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文档简介

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题25以四边形为载体的几何综合问题

【例1】(2022·贵州黔西·中考真题)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边

上的点(点E不与点B,C重合),且.

∠𝐸�=45°

(1)当时,求证:;

(2)猜想��B=E,��EF,DF三条�线�段=之��间存在的数量关系,并证明你的结论;

(3)如图2,连接AC,G是CB延长线上一点,,垂足为K,交AC于点H且.若

,,请用含a,b的代数式表�示�E⊥F�的�长.𝐺=��

�【�答=案�】(�1�)见=解�析

(2),见解析

(3)��=��+��

2

2�+�

【分析】(1)先利用正方表的性质求得,,再利用判定三角形全等

的“SAS”求得三角形全等,然后由全等三��角=形�的�性质∠�求=解∠;�=90°

(2)延长CB至M,使,连接AM,先易得,推出,

,进而得𝐵到=��,最△后��利�用≌全△等�三��角�形��的性质求�解�;=��

(∠�3�)�过=点∠H𝐸作�于点△�N�,�易≌得△���𝐸�,进而求出,再根

2

据(2)的结论求��解⊥.��△���≌△𝐻������=2𝐺

(1)

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴,.

在��=�和�∠�=中∠�=90°

△���△���

��=��

∠�=∠�

��=��

第1页共68页.

∴,

∴△���≌;△���𝐸�

(�2)�=��

解:BE,EF,DF存在的数量关系为.

理由如下:��=��+��

延长CB至M,使,连接AM,

则𝐵.=��

在∠�𝐵=和∠�=9中0°

△�𝐵△���

��=��

∠�𝐵=∠�

∴,

𝐵=��

∴△�𝐵≌,△���𝐸�.

∵��=��∠,���=∠𝐸�

∴∠𝐸�=45°.

∴∠�M�A�E+=∠∠F�A�E�,=∠𝐸�+∠𝐸�=45°

在和中

△�𝐵△���

��=��

∠���=∠𝐸�

∴,

��=��

∴△EM�=�E�F,≌△���𝐸�

∵EM=BE+BM,

∴;

��=��+��

(3)

解:过点H作于点N,

则�.�⊥��

∵∠���=,90°

∴𝐺⊥��,

∴∠���=∠���.=90°

在∠�𝐴=和∠𝐸�中

△���△𝐻�

第2页共68页.

∠���=∠𝐻�

∠𝐸�=∠�𝐺

∴,

��=𝐺

∴△���≌△.𝐻����

∵��=��,,

∴∠�𝐻=45,°∠���=90°

��

∴sin45°=��,

2

由(��2)=知2,𝐺.

2

��=��+��=��+��=2�+�

【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,特殊角的三角函数值,

作出辅助线,构建三角形全等是解答关键.

【例2】(2022·辽宁丹东·中考真题)已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点(点E

不与点B重合),连接AE,以AE为一边构造矩形AEFG(A,E,F,G按逆时针方向排列),

连接DG.

(1)如图1,当==1时,请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系;

����

(2)如图2,当��=��=2时,请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系,并说明理

����

由;����

(3)如图3,在(2)的条件下,连接BG,EG,分别取线段BG,EG的中点M,N,连接MN,

MD,ND,若AB=,∠AEB=45°,请直接写出△MND的面积.

【答案】(1)BE=DG,5BE⊥DG

(2)BE=,BE⊥DG,理由见解析

1

(3)SMN2G�=�

9

4

第3页共68页.

【分析】(1)证明△BAE≌△DAG,进一步得出结论;

(2)证明BAE∽△DAG,进一步得出结论;

(3)解斜三角形ABE,求得BE=3,根据(2)可得DG=6,从而得出三角形BEG

��

的面积,可证得△MND≌△MNG,△MNG与△B�E�G=的2面积比等于1:4,进而求得结果.

