工程力学I课件：简单超静定问题

简单超静定问题11.1超静定结构的基本概念11.2拉压超静定问题11.3扭转超静定问题11.4超静定梁11.5温度应力和装配应力未知力数3独立平衡方程数3静定问题未知力数4独立平衡方程数3静不定问题（超静定）11.1超静定结构的基本概念静定结构：全部约束反力和内力均可以通过静力平衡方程求得的结构超静定结构：若无法通过静力平衡方程求出全部约束反力或内力的结构，称之为11.1超静定结构的基本概念虽然在工程实际中，很多复杂结构的约束反力或内力都是无法通过静力平衡方程直接求得的，如何求解是属于结构力学或弹性力学的内容，但是一些简单问题我们依然可以通过已有的材料力学知识加以解决。外力超静定结构支座反力不能全部由静力平衡方程求出内力超静定结构结构内力不能全部由静力平衡方程求出混合超静定结构结构内力不能全部由静力平衡方程求出一、静不定结构的分类二、超静定次数在静定结构上增加的约束称为多余约束，相应的约束力称为多余约束力。为了提高安全度或者是增加结构刚性等，往往需要增加一些额外的约束，这些约束虽然被称为“多余”，但是在工程意义上并非多余。超静定结构的内外约束力总数或者内力数与可列的独立静力平衡方程的个数的差值称为超静定次数。由于存在多余约束力，可列的独立静力平衡方程个数要少于未知量的个数。为求解全部的未知量，还需要建立与超静定次数相等数量的补充方程，11.2拉压超静定问题如图示的三杆桁架，设杆1和杆2的横截面积、杆长、材料均相同，即A1=A2，l1=l2，E1=E2，杆3的横截面积和弹性模量分别为A3和E3，分析在垂直作用载荷F下各杆的轴力。1.静力分析研究A,受力分析,列出平衡方程：存在三个未知力和两个独立的平衡方程，因此是一

次超静定，需要建立一个补充方程。2.几何分析三杆原交于点A，受力作用后，由于结构对称、刚度对称、受力对称，节点A只能沿垂直方向发生位移。考虑结构只发生非常微小的变形，即小变形假设，可以认为杆3的轴向变形杆1和杆2的变形为采用了“以弦代弧”的近似方法。三杆变形后交于一点A'，因此必须满足以下关系：变形协调关系3.物理关系变形协调关系三杆均处于弹性范围内，根据胡克定律，各杆的轴力与其变形之间存在以下关系：

得到以轴力表示的变形协调方程，即补充方程为：(11-7)(11-1)

(11-2)

(11-9)(11-8)为什么刚度越大的杆件所受的力越大？4.求解一般求解拉压超静定问题的基本步骤如下：1)列出静力学平衡方程；2)根据变形与约束应相互协调的要求列出变形几何方程；3)列出物理关系，通常是胡克定律；4)由2)、3)两项得到补充方程；5)联立求解平衡方程和补充方程，得到问题的解答。例11-1如图所示的结构，设横梁AB为刚性杆（没有变形，只存在有刚体位移），杆1、2的横截面积相等，均为A，材料相同，弹性模量均为E，试求杆1，2的内力。解：（1）静力平衡方程本问题有4个未知量，只能列3个独立平衡方程，是一次超静定问题。刚性杆：在力作用下，杆既不伸长也不缩短，如果原来是直线还保持直线。（2）形协调关系杆轴线处于AB'，且为直线，杆1的变形根据“以弦代弧”的方法，杆2的变形由变形几何关系，又因为杆1、2的变形关系：(3)物理关系由胡克定律代入式(d)，得

由式(e)和式(a)解出将上述结果代入式(b)、(c)可解出A

处的约束反力。11.3扭转超静定问题例题11-2如图所示圆轴，AC段为实心圆截面，直径，CB段为空心圆截面，内径。轴两端A、B为固定端，已知材料的剪切模量，求轴两端的约束力偶矩的大小

在实心和空心交界截面C处受外力偶扭转超静定问题限制扭转角，因此变形协调关系是建立在求扭转角的基础上；(1)静力平衡方程去掉轴两端的约束，代之以待求的约束反力偶MA和MB，如图(b)。可大致得到轴的扭矩图如图(c)，且解：1个平衡方程，未知约束力个数为2,

2-1=1，超静定次数为1次。可得平衡方程为(2)变形协调关系解：由于轴两端A、B固定，因此A、B的相对扭转角即变形协调条件为

(3)物理关系根据相对扭转角代入(b)式得代入数据得

解得

(4)联合求解根据式(a)联立(e)、(f)两式，解得11.4超静定梁

在工程中有大量超静定梁结构，例如多跨连续桥梁，水利工程中的钢闸门的主梁都可以视为多跨连续梁，这些都属于多次超静定结构。

在结构力学中有专门的章节讲述多跨连续梁的求解方法，比如力法、位移法、三弯矩方程等，通过已有的一些结构力学求解器，也可以很方便地直接求出多跨连续梁的剪力图和弯矩图。

在本节，我们仅介绍可以用已有的材料力学知识解决的简单超静定梁问题。对于超静定梁的求解，除应建立平衡方程以外，还需要利用变形协调条件以及力与位移之间的物理关系，建立补充方程。这是一个一次超静定梁问题，设想去掉多余约束支座B，相应地在B处施加多余约束力FB，系统的受力不变，如图(b)所示，此时系统变为静定结构，此静定结构称为原超静定结构的相当系统。在图(b)中由于载荷q单独引起的点B的挠度由于集中力FB单独引起的B的挠度根据叠加原理，有

求解，得到多余束力

截面A的束力FB、MA可由静力平衡方程计算得到，进而可以画出梁的剪力图和弯矩图、计算应力、挠度，进行强度和刚度分析。考虑原系统支座B处挠度必定为零，即变形协调条件若以图(c)所示的简支梁为该结构的相当系统，则对应的变形协调条件为。

例题11-3图示的双跨简支梁，受到集中力F作用，求约束反力，并画出剪力图和弯矩图，设梁的抗弯刚度EI为常数。解：(1)相当系统解除约束B，代之以多余未知力，得到相当系统，如图11-7(b)。(2)静力平衡方程研究梁，受力分析列出平衡方程在集中力F、FB单独作用时，截面B的挠度根据表10-1，分别有(3)变形协调条件

原系统中支座B没有垂直方向的位移,因此有根据叠加原理即

（4）绘出梁的剪力图、弯矩图

11.5温度应力和装配应力当温度变化时，杆件的变形为材料的热膨胀系数，其单位为；是杆件的长度。一、温度应力1、温度变形计算由于温度变化引起的杆件内部的应力称为温度应力。静定结构由于可以自由变形，因此，当温度均匀变化时，不会引起构件的内力。超静定结构的热变形由于受到部分或全部约束，不能自由变形，往往就要引起内力。2、温度应力1）拆除约束B，温度变形为2）杆件因为FB作用发生的变形为3）实际上，杆件长度不变，必有变形协调方程温度应力弹性模量碳钢的在我国大部分地区，一年中的最高温度和最低温度大约相差30以上，按照式11-17，超静定结构中的碳钢构件由于温度变化引起的应力变化可达到75MPa！在日常生活中，为了避免过高的温度应力，我们通常在管道中增加伸缩节，在钢轨各段之间留有伸缩缝，以保证削弱对膨胀自由变形的约束，从而降低温度应力。二、装配应力如图杆件名义长度l

,加工误差为

，杆件的实际长度为l

，要将杆件装进距离为l固定支座间，必然要把杆件拉长才能装进去，这将引起杆件内的拉应力，这种应力称为装配应力。装配后，内力引起的变形与加工误差相抵消，可得：工程中有时会有意制造这种加工误差，使杆件在实际受工作载荷之前内部事先存在一定的应力，这种应力常常被称为预应力。加工误差将引起杆件内的拉应力相互抵消杆件环境温度将升高，会引起压应力不利强度安全有利强度安全`在机械、建筑工程中，为了增强连接的可靠性和紧密性，在受到工作载荷之前，预先增加一部分力，使得构件先发生一定的变形，使其内部产生一定的应力，从而防止结构在受到工作载荷后连接件间出现缝隙或者相对滑移，这种预先增加的力，我们称为预紧力。其对构件产生的应力实际上就是装配应力。我国古代建筑工匠中流传这样一句俗话：“紧车铆子邋遢房，桌子板凳手摁上”也是指在工作中容易松动连接部位应该施加预紧力。例题11-4吊桥链条的一节由三根长l的钢杆组成，简化为如图所示的超静定结构，两端约束视为不变形的刚体，若三杆的横截