本单元主要介绍测量误差的产生误差的分类及特性衡量精度的标准误差的传播定律中误

建筑工程测量

本单元主要介绍测量误差的产生、误差的分类及特性、衡量精度的标准、误差的传播定律、中误差的计算等。重点是中误差的计算。难点是误差的传播定律。单元二测量误差的基本知识2.1测量误差及其表示方法概述一.1、误差误差是观测值与理论值之差。 误差△=观测值L－理论值X

如:四边形内角和误差=－1′

三角形内角和误差=＋50″

线段长度误差=－0.015m

内角和观测值：

359°59′00″内角和观测值180°00′50″真长：50m测量值：49.985m2、粗差

概念：超限的误差，也称错误。

原因：观测者不当使用仪器或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等或外界条件发生意外的显著变化而产生的错误。剔除掉（应该避免）措施：操作细心、多余观测。 1.绝对误差真误差△=观测值－真值似真差V=观测值－似真值似真值：近似值、算术平均值二、误差的表示方法

有些观测量的精度可以用中误差来评定，但有些观测量仅用中误差评定是不能反映出精度的高低的。如距离测量的精度，若测量100m和200m中误差都是±5㎝，但这两段距离的精度并不一样，显然，200m的精度优于100m精度。此时应用相对误差评定更为准确。100m±5㎝200m±5㎝ABCD

相对误差K是中误差的绝对值m

与相应观测值D

之比，通常以分子为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:2、相对误差

一般情况

:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。

计算举例1：

往返丈量一段距离，往量得250.015m，返量得250.005m。求这段距离丈量的相对误差？解:D平=250.010m,往返较差m=0.01m,则相对误差

=1/(250.01/0.01)=1/25000

在同一观测条件下，取一列真误差平方和的平均值开平方作为这列误差的中误差来评定一组观测值的精度。

一般情况下，中误差越大，表示误差的离散性大，观测值精度越低，反之，精度越高。

m=±3中误差△——真误差；n——观测次数。中误差计算举例1.已知真值计算中误差

如：对一个三角形内角重复观测5次，观测结果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求观测值中误差。

观测值 真误差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24″ 576″180°00′30″ ＋30″ 900″179°59′48″ －12″ 144″180°00′06″ ＋06″ 36″理论值:180° =1800″ m=± =±19″(观测值中误差)

一般真误差

i不可求，我们只能根据最或然值求出改正数即白塞尔公式（真值未知，v为改正数）Vi=L-li（2）真实值未知（似真差）上式中，偶然误差v为观测值

与似真值X（平均值）之差：

如对一角度进行4次观测,观测数据如下:

观测值 V VV50°29′30″

－30 90050°30′00″000050°30′12″

＋12 14450°30′18″

＋18 324平均值为:50°30′00″0 1368″m= =±21.4″例：设直线AB进行5次，其结果为40.125，40.123，40.124，40.123，40.125m，求AB的中误差。解：平均值：40.124mV1=-0.001m，V2=0.001m，V3=0，V2=0.001m，V1=-0.001m若不知道真值,则用平均值作为似真值,V表示似真差,V=观测值－似真值，用似真差计算相对中误差公式：

观测值中误差：m=±

平均值中误差：M=±m/=±

相对中误差：K=

例2:对一段距离观测了5次,观测结果为150.005m、150.008m、150.000m、150.003m、150.006m。试计算这段距离的最或是值、最或是值的中误差、相对中误差、测量一次的中误差？解：5次结果的平均值（即最或是值）：150.0044m,

似真差Vi:＋0.6,＋3.6,-4.4,-1.4,＋1.6 =37.2

最或是值中误差M=± ㎜一次观测值中误差m

m=±M=±×1.86=±4.2㎜K =1/(150/0.00186)=1/80645 (相对中误差)

定义：

由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。4、容许误差（极限误差）

测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.72.2测量误差产生的原因仪器、工具的误差 仪器的残余误差，仪器、工具的制造误差。 如：水准仪i角误差，经纬仪的2C误差、横轴不水平误差、竖盘指标差，标尺刻划误差，标尺零点差，度盘刻划误差等等。人为误差 对中误差，整平误差，瞄准误差，读数误差，立尺误差等。外界环境影响 地球曲率，大气折光，气候情况（风力大小，气温高低，透明度，湿度）外界干扰（震动……） 观测条件：仪器、观测者、外界环境统称为观测条件。

