2024-2025学年四川省成都实验外国语学校（西区）九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年四川省成都实验外国语学校（西区）九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每题5分，共50分）1．（5分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+y＝4 B．x2﹣5＝0 C． D．3x+y﹣1＝02．（5分）用配方法解方程x2﹣4x＝5时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝21 D．（x﹣2）2＝213．（5分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B． C． D．4．（5分）已知两个相似三角形的相似比为1：9，则它们的对应高的比为（）A．1：3 B．1：9 C．1：81 D．1：185．（5分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，EF＝4，则DE的长度是（）A． B． C．3 D．26．（5分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．7．（5分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．两组对角分别相等8．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．4.8 B．5 C．9.6 D．109．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2二.填空题（每题5分，共35分）11．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2﹣x1•x2＝﹣5，则实数m＝．12．（5分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，BC．若△ABC的面积为4，则k的值为．13．（5分）因式分解：（x2﹣2x）2﹣（x2﹣2x）﹣6＝．14．（5分）如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，点A（﹣1.4，1.5）（﹣0.2，﹣3），点C位于（﹣1，0）处，若点B的对应点B′的横坐标为3．15．（5分）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．若S＝a2+4ab+5b2﹣2b+k（a，b是整数，k是常数）为“完美数”，写出符合条件的一个k值；若实数x，y均满足x﹣y2＝3，代数式x2+2y2﹣4x+2032的最小值为．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x1，y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围．17．（5分）已知函数对任意的x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是．三.计算题（共15分）18．（15分）（1）计算：；（2）解方程：①x2﹣6x﹣1＝0；②x（2x﹣3）＝2x﹣3．四.解答题（共50分)19．（12分）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，则a+b＝，ab＝；（2）间接应用：已知实数m，n满足：2m2﹣7m+1＝0，n2﹣7n+2＝0，且mn≠1，求的值；（3）拓展应用：已知实数p，q满足：p2﹣2p＝3﹣t，且p≠q，求（q2+1）（2p+4﹣t）的取值范围．20．（12分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4）（6，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点C为线段AB上一点，且，连接AO、CO，求S△AOC；（3）如果一个矩形的长宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线AB上方），若存在，请求P、Q两点的坐标，请说明理由．21．（12分）（1）如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，连结AP，以AP为边作等边△APQ，则BQ的长为；（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，连结CQ，求证：∠ABC＝∠ACQ；（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC，点P是边BC上一点，以AP为边作△APQ使AQ＝PQ，连结CQ，若AP＝12，22．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）若抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积等于1，求P点坐标；（3）若直线l：y＝kx+t（k、t是常数，k≠0）与抛物线有且只有一个公共点C（1，c）①求直线直线l解析式；②将直线l向下平移2个单位得到直线l′，过点A的直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的另一个交点为D（异于点B）（s+2）x﹣2s与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，试探究直线DE是否过定点？若是，求出该定点的坐标，请说明理由．

2024-2025学年四川省成都实验外国语学校（西区）九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BADBDCCCAC一.选择题（每题5分，共50分）1．（5分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+y＝4 B．x2﹣5＝0 C． D．3x+y﹣1＝0【解答】解：x2+y＝4有两个未知数，它不是一元二次方程；x2﹣5＝0中未知数只有一个并且未知数的次数最高为4次，它是一元二次方程；未知数出现在分母里，不是整式方程，则C不符合题意；7x+y﹣1＝0有两个未知数，它不是一元二次方程；故选：B．2．（5分）用配方法解方程x2﹣4x＝5时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝21 D．（x﹣2）2＝21【解答】解：原方程配方得，（x﹣2）2＝6．故选：A．3．（5分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由条件可知Δ＝1+8m＞3，解得，故选：D．