(1)

解:由题意得:四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,

∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,

∴∠BAD﹣∠DAE=∠EAG﹣∠DAE,

∴∠BAE=∠DAG,

∴△BAE≌△DAG(SAS),

∴BE=DG,∠ABE=∠ADG,

∴∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°,

∴∠BDG=90°,

∴BE⊥DG;

(2)

BE=,BE⊥DG,理由如下:

1

由(12)��得:∠BAE=∠DAG,

∵==2,

����

∴△��BA�E�∽△DAG,

∴,∠ABE=∠ADG,

����

∴∠��A=D�G�+=∠2ADB=∠ABE+∠ADB=90°,

∴∠BDG=90°,

∴BE⊥DG;

(3)

如图,

作AH⊥BD于H,

第4页共68页.

∵tan∠ABD=,

����

∴设AH=2x,�B�H==�x�,=2

在Rt△ABH中,

x2+(2x)2=()2,

∴BH=1,AH=25,

在Rt△AEH中,

∵tan∠ABE=,

��

∴𝐺,

��°

∴E𝐺H==tAaHn4=52,=1

∴BE=BH+EH=3,

∵BD==5,

2222

∴DE=BD��﹣B+E=��5﹣=3=(2,5)+(25)

由(2)得:,DG⊥BE,

��

∴DG=2BE=��6,=2

∴SBEG===9,

11

在Rt△BDG2和��R⋅t�△�DE2G×中3,×点6M是BG的中点,点N是CE的中点,

∴DM=GM=,

11

∵NM=NM,2��,𝐻=𝐻=2��

∴△DMN≌△GMN(SSS),

∵MN是△BEG的中位线,

∴MNBE,

∴△B∥EG∽△MNG,

∴=()2=,

�Δ���𝐵1

���

∴S�MNG=�S�MNG4=SBEG=.

19

△△△

【点睛】本题主要考查4了正方形,4矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判

定和性质等知识,解决问题的关键是类比的方法.

【例3】(2022·湖南益阳·中考真题)如图,矩形ABCD中,AB=15,BC=9,E是CD边上

一点(不与点C重合),作AF⊥BE于F,CG⊥BE于G,延长CG至点C′,使C′G=CG,

连接CF,AC′.

第5页共68页.

(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形;

(2)若四边形AFCC′△是平行四边形,求CE的长;

(3)当CE的长为多少时,以C′,F,B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形?

【答案】(1)答案不唯一,如AFB∽△BCE

(2)CE=7.5△

(3)当CE的长为长为或3时,以C′,F,B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形

54

5

【分析】(1)因为AFB是直角三角形,所以和它相似的三角形都是直角三角形,有三个直

角三角形和AFB△相似,解答时任意写出一个即可;

(2)根据△AFB∽△BGC,得,即,设AF=5x,BG=3x,根据

������155

AFB∽△△BCE∽△BGC,列比�例�=式�可�得C�E�的=长9;=3

△(3)分两种情况:①当C'F=BC'时,如图2,②当C'F=BF时,如图3,根据三角形相似

列比例式可得结论.

(1)解:(任意回答一个即可);①如图1,AFB∽△BCE,理由如下:

∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB,∠BCE=∠ABC=90°,

∴∠BEC=∠ABF,∵AF⊥BE,∴∠AFB=90°,∴∠AFB=∠BCE=90°,∴△AFB∽△BCE;

②△AFB∽△CGE,理由如下:∵CG⊥BE,∴∠CGE=90°,∴∠CGE=∠AFB,∵∠CEG

=∠ABF,∴△AFB∽△CGE;③△AFB∽△BGC,理由如下:∵∠ABF+∠CBG=

∠CBG+∠BCG=90°,∴∠ABF=∠BCG,∵∠AFB=∠CGB=90°,∴△AFB∽△BGC;

(2)∵四边形AFCC'是平行四边形,∴AF=CC',由(1)知:AFB∽△BGC,∴,

����

即,设AF=5x,BG=3x,∴CC'=AF=5x,∵CG=△C'G,∴CG=C'G=��2.=5x�,�

��155

∵△��A=FB9∽=△3BCE∽△BGC,∴,即,∴CE=7.5;

����2.5���

��=��3�=9

第6页共68页.

