高等数学教程（第4版）课件：定积分在几何上的应用

定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种简便方法--微元法(元素法)下面介绍它在几何,物理和经济等问题上的简单应用.什么量可以用定积分表示出来?

定积分在几何上的应用(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量U.(2)U对于区间[a,b]具有可加性.就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,(3)部分量

的近似值可表示为当所求量U符合下列条件：则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步骤：(1)根据问题的实际意义,确定恰当的坐标系,要部分,(4)求和取极限,得到并画出草图以帮助分析;(2)

确定所求总体量的非均匀分布函数及的变化区间(如);(3)在微小局部

上取得的线性主称为量的微元.

求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.它对应的面积元素dA为即1.直角坐标系下平面图形的面积6.5.1平面图形的面积和平面曲线的弧长

在[a,b]上任取一区间求由曲线和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应小区间解两曲线的交点选

x为积分变量例6.38

计算由两条抛物线

和所围成的图形的面积.面积元素解两曲线的交点选

y为积分变量例6.39计算由曲线

和直线所围成的图形的面积.所求面积面积元素曲边扇形的面积由极坐标方程给出的平面曲线和射线所围成的面积A.曲边扇形2.极坐标系下求平面图形的面积解该图形关于x轴对称性,所围成的图形的公共部分面积.例6.40

求心形线与圆

两曲线在x轴上方的交点为解利用对称性知练习求心形线图形的面积.所围平面设曲线弧L的参数方程为弧长为其中

在上具有连续导数,3.平面曲线的弧长且则称L为光滑曲线.

弧微分设曲线弧的极坐标方程为弧长为其中

在

上具有连续导数.由直角坐标与极坐标的关系可化成参数方程弧微分弧长为曲线的直角坐标方程

也可以看作参数方程

其中在[a,b]上有一阶连续导数.

弧微分解由对称性,星形线的全长是第一象限部分的4倍例6.41求星形线

的全长.1.已知平行截面面积的立体的体积立体体积A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，A(x)为x的已知连续函数.如果一个立体介于过而垂直于x轴的两平面之间，体积元素6.5.2体积问题解取坐标系如图,底圆方程为截面面积立体体积垂直于x轴的截面为直角三角形.例6.42

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角

计算这平面截圆柱体所得立体的体积.底高旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积和侧面积直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴．旋转体的体积为如果旋转体是由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,求体积.取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕

x轴旋转而成的薄片的体积元素旋转体的体积为思考:

由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,求其体积.取积分变量为x,小曲边梯形绕

y轴旋转而成的体积元素解例6.43求由椭圆围成的图形绕

x轴旋这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆转一周所得旋转体的体积.与x围成的图形绕

x轴旋转而成.所求体积为如果旋转体是由连续曲线及

y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,求体积.