专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型解读与提分精练（北师大版）

专题12解直角三角形的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.胡不归模型（最值模型） 1 14模型1.胡不归模型（最值模型）从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】垂线段最短。例1．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是．例2．（2024·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．例5．（2024九年级·江苏·专题练习）如图，内接于，，，过点作交于点，点是上一动点，求的最小值．例6．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与轴的正半轴交于点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为．例7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．例8．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E两点在△ABC边上运动．（1）如图1，当∠BAC=120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD=CE=2，求△ADE的面积．（2）如图2，当∠BAC=60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD=CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH=AG，求证：∠BGH=60°．（3）如图3，当∠A=90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值．例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标．(3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．

1．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（

）

A． B．3 C． D．62．（2024·安徽·三模）如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．3．（2024·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．105．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（

）A．1+ B．1+ C． D．6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．7．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为．8.（2024·广西校考一模）如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则．9．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为．10.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为．11．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．12．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为．

13．（2024·四川成都·模拟预测）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？14．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，．(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．15.（2024.广东九年级期中）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．16．（2024·广西·校考一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．17．（2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标；②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式