专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型解读与提分精练（北师大版）（解析版）

专题11圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.米勒最大张角（视角）模型 1模型2.定角定高模型（探照灯模型） 8 17模型1.米勒最大张角（视角）模型已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。例1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，甲、乙、丙三名同学比赛定点射门，PQ是球门，且甲、乙、丙三名同学位于以点O为圆心的同一圆弧上，仅从射门角度考虑的话，进球概率最大的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同学一样大【答案】D【分析】本题考查圆周角定理，概率定义理解．根据题意利用在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等即可选出本题答案．【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学位于以点O为圆心的同一圆弧上，将图中点进行命名，

∴，∴仅从射门角度考虑的话，进球概率一样大，故选：D．例2．（24-25九年级上·广东·期中）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是多少米？

【答案】米【分析】先证是的切线，切点为，当点与点重合时，观景视角最大，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：取的中点，过点作于，以直径作，如图所示：

根据圆周角定理，劣弧所对的圆周角都是相等的，则游客在步道上由点出发沿方向行走时，与相切时，观景视角最大，，点是的中点，，，，，，从而由勾股定理可得，，又，是的切线，切点为，当点与点重合时，观景视角最大，此时．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明是的切线是解题的关键．例3．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．（1）点的横坐标为；（2）若最大时，则点的坐标为．【答案】【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与轴相切于点时，最大是解题的关键．（1）根据点、点的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点的横坐标；（2）连接，，，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理和等腰三角形可得，推出，得到当与轴相切于点时，最大，进而得到四边形是矩形，推出，，，根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】（1）点，，的中点坐标为，是的外接圆，点在的垂直平分线上，点的横坐标为，故答案为:；（2）连接，，根据（1）可知点一定在直线上，是的外接圆，为轴正半轴上，，，如图，过点作于点，，，，，，，，当最小时，最大，即最大，即最大，当，即当与轴相切于点时，最大，连接，与轴相切于点，轴，四边形是矩形，，，在中，，，点的坐标为，故答案为：．例4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程；【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）【答案】（1）见解析（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米（3）【分析】（1）由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此视角最大，站在此处观赏最理想；（2）连接，，，，作于点，利用圆周角定理得到，证明为等边三角形，推出米，结合等边三角形性质得到米，再证明四边形为矩形，利用矩形的性质求解，即可解题；（3）根据等腰三角形性质结合题意得到，由（2）同理可知，四边形为矩形，结合矩形性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题．【详解】解：（1），，，，视角最大，站在此处观赏最理想．（2）连接，，，，作于点，由题知，米，，，，为等边三角形，米，，米，，四边形为矩形，米，米，距地面的距离为（米)，即点C距地面的距离为1.2米．（3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，米，，，米，米，由（2）同理可知，四边形为矩形，米，．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理．例5．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点A−2,0、B4,0，且经过点．(1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为(2)的面积为(3)【分析】本题考查二次函数的综合应用，切线的性质，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）设抛物线的对称轴交轴于，设，求出的解析式求出点坐标，同法求出点坐标，再根据对称性求出坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；（3）当过三点的圆与轴相切时，最大，设，根据切线的性质，结合勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：把A−2,0、B4,0、代入得：，解得，抛物线的表达式为；（2）设抛物线的对称轴交轴于，如图：抛物线与轴交于点A−2,0、B4,0，抛物线的对称轴为直线，，，设，设的函数表达式为，把A−2,0，，代入得：，解得，的函数表达式为，在中，令得，，同理可得，关于轴的对称点坐标为，，；的面积为；（3）当的外接圆与轴相切时，切点即为使最大的点，如图：轴，设，则，，B4,0，，，，，，，解得（不符合题意，舍去）或，，．模型2.定角定高模型（探照灯模型）定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值；∴，当取等号时BC有最小值；∴，当取等号时△ABC有最小值；∴，当取等号时△ABC有最小值。例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小；设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h，当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB；∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小，∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠=∠，∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k，∴AB=，

∵，∴，解得k=，∴AB的最小值，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为．

【答案】【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解．【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：，此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：.法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，