(3)分两种情况:①当C'F=BC'时,如图2,∵C'G⊥BE,∴BG

=GF,∵CG=C'G,∴四边形BCFC'是菱形,∴CF=CB=9,由(2)知:设AF=5x,BG

=3x,∴BF=6x,∵△AFB∽△BCE,∴,即,∴,∴CE=;②当

����5�6�5�954

��=��9=��6�=��5

C'F=BF时,如图3,由(1)知:AFB∽△BGC,

∴,设BF=5a,CG=3a,∴C'F=5a,∵CG=△C'G,BE⊥CC',∴CF=C'F

����155

=5��a,=∴��F=G=9=3=4a,∵tan∠CBE=,∴,∴CE=3;综上,当

22������3�

CE的长为长为�或�3−时�,�以C′,F,B为顶点的�三�=角�形�是以9C=′F4为�+腰5�的等腰三角形.

54

【点睛】本题是5四边形综合题,考查了矩形的判定和性质,菱形的判定和性质,相似三角形

的判定和性质,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题,属于中考压轴题.

【例4】(2022·四川绵阳·中考真题)如图,平行四边形ABCD中,DB=,AB=4,AD

=2,动点E,F同时从A点出发,点E沿着A→D→B的路线匀速运动,点2F3沿着A→B→D

的路线匀速运动,当点E,F相遇时停止运动.

(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒,点F的速度为4个单位每秒,当运动时间为秒

2

时,设CE与DF交于点P,求线段EP与CP长度的比值;3

(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒,点F的速度为个单位每秒,运动时间为x秒,

ΔAEF的面积为y,求y关于x的函数解析式,并指出当x为3何值时,y的值最大,最大值为

多少?

第7页共68页.

(3)如图3,H在线段AB上且AH=HB,M为DF的中点,当点E、F分别在线段AD、AB

1

上运动时,探究点E、F在什么位置3能使EM=HM.并说明理由.

【答案】(1);

𝐸4

��=9

32

(2)y关于x的函数解析式为4�0≤�≤2;当时,y的最大值为

32334343

�=−4�+2�+2�2≤�≤3�=3

43

;6+23−�−3�3≤�≤23

2

(23+)当3E3F∥BD时,能使EM=HM.理由见解析

【分析】(1)延长DF交CB的延长线于点G,先证得,可得,根据题

����

意可得AF=,AE=,可得到CG=3,再证明△PDE∽△△P�G��C,~△即�可��求解;��=��

82

(2)分三种3情况讨3论:当0≤x≤2时,E点在AD上,F点在AB上;当时,E点在

43

BD上,F点在AB上;当时,点E、F均在BD上,即可求2解≤;�≤3

43

(3)当EF∥BD时,能使E3M≤=�≤H2M.3理由:连接DH,根据直角三角形的性质,即可求解.

(1)

解:如图,延长DF交CB的延长线于点G,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴,

∴��∥��,

∴△���~,△���

����

∵点��=E�的�速度为1个单位每秒,点F的速度为4个单位每秒,运动时间为秒,

2

∴AF=,AE=,3

82

∵AB=34,AD=32,

∴BF=,ED=,

44

33

第8页共68页.

∴8,

32

4

��

∴B3G==1,

∴CG=3,

∵,

∴△��P∥D��E∽△PGC,

∴,

𝐸��

∴��=�;�

𝐸4

(2��)=9

解:根据题意得:当0≤x≤2时,E点在AD上,F点在AB上,此时AE=x,,

∵,AB=4,AD=2,��=3�

∴��=23,

222

∴△��AB+D��是直=�角�三角形,

∵,

��1

∴∠��A=B2D=30°,

∴∠A=60°,

如图,过点E作交于H,

𝐺⊥��

∴,

°3

∴𝐺=��⋅sin60=2�;

11332

∴�当=x2>×0��时×,𝐺y=随2x×的3增�×大而2�增=大4�,

此时当x=2时,y有最大值3;

当时,E点在BD上,F点在AB上,

43

如图2≤,�≤过3点E作交于N,过点D作交于M,则EN∥DM,

𝐻⊥��𝐵⊥��

根据题意得:DE=x-2,

第9页共68页.