2.3误差的分类及特性

每个观测值都包含有误差，误差有大有小，有正有负，有固定的，也有变化的。 根据误差的性质不同，测量误差可分为两大类：

系统误差和偶然误差。 △=△系＋△偶1.系统误差

在一定的观测条件下进行一系列观测，如果误差的符号与大小保持不变或按一定的规律变化，这类误差称为系统误差。

如：i角误差、2C误差、指标差、度盘偏心差、标尺零点差、钢尺尺长误差、……

系统误差主要来源于仪器、工具的误差，对测量成果的影响有累积性，应设法消除。系统误差的处理方法：

A.

检校仪器工具

B.加上改正数法

C.采取对称观测（盘左盘右观测、前后视距相等）

2.偶然误差

在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号呈现出偶然性，即没有一定的规律，这类误差称为偶然误差。 偶然误差主要来源于人和气候环境。 如：气泡居中误差，估读误差，瞄准误差，环境影响。

特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

偶然误差的特性(1)有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；(2)渐降性：小误差出现的概率比大误差大；(3)对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等；(4)抵偿性：当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零：偶然误差的处理

偶然误差与操作熟练程度、仪器精度、外界环境有关，是不可避免的。但可以通过下列方法削减对测量成果的影响：

A.提高仪器的精度等级；

B.进行多余观测，取中数；

C.求平差值(误差分配)。判断下列误差属性：

钢尺尺长误差、定直线误差、标尺倾斜误差、水准管气泡居中误差、读数误差、水准仪i角误差、照准目标误差、对中误差、竖盘指标差、视准轴误差、地球曲率和大气折光、横轴误差、瞄错目标、读错数、温度变化、风大目标不稳定。2.5误差的传播定律误差传播:直接观测量的误差以一定的方式传递给间接观测量。误差传播定律：是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。

Y=f(x1,x2,…，xn)

广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）的精度。如：三角形内角和W=A＋B＋C

而A、B、C的观测都是有误差的，它们的误差引起内角和W也有误差，但函数的误差并不是简单的和关系。ABCMNh1h3h5h2h4hn1.线性函数的中误差（1）倍数函数 Y=kX

函数中误差my=kmx

（2）和差函数 Y=X1±X2±

X3±

X4±…±Xn

函数中误差my2=m12＋m22＋

m32＋

m42＋

…＋mn2

（3）线性函数Y=k1X1±k2X2±k3X3±k4X4±…±knXn

函数中误差：my2=（k1m1）2＋（k2m2）2

＋（k3m3）2

＋（k4m4）2

＋…＋（knmn）2

若为等精度观测，则m1=m2=m3=m4=mn=m2.非线性函数中误差计算步骤： （1）列函数式（变量应互相独立）； （2）分别对各观测值（变量）求导，化为线性函数； （3）根据误差传播定律，代入线函数中误差公式计算。应用误差传播定律计算函数中误差时，应注意： 列出的函数式，变量之间必须是相互独立的，否则不能套用函数中误差公式。计算举例1.对一段距离S进行等精度观测n次，每次观测中误差均为mS，求平均值中误差MS=？解：平均值S=（S1＋S2＋S3＋S4＋…＋Sn）/n dS=（1/n）ds1＋（1/n）ds2＋（1/n）ds3＋（1/n）ds4＋…

＋（1/n）dsn

MS2=（1/n）2ms12＋（1/n）2ms22＋（1/n）2ms32＋ （1/n）2ms42＋…＋（1/n）2msn2

=n×（1/n）2ms2

MS= ×（1/n）ms =ms/ （前面讲过）

2.设对某三角形三个内角进行观测，A角的中误差为±30″，B角中误差为±20″，C角中误差为±10″，求三角形的内角和的中误差m=？解：内角和 W=A+B+C mW2=mA2+mB2＋mc2