【教案】定义、命题、定理（教学设计）七年级数学下册（人教版2024）

7.3定义、命题、定理教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第七章“相交线与平行线”7.3定义、命题、定理，内容包括：通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实例，会区分命题的题设和结论；知道证明的意义和证明的必要性；会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．2.内容解析本节课从以往的学习内容出发，指出了数学对象的定义和命题的概念，包括命题的结构和命题的真假；再从真命题出发，指出了定理和证明的概念，并以“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，呈现了一个完整的用符号语言表述的证明过程，来说明什么是证明．并结合一个反例，说明“相等的角是对顶角”是假命题，让学生理解通过反例判断假命题的方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：对命题结构的认识和理解证明要步步有据.二、目标和目标解析1.目标（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实例，会区分命题的题设和结论.（2）知道证明的意义和证明的必要性；知道数学思维要合乎逻辑；会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．（3）经历几何命题的证明过程，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世界；经历确立几何命题的过程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会用数学的语言表达现实世界．2.目标解析（1）从学生以往的学习内容出发，引导学生观察、分析，归纳出定义和命题的特征，通过对不同命题的分析，让学生准确指出题设和结论，加深对命题结构的理解，为后续学习命题的真假判断和证明奠定基础.（2）以简单的几何命题证明为例，详细讲解综合法的证明格式，从题设出发，一步步推导出结论，使学生理解证明的逻辑过程和书写规范.同时，通过给出一些假命题，让学生寻找反例，明白反例在判断命题真假中的作用，培养学生严谨的思维习惯.（3）通过巩固练习让学生经历完整的证明过程，从已知条件出发，运用已学的定理、定义进行推理，逐步提升学生的逻辑推理能力.在命题的提出和证明过程中，引导学生用准确、精炼的数学语言进行表述，强化学生数学语言表达能力，体会数学与现实世界的联系，学会用数学思维解决实际问题.三、教学问题诊断分析1.证明思路的构建：在证明过程中，学生往往难以从已知条件出发，找到合适的定理和方法来推导结论，缺乏逻辑推理的方向感.尤其是对于较为复杂的几何图形，学生可能无法准确识别图形中的隐含条件和等量关系，导致证明过程中断.2.反例的构造：对于假命题，学生可能不知道如何快速、有效地构造反例，缺乏对反例本质的理解，即找到满足题设但不满足结论的具体情况.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握综合法证明的逻辑顺序和方法，能够清晰、严谨地进行书面证明表达.四、教学过程设计（一）复习引入问题根据以往学过的内容填空.（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解；（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线；（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.这样的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征.追问你能再举出一些学过的定义的例子吗？（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值.（2）求几个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.（3）由数或字母的积组成的代数式，叫作单项式.（4）含有未知数的等式叫作方程.（5）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.（6）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线.设计意图：让学生举出一些学过的定义的例子，能促使学生进一步理解定义所揭示的数学对象的本质属性，强化对定义概念的认识.同时，举例的过程是对已学知识的一次回顾和巩固.学生所举的例子也是教师了解学生对定义掌握程度的一个重要依据.（二）合作探究探究1判断下列语句是否正确.（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；（√）（2）对顶角相等；（√）（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（√）（4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（√）（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（×）像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫作命题.被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.追问1判断下列语句是不是命题，如果是，请判断它们的真假.（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（真命题）（2）取线段AB的中点C.（不是命题）（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（假命题）（4）两点确定一条直线.（真命题）（5）当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行.（假命题）（6）过直线外一点作已知直线的垂线.（不是命题）（7）对顶角相等吗？（不是命题）追问2你能再举出一些学过的真命题的例子吗？（1）互为相反数的两个数相加得0.（2）两点之间，线段最短.（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（4）同位角相等，两直线平行.（5）两直线平行，内错角相等.......探究2请同学们观察下列命题，并思考命题是由几部分组成的.与同伴交流.（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（4）同位角相等，两直线平行.（5）如果两个角互补，那么它们是邻补角.数学中的命题常可以写成“如果......那么......”的形式.命题由题设和结论两部分组成.“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.探究2你能将下列命题写成“如果+题设，那么+结论”的形式吗？