江西省宜春市高安市高安中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

江西省宜春市高安市高安中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A． B． C． D．42．在的展开式中，的系数为()A．-120 B．120 C．-15 D．153．函数的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知等式成立，则（）A．0 B．5 C．7 D．135．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）A． B．C． D．6．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．7．已知若在定义域上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．9．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．910．设函数，则函数的图像可能为（）A． B． C． D．11．已知，，则（）A． B． C．3 D．412．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．14．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，,则异面直线与所成的角为____.15．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________.16．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表：年份20102012201420162018需求量（万吨）236246257276286（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标，请完成如下数据处理表格：年份—20140需求量—2570（2）根据回归直线方程分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.18．（12分）如图，在直角中，，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）点是线段上一点，，且，求的值.19．（12分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若成等比数列，求a的值。21．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且，求的面积的值（或最大值）．22．（10分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（Ⅰ）证明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.2、C【解析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．【详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．3、A【解析】

先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；当时，，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、D【解析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故选：D【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.5、A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.6、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.7、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】，先解不等式.①当时，由，得，解得，此时；②当时，由，得.所以，不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时，，则，此时；当时，，此时.综上所述，函数的值域为，由于在定义域上恒成立，则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8、B【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.9、B【解析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.10、B【解析】

根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【详解】定义域为：，函数为偶函数，排除，排除故选【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.11、A【解析】

根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得则.故选：A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.12、A【解析】

先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.【详解】因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。14、【解析】

要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【详解】取的中点E,连AE,,易证，∴为异面直线与所成角，设等边三角形边长为，易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．15、2【解析】

直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】，，解得，，故.故答案为：2；.【点睛】本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.16、【解析】

作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，则，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直线斜率为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）能够满足.【解析】

（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格；（2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断.【详解】（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由题意可知，变量与之间具有线性相关关系，由（1）中表格可得，，，，.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为，利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：（万吨），因为，故能够满足该地区的粮食需求.【点睛】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.18、（1）3；（2）.【解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可.【详解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因为，所以，解得.在中，由余弦定理得，，即，，故.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）成等比数列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，数列是首项为，公比为的等比数列，．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.20、（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．【详解】（1）由直线l的参数方程消去参数t得,，即为l的普通方程由，两边乘以得为C的直角坐标方程.（2）将代入抛物线得由已知成等比数列，即，，，整理得（舍去）或.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．21、见解析【解析】

若选择①，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，将代入，得．又，∴，当且仅当时等号成立．∴，故的面积的最大值为，此时．若选择②，，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则，此时为等腰直角三角形，.若选择③，，则结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则．22、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先证明

，再证明