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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题25以四边形为载体的几何综合问题
【例1】(2022·贵州黔西·中考真题)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边
上的点(点E不与点B,C重合),且.
∠𝐸�=45°
(1)当时,求证:;
(2)猜想��B=E,��EF,DF三条�线�段=之��间存在的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图2,连接AC,G是CB延长线上一点,,垂足为K,交AC于点H且.若
,,请用含a,b的代数式表�示�E⊥F�的�长.𝐺=��
�【�答=案�】(�1�)见=解�析
(2),见解析
(3)��=��+��
2
2�+�
【分析】(1)先利用正方表的性质求得,,再利用判定三角形全等
的“SAS”求得三角形全等,然后由全等三��角=形�的�性质∠�求=解∠;�=90°
(2)延长CB至M,使,连接AM,先易得,推出,
,进而得𝐵到=��,最△后��利�用≌全△等�三��角�形��的性质求�解�;=��
(∠�3�)�过=点∠H𝐸作�于点△�N�,�易≌得△���𝐸�,进而求出,再根
2
据(2)的结论求��解⊥.��△���≌△𝐻������=2𝐺
(1)
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴,.
在��=�和�∠�=中∠�=90°
△���△���
,
��=��
∠�=∠�
��=��
第1页共68页.
∴,
∴△���≌;△���𝐸�
(�2)�=��
解:BE,EF,DF存在的数量关系为.
理由如下:��=��+��
延长CB至M,使,连接AM,
则𝐵.=��
在∠�𝐵=和∠�=9中0°
△�𝐵△���
,
��=��
∠�𝐵=∠�
∴,
𝐵=��
∴△�𝐵≌,△���𝐸�.
∵��=��∠,���=∠𝐸�
∴∠𝐸�=45°.
∴∠�M�A�E+=∠∠F�A�E�,=∠𝐸�+∠𝐸�=45°
在和中
△�𝐵△���
,
��=��
∠���=∠𝐸�
∴,
��=��
∴△EM�=�E�F,≌△���𝐸�
∵EM=BE+BM,
∴;
��=��+��
(3)
解:过点H作于点N,
则�.�⊥��
∵∠���=,90°
∴𝐺⊥��,
∴∠���=∠���.=90°
在∠�𝐴=和∠𝐸�中
△���△𝐻�
第2页共68页.
,
∠���=∠𝐻�
∠𝐸�=∠�𝐺
∴,
��=𝐺
∴△���≌△.𝐻����
∵��=��,,
∴∠�𝐻=45,°∠���=90°
��
∴sin45°=��,
2
由(��2)=知2,𝐺.
2
��=��+��=��+��=2�+�
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,特殊角的三角函数值,
作出辅助线,构建三角形全等是解答关键.
【例2】(2022·辽宁丹东·中考真题)已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点(点E
不与点B重合),连接AE,以AE为一边构造矩形AEFG(A,E,F,G按逆时针方向排列),
连接DG.
(1)如图1,当==1时,请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系;
����
(2)如图2,当��=��=2时,请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系,并说明理
����
由;����
(3)如图3,在(2)的条件下,连接BG,EG,分别取线段BG,EG的中点M,N,连接MN,
MD,ND,若AB=,∠AEB=45°,请直接写出△MND的面积.
【答案】(1)BE=DG,5BE⊥DG
(2)BE=,BE⊥DG,理由见解析
1
(3)SMN2G�=�
9
△
4
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【分析】(1)证明△BAE≌△DAG,进一步得出结论;
(2)证明BAE∽△DAG,进一步得出结论;
(3)解斜三角形ABE,求得BE=3,根据(2)可得DG=6,从而得出三角形BEG
��
的面积,可证得△MND≌△MNG,△MNG与△B�E�G=的2面积比等于1:4,进而求得结果.
