工程力学I课件：杆件的变形分析及刚度设计

杆件的变形分析

及刚度设计

9.1拉（压）杆的变形与位移9.2圆轴扭转的变形及刚度计算9.3直梁弯曲变形的积分法和图解法9.4弯曲梁的刚度计算9.5组合变形杆件的位移杆件在受到外力的作用下会发生变形，不同的内力会引起不同的变形，构件受力变形的程度用变形位移来度量。

过大的变形会影响结构或机构的正常使用，例如齿轮轴产生过大的变形会影响齿间的啮合。因此工程上对受力构件的变形有一定的限制。

当然，在一些特定的场合又需要较大的位移，因此计算杆件在不同内力下的变形位移是有实际意义的.9.1拉（压）杆的变形与位移轴向外力的作用下，杆件的内力是轴力，会使杆沿其轴向尺寸伸长或缩短，同时其横向尺寸将缩短或伸长，轴向尺寸的变化称为轴向变形，横向尺寸的变化称为横向变形。

轴向应变横向应变等截面直杆有：

根据胡克定律：杆的抗拉刚度，对于长度相等且受力相同的杆件，其拉伸(压缩)刚度越大则杆件的变形越小。

一、拉伸压缩直杆的变形计算（基本情况）1、有两个以上的外力作用；2、截面形状发生变化3、材料性质发生变化；4、截面尺寸发生变化二、拉伸压缩直杆的变形计算（复杂情况）直杆系一般杆件例9-1对于已知阶梯形直杆受力如图9-2（a）所示，材料的弹性模量，杆各段的横截面面积分别为，要求：(1)作轴力图；(2)计算杆的总伸长量。解:(1)画轴力图。(2)求杆的总伸长量。各段杆的轴向变形分别为:杆的总伸长量为:

例9-2如图所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力F。已知F=30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量E=200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。解:(1)研究节点A，由节点A的平衡条件：解得各杆的轴力为(3)求A点在铅垂方向的位移。分别过AB和AC伸长后的点和作二杆的垂线，相交于点A“，再过点A”作水平线，与过点A的铅垂线交于点,有则点A的铅垂位移为※由此可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量

(2)计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有其中：9.2圆轴扭转的变形及刚度计算工程设计中，对于承受扭转变形的圆轴，除了要求足够的强度外，还要求有足够的刚度，即要求轴在弹性范围内的扭转变形不能超过一定的限度。对某些重要的轴或者传动精度要求较高的轴，均要进行扭转刚度计算。

两个相距的横截面的相对转动的计算公式：对于变截面多段轴，沿轴长受到多个外力偶作用时，可由下式确定两端的相对扭转角：式中Gip：抗扭刚度。为了消除轴的长度对变形的影响，引入单位长度的扭转角:一、圆轴扭转的变形计算

通常将单位长度内的扭转角作为扭转变形指标。单位长度内的扭转角圆轴扭转刚度条件二、圆轴扭转的刚度计算

例9-3

轴AB段是空心轴，内外径之比为，BC段是实心轴，承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料G=80GPa,许用应力,许用单位长度扭转角,试根据强度条件和刚度条件设计空心轴的外径D和实心轴的直径d。解:(1)作扭矩图(2)根据强度条件进行设计AB段BC段(3)根据刚度条件进行设计

AB段BC段为使轴同时满足强度条件和刚度条件，并且一般情况下刚度条件要求更为严格，所以轴的直径应选取较大值，即可取9.3直梁弯曲变形的积分法和图解法一、弯曲变形的挠度和转角图示的右手直角坐标系。当梁在面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。梁的每一个截面不仅发生了线位移，而且还绕中性轴偏转产生了角位移。

w向上为正，向下为负。忽略沿梁轴方向的线位移。

3、转角：横截面绕中性轴的转动角度1、挠曲线：对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为平面xy内的一条曲线。2、挠度w

：横截面的形心沿载荷方向的线位移以逆时针的转角为正，反之为负工程实际中，小变形情形下，有于是可以得到小变形下挠度和转角之间的关系：即，将挠曲线方程对x求一次导数即可以得到转角方程4、挠度与转角的关系各个截面的挠度和转角均是截面形心坐标x的函数，因此有挠曲线方程和转角方程：对于细长梁，根据微积分中函数与曲率之间的关系该式称为梁平面弯曲时挠曲线近似微分方程。实践表明，由此方程求得的挠度和转角，对工程计算来说，已足够精确。

二、

挠曲线的微分方程以及弯矩M的正负符号规定在小变形情况下，有：平面曲线的曲率数学计算：梁的挠曲线近似微分方程可用直接积分的方法求解。将挠曲近似微分方程积分，可得梁的转角方程，再积分一次，即可得梁的挠曲线方程：式中C和D为积分常数，它们可由梁的边界条件或光滑连续条件来确定。三、积分法求梁的位移连续条件边界条件例9-4图示简支梁AB受集中力P作用，试求该梁的挠曲线方程和转角方程。解:(1)求约束反力并列梁的弯矩方程

简支梁的支反力为

按图所示建立坐标系，分两段列出梁的弯矩方程为：

AC段CB段(2)列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分。将和两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。

(3)确定积分常数由于梁的挠曲线应该是一条光滑连续的曲线，因此，在和两段挠曲线的交界截面处，挠曲线应有相同的挠度和转角AC段CB段当时，，即：

有上式可解得：梁在约束、两端的挠度为零当时当时分别带入两段的挠度方程和转角方程，可得：

梁和段的转角方程和挠曲线方程列于下表：AC段CB段

※需要说明的是，光滑条件和连续条件是不同的，如图9-7所示梁，梁与梁在铰接，两段梁在处的挠度相同（满足连续条件），但在处的转角不相同（不满足光滑条件）。

图9-7

四、用叠加法求梁的弯曲变形

在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。

用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。例求图中所示梁跨中点的挠度及A点的转角。已知，梁的抗弯刚度EI为常数。=+

例9-5图示外伸梁，简支段受均布载荷的作用，而外伸段自由端上作用有一集中力，求C截面的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI。

解:分别考虑q和F单独作用外伸梁在集中力作用下，C截面的挠度和转角均布载荷作用下，有9.4弯曲梁的刚度计算对于工程中承受弯曲的构件，除了强度要求以外，常常还有刚度要求，即使梁的最大挠度和最大转角不超过某一规定的限度：式中，和分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中通常以度（。）表示，而许可挠度通常表示为：(L是梁的跨度，机械工程中一般取)。这两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。与拉伸压缩及扭转类似，根据梁的刚度条件可以进行刚度校核、截面设计和确定许用载荷。

解:查型钢表，可得。根据表11-1可知，在F和q作用下，梁产生的最大挠度均位于跨中。

例9-6如图所示简支梁，受载荷与共同作用下发生弯曲变形，已知，截面为36a工字钢，材料弹性模量，试校核梁的刚度。刚度符合要求。9.5组合变形杆件的位移求组合变形杆件的位移，仍遵循小变形、线弹性变形范围和叠加原理适用的原则，将组合变形分解为几个基本变形，分别计算后叠加。根据位移的情况可代数叠加或矢量叠加。弯曲、扭转组合变形杆件的主要内力是扭矩和弯矩，可采用叠加法求其位移。

例题9-7如图所示为一摇臂轴ABC，在自由端受垂直地面的力F作用，已知轴长为，臂长为a，轴的抗弯刚度和抗扭刚度分别为和，臂的抗弯刚度为，求C端的位移。

采用分段刚化法，首先将摇臂BC