(−1−2n+1)n2=−n2，

所以3an−Sn+1=3(−2n+1)