∴,

在�R�t△=2AB3D+中2−,�,AM=1,

∵EN∥DM,𝐵=��⋅sin�=3

∴△BEN∽△BDM,

∴,

𝐻��

∴𝐵=��

𝐻2+23−�

∴3=23,

1

∴𝐻=1+3−2�,

111323+3

此时�=该2函×�数�图×�象�的=2对×称(轴3�为)×直(1线+3−2�)=,−4�+2�

∴当时,y随x的增大而�=增大3+,1

43

此时当2≤�≤3时,y有最大值;

432

当�=3时,点E、F均2在+3BD3上,

43

过点3E≤作�≤23交于Q,过点F作交于P,过点D作DM⊥AB于点M,

𝐸⊥��𝐸⊥��

∴,DA+DE=x,

∵�AB�=+4�,�A=D=32�,

∴,,

∵�PF�∥=2DM3−,�+2��=4+3

∴△BFP∽△BDM,

∴,即,

����3�−4��

∴��=𝐵,23=3

3

∵��=2�−,2

∴△𝐸B/E/Q�∽�△BDM,

∴,即,

��𝐸23+2−�𝐸

∴��=𝐵2,3=3

1

∴𝐸=3+1−2�,

1113

此时�=y2随×�x�的×(增𝐸大−而��减)=小2,×4×(3+1−2�−2�+2)=6+23−1+3�

第10页共68页.

此时当时,y有最大值;

432

�=32+33

32

综上所述:y关于x的函数解析式为4�0≤�≤2

323343

�=−4�+2�+2�2≤�≤3

43

3

当时,y最大值为;6+23−�−3�≤�≤23

432

(3�)=32+33

解:当EF∥BD时,能使EM=HM.理由如下:

连接DH,如图,

∵,AB=4,

1

∴�.�A=H3=�1,�

由(2)得:此时,

∵M是DF的中点�,�⊥��

∴HM=DM=MF,

∵EF∥BD,BD⊥AD,

∴EF⊥AD,

∴EM=DM=FM,

∴EM=HM.

【点睛】本题是四边形的综合题,熟练掌握平行四边形的性质,平行线的性质,直角三角形

的性质,分类讨论,数形结合是解题的关键.

【例5】(2022·上海·中考真题)平行四边形,若为中点,交于点,连接.

��������������

(1)若,

①证明��=��为菱形;

����

第11页共68页.

②若,,求的长.

(2)以��为=圆5心,��=为3半径,��为圆心,为半径作圆,两圆另一交点记为点,

且�.�若�在直线�上,求�的�值.�

��

【答��案=】(21�)①�见解�析;②����

(2)62

10

5

【分析】(1)①连接AC交BD于O,证AOE≌COE(SSS),得∠AOE=∠COE,从而得

∠COE=90°,则AC⊥BD,即可由菱形的△判定定理△得出结论;

②先证点E是ABC的重心,由重心性质得BE=2OE,然后设OE=x,则BE=2x,在RtAOE

中,由勾股定理△,得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中,由勾股定理,得△

OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2,解△得:x=,即可得OB=3x=3,再由平

行四边形性质即可得出BD长;22

(2)由⊙A与⊙B相交于E、F,得AB⊥EF,点E是ABC的重心,又在直线上,则

CG是ABC的中线,则AG=BG=AB,根据重心性质得△GE=CE=AE,C�G=CE+G�E�=AE,

11232

在Rt△AGE中,由勾股定理,得2AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)22=AE22,则AG=AE,所以2

212

AB=2△AG=AE,在RtBGC中,由勾股定理,得BC22=BG2+C2G2=AE2+(2AE)2=5AE2,

132

则BC=A2E,代入即可△求得的值.22

��

(1)5��

①证明:如图,连接AC交BD于O,

∵平行四边形,

∴OA=OC,����

∵AE=CE,OE=OE,

∴△AOE≌COE(SSS),

∴∠AOE=∠△COE,

∵∠AOE+∠COE=180°,

∴∠COE=90°,

第12页共68页.