∵垂直平分，∴，∴周长∵在中，，∴，当点D与点M重合时，，∴周长，∴周长的最小值，∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，，∴，∴周长的最小值，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况．例3.（23-24浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。【解析】通过“距地面30米”，“光线夹角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高），可识别出定角定高模型，因此当△ABC为等腰三角形，边BC有最小值，此时△ABC为等边三角形，解直角三角形求出BC=米，进而求出面积最小值为平分米，周长最小值为米。可求答案：；。例4.（23-24·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________.【解析】“大角含半角+有相等且共端点的边”识别出“半角模型”，通过截长补短构造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB为定高，通过定角定高模型结论求出最值。延长CD至点G，使DG=BE，连结AG，易证△ABE≌△ADG(SAS)∴BE=DG，∠BAE=∠DAG∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF则△AEF'≌△AGF(SAS)，作△AGF的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OF，过得O作OH⊥GF于H，则∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，设△AGF的外接圆的半径为R，则GF＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，∴△AGF的面积≥××（8﹣）×4＝16﹣16，∴△AFE的面积的最小值为16-16．例5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示，【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．

(1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米，米的时候照射的面积最小，最小值为；(2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标．【答案】(1)，；(2)，盲区的面积不会变化，为；(3)，．【分析】（）作的外接圆，连接，，，过点作于点，由不变,要使面积最小则最小，当、、共线时最小，的面积最小；（）设，则有盲区面积为，当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，当盲区增加的面积与减少的面积相等时即可求解；（）以为直径以为圆心做圆,交公路与点，，求出坐标即可．【详解】（1）作的外接圆，连接，，，过点作于点，

的面积，不变,要使面积最小则最小，设圆的半径为，不变，∴不变，，当最小时，最小，，∴当、、共线时最小，的面积最小，此时，，，故答案为：，；（2）设，当摄像头如图所示，盲区面积为，当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，当盲区增加的面积与减少的面积相等时，，盲区的面积不会变化，此时，面积为初始面积等于，故，盲区的面积不会变化，为；（3）以为直径以为圆心做圆,交公路与点，,∴坐标为，．【点睛】此题考查了圆的有关性质和垂线段最短，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．例6．（2024·陕西西安·校考模拟预测）【问题提出】（1）如图1，是等腰直角三角形，，可得到，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是；【问题探究】（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；【问题解决】（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得，结合旋转的性质，证，即可求得；（2）过点作于点，作于点，证，设，分点在线段上和点在线段上两种情况讨论，分别求出关于的一次函数解析式，根据一次函数性质即可求解；（3）将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，根据矩形的判定和性质可得和的比值，然后根据三角形外接圆性质得，，最后根据三角形面积公式可得答案．【详解】（1）是等腰直角三角形，，，，；，，也是等腰直角三角形，，，，，，，，故答案为：，；（2）如图，过点作于点，作于点，四边形是矩形，O为矩形对角线的交点，，，，，，，，，，，，当点在线段上时，点在线段上，设，则，，当时，取得最大值，最大值为6，当点在线段上时，点在线段上，设，则，，当时，取得最大值，最大值为，，四边形面积的最大值；

（3）四边形是矩形，，，如图，将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，，，，过点作于点，于点，，四边形是矩形，且，，设的外接圆半径为，，，由题意得，即，，，的面积最小值为，的面积最小值为．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】法1：运用定角定高（探照灯）模型求解。法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值；∴=4，当取等号时AB有最小值；法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小，∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠=∠，∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k，∴AB=，