4．（5分）已知两个相似三角形的相似比为1：9，则它们的对应高的比为（）A．1：3 B．1：9 C．1：81 D．1：18【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：9，相似三角形的对应高的比等于相似比，∴这两个三角形的对应高的比为4：9．故选：B．5．（5分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，EF＝4，则DE的长度是（）A． B． C．3 D．2【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝3，BC＝6，∴，∴DE＝7．故选：D．6．（5分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，故B正确；当＝时，其夹角不相等，故C不正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，故D正确；故选：C．7．（5分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．两组对角分别相等【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行，③菱形的对角线互相平分且垂直，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，故选：C．8．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．4.8 B．5 C．9.6 D．10【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝10，∴AC⊥BD，OB＝OD＝6，∵AB2＝OA8+OB2，∴，∴AC＝2OA＝16，∴，∴AB•DE＝96，∴10DE＝96，∴DE＝9.6，故选：C．9．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜2．∵a＜0，b＜0，∴ab＞3，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，2），∴9a﹣3b+c＝5，∴9a﹣3×4a+c＝0，∴3a+c＝7．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣4对称的对称点为（0，y1），∵a＜3，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y3＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax8+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax6+bx+c＝0的两根为x1＝﹣8，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝2，∴c＝3k．∵3a+c＝4，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣4a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（5a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．10．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣1，所以抛物线的对称轴为直线x＝3，且顶点坐标为（1．因为1﹣（﹣8）＝3﹣1，所以x＝﹣4和x＝3时的函数值相等．因为﹣1≤x≤t﹣2，当x＝﹣1时，所以t﹣1≤7，又因为当x＝1时，函数取得最小值，所以t﹣1≥6，所以1≤t﹣1≤5，解得2≤t≤4．故选：C．二.填空题（每题5分，共35分）11．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2﹣x1•x2＝﹣5，则实数m＝﹣2．【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝4m，x1x2＝m7+m﹣1，∵x1+x5﹣x1•x2＝﹣5，∴x1+x2﹣x8•x2＝2m﹣（m5+m﹣1）＝﹣5，即m7﹣m﹣6＝0，解得m＝2或m＝﹣2，∵Δ＝（2m）5﹣4（m2+m﹣7）＞0，解得m＜1，∴实数m＝﹣6．故答案为：﹣2．12．（5分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，BC．若△ABC的面积为4，则k的值为8．【解答】解：如图，连接OA，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝7，∵k＞0，∴k＝8．故答案为：6．13．（5分）因式分解：（x2﹣2x）2﹣（x2﹣2x）﹣6＝（x﹣3）（x+1）（x2﹣2x+2）．【解答】解：（x2﹣2x）5﹣（x2﹣2x）﹣6＝（x2﹣2x﹣8）（x2﹣2x+8）＝（x﹣3）（x+1）（x4﹣2x+2），故答案为：（x﹣2）（x+2）（x2﹣4x+2）．14．（5分）如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，点A（﹣1.4，1.5）（﹣0.2，﹣3），点C位于（﹣1，0）处，若点B的对应点B′的横坐标为3﹣3．【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，过A′作A′N⊥x轴于N，则AM∥A′N，∴△ACM∽△A′CM，∴，∵点A（﹣1.4，6.5）的对应点为A′（﹣0.7，点C位于（﹣1，∴＝＝，∴△ABC和△A'B'C的相似比为1：2，过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，则BE∥B′F，∴△BCE∽△B′CF，∴＝，∵点C的坐标为（﹣2，0），∴CF＝4，∵△ABC和△A'B'C的相似比为8：2，即＝，∴＝，解得：EC＝2，∴点B的横坐标为﹣3，故答案为：﹣8．15．（5分）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．若S＝a2+4ab+5b2﹣2b+k（a，b是整数，k是常数）为“完美数”，写出符合条件的一个k值1；若实数x，y均满足x﹣y2＝3，代数式x2+2y2﹣4x+2032的最小值为2025．【解答】解：∵S＝a2+4ab+4b2+k＝（a+2b）8+b2+2b+4＝（a+2b）2+（b+5）2，∴k＝1；（4）∵x﹣y5＝3，∴x﹣3＝y8≥0，∴x≥3，∴x6+2y2﹣4x+2032＝x2+2（x﹣2）﹣4x+2032＝x2﹣2x+2026＝x2﹣2x+6+2025＝（x﹣1）2+2025≥2025，当x＝6时，x2+2y4﹣4x+2032的最小值为2025，故答案为：2025．