(1)
解:由题意得:四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAD﹣∠DAE=∠EAG﹣∠DAE,
∴∠BAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG(SAS),
∴BE=DG,∠ABE=∠ADG,
∴∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°,
∴∠BDG=90°,
∴BE⊥DG;
(2)
BE=,BE⊥DG,理由如下:
1
由(12)��得:∠BAE=∠DAG,
∵==2,
����
∴△��BA�E�∽△DAG,
∴,∠ABE=∠ADG,
����
∴∠��A=D�G�+=∠2ADB=∠ABE+∠ADB=90°,
∴∠BDG=90°,
∴BE⊥DG;
(3)
如图,
作AH⊥BD于H,
第4页共68页.
∵tan∠ABD=,
����
∴设AH=2x,�B�H==�x�,=2
在Rt△ABH中,
x2+(2x)2=()2,
∴BH=1,AH=25,
在Rt△AEH中,
∵tan∠ABE=,
��
∴𝐺,
��°
∴E𝐺H==tAaHn4=52,=1
∴BE=BH+EH=3,
∵BD==5,
2222
∴DE=BD��﹣B+E=��5﹣=3=(2,5)+(25)
由(2)得:,DG⊥BE,
��
∴DG=2BE=��6,=2
∴SBEG===9,
11
△
在Rt△BDG2和��R⋅t�△�DE2G×中3,×点6M是BG的中点,点N是CE的中点,
∴DM=GM=,
11
∵NM=NM,2��,𝐻=𝐻=2��
∴△DMN≌△GMN(SSS),
∵MN是△BEG的中位线,
∴MNBE,
∴△B∥EG∽△MNG,
∴=()2=,
�Δ���𝐵1
���
∴S�MNG=�S�MNG4=SBEG=.
19
△△△
【点睛】本题主要考查4了正方形,4矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判
定和性质等知识,解决问题的关键是类比的方法.
【例3】(2022·湖南益阳·中考真题)如图,矩形ABCD中,AB=15,BC=9,E是CD边上
一点(不与点C重合),作AF⊥BE于F,CG⊥BE于G,延长CG至点C′,使C′G=CG,
连接CF,AC′.
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(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形;
(2)若四边形AFCC′△是平行四边形,求CE的长;
(3)当CE的长为多少时,以C′,F,B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形?
【答案】(1)答案不唯一,如AFB∽△BCE
(2)CE=7.5△
(3)当CE的长为长为或3时,以C′,F,B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形
54
5
【分析】(1)因为AFB是直角三角形,所以和它相似的三角形都是直角三角形,有三个直
角三角形和AFB△相似,解答时任意写出一个即可;
(2)根据△AFB∽△BGC,得,即,设AF=5x,BG=3x,根据
������155
AFB∽△△BCE∽△BGC,列比�例�=式�可�得C�E�的=长9;=3
△(3)分两种情况:①当C'F=BC'时,如图2,②当C'F=BF时,如图3,根据三角形相似
列比例式可得结论.
(1)解:(任意回答一个即可);①如图1,AFB∽△BCE,理由如下:
△
∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB,∠BCE=∠ABC=90°,
∴∠BEC=∠ABF,∵AF⊥BE,∴∠AFB=90°,∴∠AFB=∠BCE=90°,∴△AFB∽△BCE;
②△AFB∽△CGE,理由如下:∵CG⊥BE,∴∠CGE=90°,∴∠CGE=∠AFB,∵∠CEG
=∠ABF,∴△AFB∽△CGE;③△AFB∽△BGC,理由如下:∵∠ABF+∠CBG=
∠CBG+∠BCG=90°,∴∠ABF=∠BCG,∵∠AFB=∠CGB=90°,∴△AFB∽△BGC;
(2)∵四边形AFCC'是平行四边形,∴AF=CC',由(1)知:AFB∽△BGC,∴,
����
即,设AF=5x,BG=3x,∴CC'=AF=5x,∵CG=△C'G,∴CG=C'G=��2.=5x�,�
��155
∵△��A=FB9∽=△3BCE∽△BGC,∴,即,∴CE=7.5;
����2.5���
��=��3�=9
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(3)分两种情况:①当C'F=BC'时,如图2,∵C'G⊥BE,∴BG
=GF,∵CG=C'G,∴四边形BCFC'是菱形,∴CF=CB=9,由(2)知:设AF=5x,BG
=3x,∴BF=6x,∵△AFB∽△BCE,∴,即,∴,∴CE=;②当
����5�6�5�954
��=��9=��6�=��5
C'F=BF时,如图3,由(1)知:AFB∽△BGC,
∴,设BF=5a,CG=3a,∴C'F=5a,∵CG=△C'G,BE⊥CC',∴CF=C'F
����155
=5��a,=∴��F=G=9=3=4a,∵tan∠CBE=,∴,∴CE=3;综上,当
22������3�
CE的长为长为�或�3−时�,�以C′,F,B为顶点的�三�=角�形�是以9C=′F4为�+腰5�的等腰三角形.