∵，∴，解得k=，∴AB的最小值，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在矩形中，，，点为边上一点，当最大时，求的值．【答案】【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．作的垂直平分线交于点，交于点，连接、，作的外接圆，与直线交于另一点，则，圆心在上，由矩形的性质可知，，所以，则与相切于点，所以，，则，则圆心在弦的上方，设与交于点，连接，则，当点与点重合时，最大，再根据三角函数的性质可得出结论．【详解】解：作的垂直平分线交于点，交于点，连接、，作的外接圆，与直线交于另一点，如图，则，圆心在上，四边形是矩形，，，与相切于点，，，，，圆心在弦的上方，设与交于点，连接，则，当点与点重合时，最大，连接、，则，，，，，，，即当最大时，的值为．故答案为：．3．（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=．【答案】4−2【分析】先确定P点的位置，画出辅助圆，再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的判定与性质即可求解．【详解】解：如图，当P点在与BC相切，且经过D点和M点的⊙O上时，∠DPM的度数最大，此时，P点即为切点，连接OP，∴OP⊥BC，∵正方形ABCD的边长为4，M点为CD的中点，∴DM=2，过O点作OE⊥DM于E，∴DE=1，延长PO，交AD于点F，∴OF⊥AD，∴四边形OEDF和四边形PCDF都是矩形，∴OF=DE=1，∴OP=4−1=3，连接OD，则OD=3，∴DF=O∴PC=DF=22，∴BP=4−PC=4−22，故答案为：【点睛】本题考查了最大张角问题，涉及到了正方形性质的应用、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与BC相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．4.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为。【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆，连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2），BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠BOC=2∠BEC，∵∠BEC=45°，∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，设OB=OC=OE=r，则OG=BG=r，BC=2BG=r，∵OE+OG≥EF,，∴r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4，当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4，∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为．【答案】【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论．【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。∴的周长的最小值为，故答案为：．法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，，∵，∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在中，，，定长线段的端点E，F分别是边上的动点，O是的中点，连接．设，，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为），当时，最大，则a的值为．【答案】【分析】根据图形和图象可知，当点与点重合时，，此时最大，求出的长，再根据时，，求出的长，进而求出的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半，得到为定值1，点在半径为1的上，进而得到与相切时，最大，过点作，交于点，利用等积法求出，进而求出，利用即可得解．【详解】解：∵，当点与点重合时，，∴的最大值即为的长，∵图象的最高点为：，∴的最大值为：，即：，∴，当时，，即：，，∴，∴，连接，∵是的中点，∴，点在半径为1的上，∴当与相切时，最大，此时：，过点作，交于点，则：，，即：，∴，∵，，∴，∴，∴为的中点，∴，∴，即：时，最大；故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质，函数图象，直角三角形斜边上的中线，平行线分线段对应成比例．本题的综合性较强，确定点在以为圆心，为半径的圆上，是解决本题的关键．7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，墙壁上的展品最高点与地面的距离，最低点与地面的距离，观赏者的眼睛E距地面，经验表明，当水平视线与过P、Q、E三点的圆相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，求此时点E到墙壁的距离．【答案】【分析】作于，连接，如图，根据垂径定理得到，再计算出，则，根据切线的性质得，于是可判断四边形为矩形，所以，，然后在中，利用勾股定理计算出，从而得到．【详解】解：作于，连接，，如图，，，，，，，，，与相切，，而，，四边形为矩形，，，在中，，，，．答：此时点到墙壁的距离为．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查垂径定理，矩形的性质和勾股定理．8．（2024九年级上·江苏·专题练习）某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在边上的点P处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果更佳，必须要求最大，已知：，米，米，问在边上是否存在一点P，使得最大？若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由．【答案】存在，，【分析】当经过A，B的与相切于P时，的值最大，作于H，交于Q，连接，，．设，用两种方法求出，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，当经过A，B的与相切于P时，的值最大，作于H，交于Q，连接，，．设，∵，，∴，∵，，，∴，，∴，，，∵，∴，整理得：，∴，∴或（舍弃），∴，∴，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号）①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现．【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论；猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求．【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，∴；∵，∴，∵，∴；在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接，∴，∵，∴，∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小，故答案为：③；猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，∴，∵，∴，即，∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于，∴球员P运动到切点Q时最大；实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求；理由如下：∵，∴，∵，且，即是两条平行线间的距离，∴也是这两条平行线间的距离，∴，∴直线与相切，∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大．【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）【答案】(1)(2)①；；②．【分析】（1）连接、，根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出即可判断；（2）①根据最佳射门点为点Q，可证△ADQ∽△QDB，列出比例式即可求出DQ的长度，作BE⊥AQ于E，求出线段长，利用三角函数求解即可；②根据题意可知，过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性质求出EM，再解直角三角形求出MP、PF、PO即可．【详解】（1）解：连接、，∵CD∥AB，∴，∵，，∴，∴，∴，∴最佳射门点为故答案为：．（2）解：①作BE⊥AQ于E，∵最佳射门点为点Q，∴，∵，∴，∴△ADQ∽△QDB，∴，∵，，∴，代入比例式得，，解得，（负值舍去）；，∴，，∴，，∴，，则，；②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，∴当时才能确保防守成功．∵MN⊥AQ，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∵，∴，，∵，∴，；MN中点与AB的距离至少为时才能确保防守成功．．【点睛】本题考查解直角三角形应用，解题关键恰当构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识求解．11．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为．

