弧度制课件高一上学期数学

5.1.2弧度制角度制

把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒．温故知新∠A30º45º60º…sinA…正弦三角函数温故知新

如图是一种折叠扇，折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小，那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？这些变化的量之间存在何种关系呢？由此你能想到度量角的其他方法吗？探究新知

如图，半径为

r

的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点

A，终边与圆交于点

B.圆心角α所对的

的长为l

.问题1：如果α=1º，

l

等于多少？

，是个定值

.探究新知问题2：如果α=nº，

等于多少？

，是个定值

.

如图，半径为

r

的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点

A，终边与圆交于点

B.圆心角α所对的

的长为l

.探究新知问题3：如果α=120º，135º，270º呢？

当α=120º时，

，是个定值

.当α=135º时，

，是个定值

.当α=270º时，

，是个定值

.

如图，半径为

r

的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点

A，终边与圆交于点

B.圆心角α所对的

的长为l

.弧长与半径的比值与半径无关，仅与角α的大小有关

.探究新知

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1

rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制

．1.

弧度制探究新知

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1

rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制

．1.

弧度制注意：（1）弧度制是十进制的，角度制中度、分、秒是六十进制

；（2）无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值

．2.

弧度数的推广

的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数r逆时针方向12πr逆时针方向2r－2πr顺时针方向0顺时针方向2π－π不旋转0若α＝xrad，得到弧长的计算公式.

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，则：例1

利用单位圆，写出360º，180º，90º，1º的圆心角所对应的弧度数

.例题精析解:1º的圆心角对应的弧度数是

rad

.360º的圆心角的弧长是2π,那么它对应的弧度数是2π

rad

；180º的圆心角的弧长是π

,那么它对应的弧度数是π

rad

；90º的圆心角对应的弧度数是

rad

；在单位圆中，例1

利用单位圆，写出360º，180º，90º，1º的圆心角所对应的弧度数

.例题精析360º＝2π

rad90º＝

rad1º＝

rad180º＝πrad1º＝rad

≈0.01745rad1rad＝

≈

′探究新知3.

弧度制和角度制之间的相互转化180º＝πrad1º＝rad

≈0.01745rad1rad＝

≈

′例2

把下列各角从度化为弧度

:（1）120º

；（2）25º30′

.例题精析解:（1）120º=120×

rad=

rad；（2）25º30′=25.5º=25.5×

rad=

rad

．1º＝

rad例题精析例3

把下列各角从弧度化为度

:（1）

rad；

（2）5rad.解:（1）

rad＝×（2）5rad＝5×＝135º

；≈286.5º

.另解：

rad＝×180º＝135º；1rad＝πrad＝180º例题精析例4

如图.设扇形的圆心角α＝x.半径为r，弧长为l，扇形面积记为S．（1）用r与x表示扇形的面积S；（2）用r与l表示扇形的面积S．解:（1）xrad角的大小是周角的

，所形成扇形的面积S是整个圆的面积πr2的.即

（2）由

可得又因为，所以

.（1）

.例题精析课堂小结1.

弧度制2.

弧度数的推广3.

弧度制和角度制之间的相互转化1º＝

rad4.

弧长公式5.

扇形面积公式180º