高等数学教程（第4版）课件：极限存在准则与两个重要极限

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准则I(夹挤定理)

则

极限存在准则与两个重要极限

这一节介绍极限存在的两个充分条件,称之为满足:极限存在准则,并用它们证明两个重要的极限.证所以是无穷小，所以由有由有如果数列及满足以下条件:则准则I’(数列夹挤定理)

例2.21求为正整数.

解有由夹挤定理，有练习

求

解由夹挤定理得例2.22求其中.

解有由夹挤定理，有练习证明

证则从而即故而所以第一个重要极限:证于是作单位圆O,作单位圆的切线AC,即由夹挤定理而再由夹挤定理第一个重要极限对于复合函数有其中的非零无穷小.同除以得上式对于也成立.解例2.23求下列极限:

单调增加单调减少单调数列几何解释:准则II

单调有界数列必有极限.如果数列满足:第二个重要极限:

我们利用不等式

从而该数列有极限.证明数列单调增加,并且有上界,(1)数列形式(2)函数形式解解例2.24求

例2.25求

解于是练习

求

令准则II’

如果函数在开区间I

上单调,例2.26求

则在I内每一点的左、右极限都存在.由准则II’,存在.所以令则所以*柯西极限存在准则夹挤定理和单调有界数列必有极限都是数列

极限存在的充分条件,数列

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