54
【点睛】本题是5四边形综合题,考查了矩形的判定和性质,菱形的判定和性质,相似三角形
的判定和性质,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题,属于中考压轴题.
【例4】(2022·四川绵阳·中考真题)如图,平行四边形ABCD中,DB=,AB=4,AD
=2,动点E,F同时从A点出发,点E沿着A→D→B的路线匀速运动,点2F3沿着A→B→D
的路线匀速运动,当点E,F相遇时停止运动.
(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒,点F的速度为4个单位每秒,当运动时间为秒
2
时,设CE与DF交于点P,求线段EP与CP长度的比值;3
(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒,点F的速度为个单位每秒,运动时间为x秒,
ΔAEF的面积为y,求y关于x的函数解析式,并指出当x为3何值时,y的值最大,最大值为
多少?
第7页共68页.
(3)如图3,H在线段AB上且AH=HB,M为DF的中点,当点E、F分别在线段AD、AB
1
上运动时,探究点E、F在什么位置3能使EM=HM.并说明理由.
【答案】(1);
𝐸4
��=9
32
(2)y关于x的函数解析式为4�0≤�≤2;当时,y的最大值为
32334343
�=−4�+2�+2�2≤�≤3�=3
43
;6+23−�−3�3≤�≤23
2
(23+)当3E3F∥BD时,能使EM=HM.理由见解析
【分析】(1)延长DF交CB的延长线于点G,先证得,可得,根据题
����
意可得AF=,AE=,可得到CG=3,再证明△PDE∽△△P�G��C,~△即�可��求解;��=��
82
(2)分三种3情况讨3论:当0≤x≤2时,E点在AD上,F点在AB上;当时,E点在
43
BD上,F点在AB上;当时,点E、F均在BD上,即可求2解≤;�≤3
43
(3)当EF∥BD时,能使E3M≤=�≤H2M.3理由:连接DH,根据直角三角形的性质,即可求解.
(1)
解:如图,延长DF交CB的延长线于点G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,
∴��∥��,
∴△���~,△���
����
∵点��=E�的�速度为1个单位每秒,点F的速度为4个单位每秒,运动时间为秒,
2
∴AF=,AE=,3
82
∵AB=34,AD=32,
∴BF=,ED=,
44
33
第8页共68页.
∴8,
32
4
��
∴B3G==1,
∴CG=3,
∵,
∴△��P∥D��E∽△PGC,
∴,
𝐸��
∴��=�;�
𝐸4
(2��)=9
解:根据题意得:当0≤x≤2时,E点在AD上,F点在AB上,此时AE=x,,
∵,AB=4,AD=2,��=3�
∴��=23,
222
∴△��AB+D��是直=�角�三角形,
∵,
��1
∴∠��A=B2D=30°,
∴∠A=60°,
如图,过点E作交于H,
𝐺⊥��
∴,
°3
∴𝐺=��⋅sin60=2�;
11332
∴�当=x2>×0��时×,𝐺y=随2x×的3增�×大而2�增=大4�,
此时当x=2时,y有最大值3;
当时,E点在BD上,F点在AB上,
43
如图2≤,�≤过3点E作交于N,过点D作交于M,则EN∥DM,
𝐻⊥��𝐵⊥��
根据题意得:DE=x-2,
第9页共68页.