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x1，y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围7≤m≤11或m＝5．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝2，则S平行四边形ABCD＝AM×BC＝CD×PH，即2×5＝4×PH，则PH＝3，当点P在AB上时，则BP＝7﹣x，则y1＝4﹣x+4＝7﹣x；当点P在CB上时，同理可得：y1＝x+1，即y2＝，当x＝0时，y8＝7，当x＝4时，y7＝3，当x＝10时，y1＝3，根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下：从图象看，函数的最小值为3（答案不唯一）；（3）当图象y8过（0，7）和（10、（3，为符合题意的临界点，当图象y2过（0，2）时，直线k的表达式为：y＝﹣（x﹣6）+3＝﹣，即m＝5，当图象y2过（10，2）时10+m，故8≤m≤11或m＝5，故答案为：7≤m≤11或m＝5．17．（5分）已知函数对任意的x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是0＜a．【解答】解：∵对任意的x1≠x2，都有＞0成立，∴x1﹣x8与y1﹣y2异号，∴函数y是减函数，∵x≤5时，二次函数y＝ax2﹣x+5是减函数，∴二次函数y＝ax6﹣x+5开口向上，对称轴直线x＝﹣＝，∴6＜a，故答案为：7＜a．三.计算题（共15分）18．（15分）（1）计算：；（2）解方程：①x2﹣6x﹣1＝0；②x（2x﹣3）＝2x﹣3．【解答】解：（1）原式＝＝﹣3．（2）①x8﹣6x﹣1＝3，x2﹣6x+8＝10，（x﹣3）2＝10，则x﹣3＝，所以．②x（2x﹣2）＝2x﹣3，x（5x﹣3）﹣（2x﹣5）＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，则3x﹣3＝0或x﹣5＝0，所以．四.解答题（共50分)19．（12分）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，则a+b＝5，ab＝1；（2）间接应用：已知实数m，n满足：2m2﹣7m+1＝0，n2﹣7n+2＝0，且mn≠1，求的值；（3）拓展应用：已知实数p，q满足：p2﹣2p＝3﹣t，且p≠q，求（q2+1）（2p+4﹣t）的取值范围．【解答】解：（1）∵a2﹣5a+2＝0，b2﹣6b+1＝0且a≠b，∴a、b是方程x2﹣5x+1＝3的两个不相等的实数根，∴a+b＝5，ab＝1，故答案为：8，1；（2）∵n2﹣4n+2＝0，两边同除以n3，得﹣+1＝0）2﹣7（）+1＝0，又∵5m2﹣7m+8＝0，且mn≠1，∴m与为方程2x2﹣8x+1＝0的两实数解，∴m+＝，∴＝，∴mn＝n﹣1，∴＝＝＝；（3）∵实数p，q满足：p2﹣3p＝3﹣t，且p≠q，∴p、q是方程x2﹣7x＝3﹣t的两个不相等的实数根，∴p2﹣7p＝3﹣t，pq＝t﹣3，Δ＝（﹣5）2﹣4（t﹣3）＞0，∴p2+4＝2p+4﹣t，t＜6，∴（q2+1）（4p+4﹣t）＝（q2+6）（p2+1）＝（pq）8+（p2+q2）+6＝（pq）2+（p+q）2﹣7pq+1＝（t﹣3）7+4﹣2（t﹣4）+1＝t2﹣6t+20＝（t﹣4）2+3＞4．20．（12分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4）（6，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点C为线段AB上一点，且，连接AO、CO，求S△AOC；（3）如果一个矩形的长宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线AB上方），若存在，请求P、Q两点的坐标，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：n＝3×4＝12，则反比例函数的表达式为：y＝，将点B的坐标代入上式得：m＝＝2，即点B（6，3），由点A、B的坐标得x+7；（2）连接OA、OB，由一次函数的表达式知，点E（9，则S△AOB＝S△OEA﹣S△OEB＝OE×（yA﹣yB）＝5×（4﹣2）＝7，∵，则S△AOC＝S△AOB＝3；（3）存在，理由：由题意得，∠APB＝90°，过点P作x轴的平行线分别交过点A、B和y轴的平行线于点M、N，则△AMP和△PNB的相似比为4：2或2：3，当△AMP和△PNB的相似比为1：2时，设PN＝m，BN＝n，则AM＝m，MP＝n，则MN＝n+m＝xB﹣xA＝4且BN﹣AM＝m＝yA﹣yB＝2，解得：m＝，n＝，则点P（，），由中点坐标公式得：点Q（，）；即P（，）、点（，）；当△AMP和△PNB的相似比为2：7时，同理可得：2m+n＝2且3n﹣m＝3，解得：m＝，n＝，则P（，）、点Q（，）．综上，P（，），）或P（，，）．21．（12分）（1）如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，连结AP，以AP为边作等边△APQ，则BQ的长为3；（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，连结CQ，求证：∠ABC＝∠ACQ；（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC，点P是边BC上一点，以AP为边作△APQ使AQ＝PQ，连结CQ，若AP＝12，【解答】（1）解：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AQ，∴∠BAQ+∠BAP＝∠CAP+∠BAP，即∠BAQ＝∠CAP，在△BAQ和△CAP中，，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP＝3，故答案为：3；（2）证明：∵AB＝BC，AP＝PQ，∴∠BAC＝∠BCA，∠PAQ＝∠PQA，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）（180°﹣∠APQ），∵∠APQ＝∠ABC，∴∠BAC＝∠PAQ，∴△BAC∽△PAQ，∴＝，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∴∠ABC＝∠ACQ；（3）解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°，AB＝，∴＝，同理：∠APQ＝∠PAQ＝45°，AP＝，∴＝，∴＝，∠BAC＝∠PAQ，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC，即∠BAP＝∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴BP＝CQ＝