专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型解读与提分精练（全国）

专题25相似模型之母子型（共边共角）模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 6【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子型”模型（共边共角模型）“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB.同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA4）共边模型条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC，∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（

）A． B．3 C．9 D．例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．(1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为______．(2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________．

例3．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，于点E，已知，，则矩形的周长为

例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：∵是斜边上的高，∴．∵，，∴．∴（依据）．∴．即．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．

例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．(1)求证：．(2)当时，求的值．例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接．(1)初步探究：如图2，若，求证：；(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（

）A．B．C．D．2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（

）

天冀的做法：添加条件．证明：∵，．∴（两组角对应相等的两个三角形相似）往琛的做法：添加条件．证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(

)A． B． C． D．4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是．

5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则．

6．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交边于点D．分别以点D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则的值为．7．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点），．

8．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______．9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为．10．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；

②；

③四边形是菱形；

④其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

11．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，，，则的长

12．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．13．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．(1)求证：；(2)当时，求的长．14．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．(1)求证：；(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．15．（2024·四川南充·二模）在矩形中，，在边上截取，使，点为的中点．如图1，连接并延长交于点，连接交于点．(1)求证：；(2)若，证明．(3)如图2，若，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积．16．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．如图，在中，所对的边分别为，若，则．下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：证法1：如图1，作的平分线，∴．

设，则．证法2：如图2，延长到点，使得，连接，……任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．17．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．(1)求证：；(2)求的值．

18．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值；【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）．19．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维．【设置情景】王老师给出了如下几何图形：“如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．”【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答．（1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）；（2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答．【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明．20．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景：数学