∴,
在�R�t△=2AB3D+中2−,�,AM=1,
∵EN∥DM,𝐵=��⋅sin�=3
∴△BEN∽△BDM,
∴,
𝐻��
∴𝐵=��
𝐻2+23−�
∴3=23,
1
∴𝐻=1+3−2�,
111323+3
此时�=该2函×�数�图×�象�的=2对×称(轴3�为)×直(1线+3−2�)=,−4�+2�
∴当时,y随x的增大而�=增大3+,1
43
此时当2≤�≤3时,y有最大值;
432
当�=3时,点E、F均2在+3BD3上,
43
过点3E≤作�≤23交于Q,过点F作交于P,过点D作DM⊥AB于点M,
𝐸⊥��𝐸⊥��
∴,DA+DE=x,
∵�AB�=+4�,�A=D=32�,
∴,,
∵�PF�∥=2DM3−,�+2��=4+3
∴△BFP∽△BDM,
∴,即,
����3�−4��
∴��=𝐵,23=3
3
∵��=2�−,2
∴△𝐸B/E/Q�∽�△BDM,
∴,即,
��𝐸23+2−�𝐸
∴��=𝐵2,3=3
1
∴𝐸=3+1−2�,
1113
此时�=y2随×�x�的×(增𝐸大−而��减)=小2,×4×(3+1−2�−2�+2)=6+23−1+3�
第10页共68页.
此时当时,y有最大值;
432
�=32+33
32
综上所述:y关于x的函数解析式为4�0≤�≤2
323343
�=−4�+2�+2�2≤�≤3
43
3
当时,y最大值为;6+23−�−3�≤�≤23
432
(3�)=32+33
解:当EF∥BD时,能使EM=HM.理由如下:
连接DH,如图,
∵,AB=4,
1
∴�.�A=H3=�1,�
由(2)得:此时,
∵M是DF的中点�,�⊥��
∴HM=DM=MF,
∵EF∥BD,BD⊥AD,
∴EF⊥AD,
∴EM=DM=FM,
∴EM=HM.
【点睛】本题是四边形的综合题,熟练掌握平行四边形的性质,平行线的性质,直角三角形
的性质,分类讨论,数形结合是解题的关键.
【例5】(2022·上海·中考真题)平行四边形,若为中点,交于点,连接.
��������������
(1)若,
①证明��=��为菱形;
����
第11页共68页.
②若,,求的长.
(2)以��为=圆5心,��=为3半径,��为圆心,为半径作圆,两圆另一交点记为点,
且�.�若�在直线�上,求�的�值.�
��
【答��案=】(21�)①�见解�析;②����
(2)62
10
5
【分析】(1)①连接AC交BD于O,证AOE≌COE(SSS),得∠AOE=∠COE,从而得
∠COE=90°,则AC⊥BD,即可由菱形的△判定定理△得出结论;
②先证点E是ABC的重心,由重心性质得BE=2OE,然后设OE=x,则BE=2x,在RtAOE
中,由勾股定理△,得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中,由勾股定理,得△
OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2,解△得:x=,即可得OB=3x=3,再由平
行四边形性质即可得出BD长;22
(2)由⊙A与⊙B相交于E、F,得AB⊥EF,点E是ABC的重心,又在直线上,则
CG是ABC的中线,则AG=BG=AB,根据重心性质得△GE=CE=AE,C�G=CE+G�E�=AE,
11232
在Rt△AGE中,由勾股定理,得2AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)22=AE22,则AG=AE,所以2
212
AB=2△AG=AE,在RtBGC中,由勾股定理,得BC22=BG2+C2G2=AE2+(2AE)2=5AE2,
132
则BC=A2E,代入即可△求得的值.22
��
(1)5��
①证明:如图,连接AC交BD于O,
∵平行四边形,
∴OA=OC,����
∵AE=CE,OE=OE,
∴△AOE≌COE(SSS),
∴∠AOE=∠△COE,
∵∠AOE+∠COE=180°,
∴∠COE=90°,
第12页共68页.