（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；（2）对顶角相等；（3）互为相反数的两个数的绝对值相等；（4）绝对值相等的两个数互为相反数；（5）两直线平行，内错角相等.改写后：（1）如果在一个等式的两边加上同一个数，那么所得的结果仍相等；（真命题）（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）（3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；（真命题）（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；（假命题）（5）如果两条直线平行，那么内错角相等.（真命题）追问从题设和结论的角度，如何理解真命题和假命题？如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是真命题.如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是假命题.巩固练习：指出下列命题的题设和结论.（1）若a=b，则5a=5b.（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°.（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.（4）两直线平行，同位角相等.探究3下列真命题，它们的正确性是经过推理证实的吗？（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（关于平行线的基本事实）（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（经过推理证实）（3）同位角相等，两直线平行；（判定两条直线平行的基本事实）（4）内错角相等，两直线平行.（经过推理证实）(1)(3)的正确性是经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的，这样的真命题叫作基本事实.基本事实是推理的原始依据.(2)(4)的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.追问你能再举出一些学过的基本事实和定理的例子吗？基本事实：（1）等式两边可以交换.（2）相等关系可以传递.（3）两点确定一条直线.（4）两点之间线段最短.（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.......定理：（1）同角(等角)的余角相等.（2）同角(等角)的补角相等.（3）对顶角相等.（4）同旁内角互补，两直线平行.（5）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.......在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明.设计意图：理解命题的结构有助于学生搭建起推理证明的逻辑框架.题设为学生提供了推理的出发点和依据，结论则明确了推理的方向和终点，使学生在进行推理证明时能够有条不紊地组织思路，避免盲目猜测和无目的的尝试，从而更高效地完成证明过程.（三）典例分析例1证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”.转化自然语言→符号语言如图，已知直线a⊥b，b∥c.求证a⊥c.证明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定义），∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=90°（等式的基本事实）.∴a⊥c（垂直的定义）.例1图例2图证明的每一步推理都要有依据，不能想当然.依据是已知条件、定义、基本事实、定理等.例2判断命题“相等的角是对顶角”的真假，并说明理由.解：“相等的角是对顶角”是假命题.反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.设计意图：推理证明的过程需要学生依据已知条件、定理、定义等，按照一定的逻辑顺序进行推导，得出结论.在这个过程中，学生的思维会变得更加严谨、有条理，并学会从复杂的问题中梳理出清晰的思路，分析问题和解决问题的能力也会得到提升.（四）巩固练习1.在下面的括号内填上推理的依据.如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.2.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例.解：“同位角相等”是错误的.反例：如图，∠ABC和∠DEF是同位角，但它们不相等.3.完成下面的证明.（1）如图（1），AB∥CD，BC∥ED.求证∠B+∠D=180°.证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)，∵BC∥ED，∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补).∴∠B+∠D=180°.（2）如图（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线.求证∠1=∠2.证明：∵BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠A’B’C’(角平分线的定义又∠ABC=∠A’B’C’，∴12∠ABC=12∠A’B’C∴∠1=∠2(等式的基本事实).4.完成下面的证明．如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE．证明：∵∠D＝∠E(已知)；∴CD∥EF(内错角相等，两直线平行)；∵AB∥EF(已知)；∴AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)；∴∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)；∵∠B+∠D＝180°(已知)；∴∠C+∠D＝180°(等式的基本事实)；∴BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．设计意图：以填空的形式引导学生书写几何证明题的过程，相比直接让学生写出完整的证明过程，具有降低难度，增强信心，引导思路，规范逻辑，及时反馈，突出重点，加深理解等优势.归纳总结

感受中考1.(2022•梧州、盘锦、绥化)下列命题中，假命题是①⑤.①﹣2的绝对值是﹣2； ②对顶角相等；③如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等. 2.(2021•金华)某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（C）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补3.（2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（A）A．﹣2B．﹣1/2C．0D．1/2设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.（七）小结梳理设计意图