∴AC⊥BD,

∵平行四边形,

∴四边形�是��菱�形;

②∵OA=O�C�,��

∴OB是ABC的中线,

∵为△中点,

∴�AP是��ABC的中线,

∴点E是△ABC的重心,

∴BE=2OE△,

设OE=x,则BE=2x,

在RtAOE中,由勾股定理,得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,

在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,

∴9-x△2=25-9x2,

解得:x=,

∴OB=3x=32,

∵平行四边形2,

∴BD=2OB=6��;��

(2)2

解:如图,

∵⊙A与⊙B相交于E、F,

∴AB⊥EF,

由(1)②知点E是ABC的重心,

又在直线上,△

∴�CG是A�B�C的中线,

∴AG=BG△=AB,GE=CE,

11

∵CE=AE2,2

∴GE=2AE,CG=CE+GE=AE,

232

22

第13页共68页.

在RtAGE中,由勾股定理,得

AG2=△AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,

21

∴AG=AE,22

2

∴AB=22AG=AE,

在RtBGC中2,由勾股定理,得

BC2=△BG2+CG2=AE2+(AE)2=5AE2,

132

∴BC=AE,22

∴5.

��2��10

【点��睛=】5本��题=考5查平行四边形的性质,菱形的判定,重心的性质,勾股定理,相交两圆的公

共弦的性质,本题属圆与四边形综合题目,掌握相关性质是解题的关键,属是考常考题目.

一、解答题【共20题】

1.(2022·山西实验中学模拟预测)综合与实践:

问题情境:在综合与实践课上,数学老师出示了一道思考题:

如图,在正方形中,是射线上一动点,以为直角边在边的右侧作等腰直角三

角形,使得�����,��,且点恰好�在�射线上.��

���∠���=90°��=�����

(1)如图1,当点在对角线上,点在边上时,那么与之间的数量关系是_________;

探索发现:������𝐸��

第14页共68页.

(2)当点在正方形外部时如图2与图3,(1)中的结论是否还成立?若成立,请利用

图2进行�证明;若�不�成��立,请说明理由;

问题解决:

(3)如图4,在正方形中,,当是对角线的延长线上一动点时,连接,

若,求���的�面积.��=22�����

【答��案=】6(12)△𝐸�;

(2)成立,证明��见=解析2�;�

(3).

16−42

【分析】(1)连接,根据正方形的性质和是等腰直角三角形,证得,

可得,即可��;𝑅△���△�𝐸∼△���

��𝐸

(2)�连�=接��,根据正方形的性质和是等腰直角三角形,证得,可

得,��即可;𝑅△���△�𝐸∼△���

��𝐸

(3��)=连�接�交于点,过点作交直线于点,根据正方形的性质,可得

,再��证得����,可��得⊥𝐸,𝐸�,在中,根据�勾�股=

�定�理=可2得△𝐸�,≅△即可𝐸.�𝐸=����=��=2𝑅△���

【详解】(�1�)=解4:2如−图2,连接,

��

∵四边形是正方形,

∴��,��,

∴��=𝐸∠𝐸�=∠���=9,0°

∴∠�𝐸=∠���=∠,𝐸�=45°

𝐸2

∵cos∠𝐸�是=等��腰=直2角三角形,

∴𝑅△���,

∴∠���=∠�𝐸=45°,

∴∠𝐸�−∠𝐸�,=∠���−∠𝐸�

∴∠𝐸�=∠𝐸�,

∴△�𝐸,∼△���

��𝐸

��=��

第15页共68页.

∴.

𝐸2

即��=2;

故答��案=为:2𝐸;

(2)解:(�1)�=中的2结𝐸论还成立,证明如下:

如图2,连接,

∵四边形��是正方形,

∴����,,

∴��=��=��=𝐸∠𝐸�=,∠���=90°

∴∠�𝐸=∠���=∠,𝐸�=45°

𝐸2

∵cos∠𝐸�是=等��腰=直2角三角形,

∴𝑅△���,

∴∠���=∠�𝐸=45°,

∴∠𝐸�+∠𝐸�,=∠���+∠𝐸�

∴∠𝐸�=∠𝐸�,

∴△�𝐸,∼△���

��𝐸

∴��=��.

𝐸2

即��=2;

��=2𝐸

(3)解:如图4,连接交于点,过点作交直线于点,

��������⊥𝐸𝐸�

∵四边形是正方形,,

������=22

第16页共68页.

∴,,,

∴��=��=2,2∠𝐸�=90°��,⊥��

∴∠���=45°,∠���=∠���=90°,

∴∠𝐸�=,45°∠𝐸�+∠���=90°

∴��=��,

在��=��=中�,�⋅sin45°=2,,

∴𝑅△���∠���=,90°��=��

∴∠���+∠𝐸�,=90°

∵∠𝐸�=,∠𝐸�

∴��⊥��,

∴∠�𝐸=∠���=90°,

∴△𝐸�≅,△𝐸����,

在𝐸=��中�,�由=勾��股=定2理得,,

222

设𝑅△���,��=��+��

∴𝐸=��=�,

2

22

解得6,2=2+�+,2+�(舍去),

即�1=42,−2�2=−42−2

∴��=42−2.

11

【点�△睛𝐸】�本=题2�是�四⋅�边�形=综2合2题+4,考2查−了2全×等4三角2−形2的判=定16与−性4质2,相似三角形的判定与性质,

等腰直角三角形的性质,正方形的性质,勾股定理,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

2.(2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)(1)如图,在正方形中,

是上一动点,将正方形沿着折叠,点落在点处,连接,并1延长交�于��点�.求�

证:��;�����������

(2)△在�(��1)≌△的条��件�下,如图,延长交边于点.若,求的值;

��2𝐺

(3)如图,四边形为矩形2,同样沿��着��折叠,连�接,�延�=长3,𝐺分别交于,

两点,若3���,�则的值为______�__�___.(直接�写�出结果�)�������

��3𝐺4��

��=4,𝐺=5��

【答案】(1)见解析;(2);(3)

117

74

第17页共68页.

【分析】()根据证明三角形全等即可;

()如图1中,连A接AS.根据,求出即可解决问题;

2222

(2)如图2中,连接𝐺.由��+��,=可�以�设+����,

��3𝐺4

根据3相似三3角形的判定�和�性质�可�=得4,𝐺=5,则��=3�,��=4�,𝐺=4,�利,�用�勾=股5�定

理构建方程求解即可.��=12���=��−��=3�−12�

【详解】()证明:如图中,

11

是由折叠得到,

∵△���,△���

∴��⊥��,

∴四∠�边�形�+∠��是�正=方90形°,

∵����,

∴∠�=∠���=90°,

∴∠���+∠���,=90°

∴在∠���=和∠���中,

△���△���

∠���=∠�

∠���=∠���

��=��();

∴(△)��解�:≌如△图���中,AA连S接.

22𝐺

∵△���≌,△���

∴由�折�叠=可�知�,

��=,��,��=��

∴∠���=∠���

第18页共68页.

四边形是正方形,

∵����,

∴��∥��,��=,��

∴∠���=∠���,

∵∠���=∠���,

∴∠���=∠,���

∴��=,��

��2

∵设��=3,则,

��=2���=,��=3�,��=��=2�

∴设��=��−��,=�

��=��=�,

∴由𝐺折=叠可��知−��=2�−�,

∴∠�,��=∠���=90°

∴∠�𝐺=90°,

2222

∴��+(��)=𝐺(+��),

22

22

∴�+或2�(舍=弃)2,�−�+�

∴�=4�0,

∴𝐺=2�−;�=7�

𝐺�1

(∴𝐺)=解7:�=如7图中,连接.