∴AC⊥BD,
∵平行四边形,
∴四边形�是��菱�形;
②∵OA=O�C�,��
∴OB是ABC的中线,
∵为△中点,
∴�AP是��ABC的中线,
∴点E是△ABC的重心,
∴BE=2OE△,
设OE=x,则BE=2x,
在RtAOE中,由勾股定理,得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,
在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,
∴9-x△2=25-9x2,
解得:x=,
∴OB=3x=32,
∵平行四边形2,
∴BD=2OB=6��;��
(2)2
解:如图,
∵⊙A与⊙B相交于E、F,
∴AB⊥EF,
由(1)②知点E是ABC的重心,
又在直线上,△
∴�CG是A�B�C的中线,
∴AG=BG△=AB,GE=CE,
11
∵CE=AE2,2
∴GE=2AE,CG=CE+GE=AE,
232
22
第13页共68页.
在RtAGE中,由勾股定理,得
AG2=△AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,
21
∴AG=AE,22
2
∴AB=22AG=AE,
在RtBGC中2,由勾股定理,得
BC2=△BG2+CG2=AE2+(AE)2=5AE2,
132
∴BC=AE,22
∴5.
��2��10
【点��睛=】5本��题=考5查平行四边形的性质,菱形的判定,重心的性质,勾股定理,相交两圆的公
共弦的性质,本题属圆与四边形综合题目,掌握相关性质是解题的关键,属是考常考题目.
一、解答题【共20题】
1.(2022·山西实验中学模拟预测)综合与实践:
问题情境:在综合与实践课上,数学老师出示了一道思考题:
如图,在正方形中,是射线上一动点,以为直角边在边的右侧作等腰直角三
角形,使得�����,��,且点恰好�在�射线上.��
���∠���=90°��=�����
(1)如图1,当点在对角线上,点在边上时,那么与之间的数量关系是_________;
探索发现:������𝐸��
第14页共68页.
(2)当点在正方形外部时如图2与图3,(1)中的结论是否还成立?若成立,请利用
图2进行�证明;若�不�成��立,请说明理由;
问题解决:
(3)如图4,在正方形中,,当是对角线的延长线上一动点时,连接,
若,求���的�面积.��=22�����
【答��案=】6(12)△𝐸�;
(2)成立,证明��见=解析2�;�
(3).
16−42
【分析】(1)连接,根据正方形的性质和是等腰直角三角形,证得,
可得,即可��;𝑅△���△�𝐸∼△���
��𝐸
(2)�连�=接��,根据正方形的性质和是等腰直角三角形,证得,可
得,��即可;𝑅△���△�𝐸∼△���
��𝐸
(3��)=连�接�交于点,过点作交直线于点,根据正方形的性质,可得
,再��证得����,可��得⊥𝐸,𝐸�,在中,根据�勾�股=
�定�理=可2得△𝐸�,≅△即可𝐸.�𝐸=����=��=2𝑅△���
【详解】(�1�)=解4:2如−图2,连接,
��
∵四边形是正方形,
∴��,��,
∴��=𝐸∠𝐸�=∠���=9,0°
∴∠�𝐸=∠���=∠,𝐸�=45°
𝐸2
∵cos∠𝐸�是=等��腰=直2角三角形,
∴𝑅△���,
∴∠���=∠�𝐸=45°,
∴∠𝐸�−∠𝐸�,=∠���−∠𝐸�
∴∠𝐸�=∠𝐸�,
∴△�𝐸,∼△���
��𝐸
��=��
第15页共68页.
∴.
𝐸2
即��=2;
故答��案=为:2𝐸;
(2)解:(�1)�=中的2结𝐸论还成立,证明如下:
如图2,连接,
∵四边形��是正方形,
∴����,,
∴��=��=��=𝐸∠𝐸�=,∠���=90°
∴∠�𝐸=∠���=∠,𝐸�=45°
𝐸2
∵cos∠𝐸�是=等��腰=直2角三角形,
∴𝑅△���,
∴∠���=∠�𝐸=45°,
∴∠𝐸�+∠𝐸�,=∠���+∠𝐸�
∴∠𝐸�=∠𝐸�,
∴△�𝐸,∼△���
��𝐸
∴��=��.
𝐸2
即��=2;
��=2𝐸
(3)解:如图4,连接交于点,过点作交直线于点,
��������⊥𝐸𝐸�
∵四边形是正方形,,
������=22
第16页共68页.
∴,,,
∴��=��=2,2∠𝐸�=90°��,⊥��
∴∠���=45°,∠���=∠���=90°,
∴∠𝐸�=,45°∠𝐸�+∠���=90°
∴��=��,
在��=��=中�,�⋅sin45°=2,,
∴𝑅△���∠���=,90°��=��
∴∠���+∠𝐸�,=90°
∵∠𝐸�=,∠𝐸�
∴��⊥��,
∴∠�𝐸=∠���=90°,
∴△𝐸�≅,△𝐸����,
在𝐸=��中�,�由=勾��股=定2理得,,
222
设𝑅△���,��=��+��
∴𝐸=��=�,
2
22
解得6,2=2+�+,2+�(舍去),
即�1=42,−2�2=−42−2
∴��=42−2.
11
【点�△睛𝐸】�本=题2�是�四⋅�边�形=综2合2题+4,考2查−了2全×等4三角2−形2的判=定16与−性4质2,相似三角形的判定与性质,
等腰直角三角形的性质,正方形的性质,勾股定理,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
2.(2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)(1)如图,在正方形中,
是上一动点,将正方形沿着折叠,点落在点处,连接,并1延长交�于��点�.求�
证:��;�����������
(2)△在�(��1)≌△的条��件�下,如图,延长交边于点.若,求的值;
��2𝐺
(3)如图,四边形为矩形2,同样沿��着��折叠,连�接,�延�=长3,𝐺分别交于,
两点,若3���,�则的值为______�__�___.(直接�写�出结果�)�������
��3𝐺4��
��=4,𝐺=5��
【答案】(1)见解析;(2);(3)
117
74
第17页共68页.
【分析】()根据证明三角形全等即可;
()如图1中,连A接AS.根据,求出即可解决问题;
2222
(2)如图2中,连接𝐺.由��+��,=可�以�设+����,
��3𝐺4
根据3相似三3角形的判定�和�性质�可�=得4,𝐺=5,则��=3�,��=4�,𝐺=4,�利,�用�勾=股5�定
理构建方程求解即可.��=12���=��−��=3�−12�
【详解】()证明:如图中,
11
是由折叠得到,
∵△���,△���
∴��⊥��,
∴四∠�边�形�+∠��是�正=方90形°,
∵����,
∴∠�=∠���=90°,
∴∠���+∠���,=90°
∴在∠���=和∠���中,
△���△���
,
∠���=∠�
∠���=∠���
��=��();
∴(△)��解�:≌如△图���中,AA连S接.
22𝐺
,
∵△���≌,△���
∴由�折�叠=可�知�,
��=,��,��=��
∴∠���=∠���
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四边形是正方形,
∵����,
∴��∥��,��=,��
∴∠���=∠���,
∵∠���=∠���,
∴∠���=∠,���
∴��=,��
��2
∵设��=3,则,
��=2���=,��=3�,��=��=2�
∴设��=��−��,=�
��=��=�,
∴由𝐺折=叠可��知−��=2�−�,
∴∠�,��=∠���=90°
∴∠�𝐺=90°,
2222
∴��+(��)=𝐺(+��),
22
22
∴�+或2�(舍=弃)2,�−�+�
∴�=4�0,
∴𝐺=2�−;�=7�
𝐺�1
(∴𝐺)=解7:�=如7图中,连接.
33��
由,
��3𝐺4
设��=4,𝐺=5,
由�(�)=知��=3�,��=4�,,𝐺=4�,��=5�
2�,�=��=5�
∴由�折�叠=可9知�,
��⊥��,
∴∠���+∠,���=90°
∵∠�=90°,
∴∠���+∠���,=90°
∴∠���=∠���
第19页共68页.
,
∵∠���=∠�=9,0°
∴△���∽△���,
������3
∴��=�,�=��=4
9�3
∴��=4,
∴��=12�=��,
∴��=3�−12�
,
∵∠�=∠���=90°
2222
∴(��+)��=(𝐺)+��()(),
2222
∴5�+12或�=4�(舍+弃)3,�−12�
∴�=4�+17�4�−17�,
∴��=3�−12�.=12�+317�−12�=317�
��317�17
∴【�点�睛=】1本2�题=属于4四边形综合题,考查了正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和
性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相
似三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
3.(2022·浙江嘉兴·一模)如图1,已知正方形和正方形,点B、C、E在同一直
线上,,.连接、�.�������
��=�(�>1)��=1����
(1)求图1中、的长(用含m的代数式表示).
(2)如图2,正�方�形��固定不动,将图1中的正方形绕点C逆时针旋转度(
),试探究、����之间的数量关系,并说明理由.�����0°<�≤
9(30)°如图3,在(��2)�条�件下,当点A,F,E在同一直线上时,连接并延长交于点H,
若,求m的值.����
【答𝐺案=】(21)BG=,AF=
22
(2)AF=BG�+12�+2
(3)2
1+3
【分析】(1)延长FG交AB于H,在RtBCG中,由勾股定理,求BG的长,在RtAHG
中,由勾股定理,求AF的长;△△
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(2)连接AC、CF,在等腰RtABC中,由勾股定理,得AC=BC,在等腰RtFGC中,
由勾股定理,得CF=CG,则△,从而可证ACF∽2BCG,得△,
��������
即可得出结论;2��=��=2△△��=��=2
(3)连接AC,证明AHF∽CHA,得,又由正方形,EF=CE=1,
����
可求得CF=△,△即从而求�得�=CH��=CF+FH=+��=�2�,代入得,即
22��2
可求得AH=2,��D+H=�A�D-=AG=2m-2,然后在RtCDH中,由2勾股2定理2,得22=��
,即△求解即可.
222222
�(�1)+𝐺=𝐺�+�−2=22
解:延长FG交AB于H,如图1,
∵正方形和正方形,点B、C、E在同一直线上,
∴∠ABC=�∠��B�CD=∠CGD�=�∠��CGH=90°,AB=BC=m,CG=GF=CE=1,
在RtBCG中,由勾股定理,得
△;
22222
�∴�∠=BH�G�=90+°,��=�+1=�+1
∴四边形BCGH是矩形,∠AHG=90°,
∴GH=BC=m,BH=CG=1,
∴AH=m-1,
在RtAHG中,由勾股定理,得
△;
22222
�(�2)=��+��=�−1+�+1=2�+2
解:连接AC、CF,如图2,
∵正方形和正方形,
��������
第21页共68页.
∴∠ACB=∠FCG=45°,
∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG,
∴∠BCG=∠ACF,
在等腰RtABC中,由勾股定理,得
AC=BC△,
在等腰2RtFGC中,由勾股定理,得
CF=CG△,
∴2,
����
∴��A=CF��∽=B2CG,
∴△△,
����
即�A�F==��B=G;2
(3)2
解:连接AC,如图3,
∵正方形和正方形,
∴∠CAD�=∠��C�FE=45°,C�D��=A�D=BC=m,
∵∠CFE=∠CAF+∠ACF,∠CAD=∠CAF+∠FAH,
∴∠FAH=∠ACF,
∵∠AHF=∠CHA,
∴AHF∽CHA,
∴△,△
����
∵正𝐺方=形��,EF=CE=1,
∴CF=����,
22
∴CH=C�F�+F+H=��+==22,
∴,222
��2
∴A2H2==2,��
∴DH=AD-AG=m-2,
在RtCDH中,由勾股定理,得
△
第22页共68页.