(1)求、、的坐标及的值；(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、，，；(2)直线的解析式为：或；(3)存在，．【分析】（1）令，即可求出点、坐标，再求出点坐标代入抛物线解析式即可求出．（2）如图1，作于点，于点，则，设直线的解析式为，，，列出方程组消去，根据根与系数关系以及，列出方程即可解决问题．（3）存在点，使的值最大，当时，最小，此时与相切于点（如图3），求出即可．【详解】（1）解：令，得，、；，，代入得；（2）解：如图1，作于点，于点，则，

，，又，，设直线的解析式为，，，由消去得，，，，，，，直线的解析式为：或；（3）解：存在点，使的值最大，如图2，设的外接圆为，是弦心距，则，

在中，为定值，当的半径最小时，最大，当时，最小，此时与相切于点（如图3），由，得，解得，．【点睛】本题考查二次函数综合题、根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理、圆、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用根与系数的关系构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造圆解决问题，属于中考压轴题．12．（2024九年级下·上海·专题练习）（1）如图①，是的弦，直线l上有两点M、N，点P在上，则、、的大小关系为__________＜__________＜__________；（2）如图②，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，求出点C的坐标；（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C．点M为直线上一点且，为x轴上一条可移动的线段，，连接，点P为直线l上任意一点，连接．求当最小时，的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）设交于C，的延长线交于D，连接，可得出，从而，进而得出结果；（2）过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，连接，作于D，可得出，从而，进而得出结果；（3）在y轴上取点，将其向右移动20个单位至，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，则最小，可求得点，过A、B的圆I与相切于P时，最大，，作于H，交于G，连接IP，设则，，在中，由勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果．【详解】解：（1）如图1，设交于C，的延长线交于D，连接，∵，∴，∵是的外角，∴，同理可得：，∴，故答案为：；（2）如图2，当过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，∴，连接，作于D，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴；（3）如图，由题意得：，在y轴上取点，将其向右移动20个单位至，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，则最小，∵，∴点，设直线的解析式为，把，代入得，，解得，∴直线的解析式为：，由得，∴点，过A、B的圆I与相切于P时，最大，，作于H，交于G，连接，∴，∴，∵，∴，∴，设，则在中，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，∴，，∵，，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．13．（2023·广东深圳·三模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？【解决问题】(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【问题探究】(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接，请你判断与的数量关系，并说明理由；【问题拓展】(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；（2）设与交于点G，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质求解即可；（3）过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，根据题意得到当经过A，B的与相切时，最大，然后利用解直角三角形和勾股定理求解即可．【详解】（1）∵是的外角，∴，∴，故答案为：，；（2），理由如下：如图所示，设与交于点G，连接，

∵，∴，∵是的外角，∴，∴；（3）如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，

过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，∴，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴设的半径，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得或（舍去），∴，∴．【点睛】此题考查了最大张角问题，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值；（2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值．【答案】（1）的最小值为；（2）【分析】（1）的外接圆，连接，过点O作，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，再由即可求解；（2）长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线由，因为为定值，取得最小值时，取得最大值．【详解】（1）解：如图，作的外接圆，连接，过点O作，则，∵∴，设，则，∵∴，解得：，∴，∴的最小值为；（2）解：分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形∵，，，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线∴∵为定值∴当取得最小值时，取得最大值，∵∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J，设的外接圆半径为，则，∵∴∴当点O在上时，最短，此时∴∴【点睛】本题属于四边形综合题，三角形的外接圆，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解；（2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解；（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，∵等边的边长为，∴，，∴又∵，∴的面积为，故答案为：．（2）如图所示，延长到使得，连接，四边形是正方形，，，，，，∠，，，，又，，，，又，；（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，，，，，过点作于，作于，则四边形是矩形，，，，当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，设，，，，，，当最小时，的面积最小，，，，当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，平方米存在一个面积最小的，其最小值为平方米．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键．16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______；【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；【问题解决】（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______．【答案】（1）11；（2）；（3）平方米【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可．【详解】解：（1）∵圆心到弦的距离为4，若的半径为7，∴上的点到弦的距离最大值为，故答案为：11；（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．，，，设，则，由，得，即，∴，，．即面积的最小值为；（3）