33��

由,

��3𝐺4

设��=4,𝐺=5,

由�(�)=知��=3�,��=4�,,𝐺=4�,��=5�

2�,�=��=5�

∴由�折�叠=可9知�,

��⊥��,

∴∠���+∠,���=90°

∵∠�=90°,

∴∠���+∠���,=90°

∴∠���=∠���

第19页共68页.

∵∠���=∠�=9,0°

∴△���∽△���,

������3

∴��=�,�=��=4

9�3

∴��=4,

∴��=12�=��,

∴��=3�−12�

∵∠�=∠���=90°

2222

∴(��+)��=(𝐺)+��()(),

2222

∴5�+12或�=4�(舍+弃)3,�−12�

∴�=4�+17�4�−17�,

∴��=3�−12�.=12�+317�−12�=317�

��317�17

∴【�点�睛=】1本2�题=属于4四边形综合题,考查了正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和

性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相

似三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.

3.(2022·浙江嘉兴·一模)如图1,已知正方形和正方形,点B、C、E在同一直

线上,,.连接、�.�������

��=�(�>1)��=1����

(1)求图1中、的长(用含m的代数式表示).

(2)如图2,正�方�形��固定不动,将图1中的正方形绕点C逆时针旋转度(

),试探究、����之间的数量关系,并说明理由.�����0°<�≤

9(30)°如图3,在(��2)�条�件下,当点A,F,E在同一直线上时,连接并延长交于点H,

若,求m的值.����

【答𝐺案=】(21)BG=,AF=

22

(2)AF=BG�+12�+2

(3)2

1+3

【分析】(1)延长FG交AB于H,在RtBCG中,由勾股定理,求BG的长,在RtAHG

中,由勾股定理,求AF的长;△△

第20页共68页.

(2)连接AC、CF,在等腰RtABC中,由勾股定理,得AC=BC,在等腰RtFGC中,

由勾股定理,得CF=CG,则△,从而可证ACF∽2BCG,得△,

��������

即可得出结论;2��=��=2△△��=��=2

(3)连接AC,证明AHF∽CHA,得,又由正方形,EF=CE=1,

����

可求得CF=△,△即从而求�得�=CH��=CF+FH=+��=�2�,代入得,即

22��2

可求得AH=2,��D+H=�A�D-=AG=2m-2,然后在RtCDH中,由2勾股2定理2,得22=��

,即△求解即可.

222222

�(�1)+𝐺=𝐺�+�−2=22

解:延长FG交AB于H,如图1,

∵正方形和正方形,点B、C、E在同一直线上,

∴∠ABC=�∠��B�CD=∠CGD�=�∠��CGH=90°,AB=BC=m,CG=GF=CE=1,

在RtBCG中,由勾股定理,得

△;

22222

�∴�∠=BH�G�=90+°,��=�+1=�+1

∴四边形BCGH是矩形,∠AHG=90°,

∴GH=BC=m,BH=CG=1,

∴AH=m-1,

在RtAHG中,由勾股定理,得

△;

22222

�(�2)=��+��=�−1+�+1=2�+2

解:连接AC、CF,如图2,

∵正方形和正方形,

��������

第21页共68页.

∴∠ACB=∠FCG=45°,

∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG,

∴∠BCG=∠ACF,

在等腰RtABC中,由勾股定理,得

AC=BC△,

在等腰2RtFGC中,由勾股定理,得

CF=CG△,

∴2,

����

∴��A=CF��∽=B2CG,

∴△△,

����

即�A�F==��B=G;2

(3)2

解:连接AC,如图3,

∵正方形和正方形,

∴∠CAD�=∠��C�FE=45°,C�D��=A�D=BC=m,

∵∠CFE=∠CAF+∠ACF,∠CAD=∠CAF+∠FAH,

∴∠FAH=∠ACF,

∵∠AHF=∠CHA,

∴AHF∽CHA,

∴△,△

����

∵正𝐺方=形��,EF=CE=1,

∴CF=����,

22

∴CH=C�F�+F+H=��+==22,

∴,222

��2

∴A2H2==2,��

∴DH=AD-AG=m-2,

在RtCDH中,由勾股定理,得

第22页共68页.

222

�即�+𝐺=𝐺

2

22

解得�:+�−2=,22(不符合题意,舍去).

∴m的值�1为=1+3.�2=1−3

【点睛】本题1考+查3正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,熟练掌握正方形的

性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质并能灵活运用是解题的关键.

4.(2022·北京市第十九中学三模)如图,在中,,,是的

中点,是延长线上一点,平移到,△线�段��的中∠垂��线�与=线90段°�的�延>长��线交�于点��,

连接�、��.��𝐺𝐺𝐸�

𝐺��

(1)连接,求证:;

(2)依题意��补全图形,∠�用�等�式=表2∠示�线��段,,之间的数量关系,并证明.

【答案】(1)见解析����𝐺

(2)图见解析,结论:,理由见解析

222

��+��=𝐺

【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题;

(2)图形如图所示,结论:,想办法证明即可.

222

(1)��+��=𝐺∠���=90°

证明:连接.

��,,

∵∠���=90°�,�=��

∴��=��=��,

∴∠𝐸�=∠�𝐸;

∴(∠2)���=∠𝐸�+∠�𝐸=2∠𝐸�

解:图形如图所示,结论:.

222

理由:连接,,取的��中点+�,�连=接𝐺,,.

����𝐺�������

第23页共68页.

点在的垂直平分线上,

∵�𝐺,

∴��=𝐺,,,

∵��=����,=����=𝐺

∴��=�,�=��

∵四��边∥形𝐺,四边形是平行四边形,

∴�,���,����

∴��∥����∥��,

∴∠���=,∠���=∠𝐸�

∵��∥��,

∴∠���=,∠���=90,°

∵𝐺=��,��=��,

∴��⊥𝐺∠�𝐺=∠,���

∴四∠�边�形�=∠�𝐺四=点90共°圆,

∴�,�,�,�,

∴∠𝐸�=∠�𝐺,

∴∠,���,=∠,��四�点共圆,

∴����,

∴∠���+∠��,�=180°

∴∠���=90°.

222

∴【�点�睛+】�本�题=考�查�作图平移变换,直角三角形斜边上的中线的性质,等腰三角形的性质,

线段的垂直平分线的性质−,平行四边形的判定与性质,圆周角的性质等知识,解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

5.(2022·浙江绍兴·一模)如图①,在正方形中,点E与点F分别在线段上,

且四边形是正方形.������,��

����

第24页共68页.

(1)试探究线段与的关系,并说明理由.

(2)如图②若将条��件中��的四边形与四边形由正方形改为矩形,,.

①线段在(1)中的关系�仍�然��成立吗?若�成��立�,请证明,若不成立,��请=写3出�你�=认4为正

确的关系��,,�并�说明理由.

②当为等腰三角形时,求的长.

【答案△�】�(�1),理由��见解析

(2)①位置关系��保=持��不,�变�⊥,�数�量关系变为;理由见解析;②当为等腰三角形时,

��3

的长为或或.��=4△�����

32115

2208

【分析】(1)如图1,根据证明,可得,及,则,

所以;SAS△���≅△�����=��∠���=90��⊥��

(2)�①�⊥如�图�2,连接交于点O,连接,根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的

性质得:��,��,可知��在以点O为圆心的圆上,根据直径所对的圆

周角是直�角�得=��=��=�,�=再�证�明�,�,�,�,�,得;

°����3

②先根据∠,��设�=90△,���∼△�����=��=4

��3

分三种情况��:=4��=3�

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