,
222
�即�+𝐺=𝐺
2
22
解得�:+�−2=,22(不符合题意,舍去).
∴m的值�1为=1+3.�2=1−3
【点睛】本题1考+查3正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,熟练掌握正方形的
性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质并能灵活运用是解题的关键.
4.(2022·北京市第十九中学三模)如图,在中,,,是的
中点,是延长线上一点,平移到,△线�段��的中∠垂��线�与=线90段°�的�延>长��线交�于点��,
连接�、��.��𝐺𝐺𝐸�
𝐺��
(1)连接,求证:;
(2)依题意��补全图形,∠�用�等�式=表2∠示�线��段,,之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析����𝐺
(2)图见解析,结论:,理由见解析
222
��+��=𝐺
【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题;
(2)图形如图所示,结论:,想办法证明即可.
222
(1)��+��=𝐺∠���=90°
证明:连接.
��,,
∵∠���=90°�,�=��
∴��=��=��,
∴∠𝐸�=∠�𝐸;
∴(∠2)���=∠𝐸�+∠�𝐸=2∠𝐸�
解:图形如图所示,结论:.
222
理由:连接,,取的��中点+�,�连=接𝐺,,.
����𝐺�������
第23页共68页.
点在的垂直平分线上,
∵�𝐺,
∴��=𝐺,,,
∵��=����,=����=𝐺
∴��=�,�=��
∵四��边∥形𝐺,四边形是平行四边形,
∴�,���,����
∴��∥����∥��,
∴∠���=,∠���=∠𝐸�
∵��∥��,
∴∠���=,∠���=90,°
∵𝐺=��,��=��,
∴��⊥𝐺∠�𝐺=∠,���
∴四∠�边�形�=∠�𝐺四=点90共°圆,
∴�,�,�,�,
∴∠𝐸�=∠�𝐺,
∴∠,���,=∠,��四�点共圆,
∴����,
∴∠���+∠��,�=180°
∴∠���=90°.
222
∴【�点�睛+】�本�题=考�查�作图平移变换,直角三角形斜边上的中线的性质,等腰三角形的性质,
线段的垂直平分线的性质−,平行四边形的判定与性质,圆周角的性质等知识,解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
5.(2022·浙江绍兴·一模)如图①,在正方形中,点E与点F分别在线段上,
且四边形是正方形.������,��
����
第24页共68页.
(1)试探究线段与的关系,并说明理由.
(2)如图②若将条��件中��的四边形与四边形由正方形改为矩形,,.
①线段在(1)中的关系�仍�然��成立吗?若�成��立�,请证明,若不成立,��请=写3出�你�=认4为正
确的关系��,,�并�说明理由.
②当为等腰三角形时,求的长.
【答案△�】�(�1),理由��见解析
(2)①位置关系��保=持��不,�变�⊥,�数�量关系变为;理由见解析;②当为等腰三角形时,
��3
的长为或或.��=4△�����
32115
2208
【分析】(1)如图1,根据证明,可得,及,则,
∘
所以;SAS△���≅△�����=��∠���=90��⊥��
(2)�①�⊥如�图�2,连接交于点O,连接,根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的
性质得:��,��,可知��在以点O为圆心的圆上,根据直径所对的圆
周角是直�角�得=��=��=�,�=再�证�明�,�,�,�,�,得;
°����3
②先根据∠,��设�=90△,���∼△�����=��=4
��3
分三种情况��:=4��=3�
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