2025年高考一轮复习 专题04 基本不等式（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）（原卷版）

专题04基本不等式目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一、基本不等式1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2.基本不等式的证明（1）.代数证法（2）.几何证法如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD~△DCB,因而CD=√ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.例已知a,b,c都是正数，证明：证明：二、几个重要不等式1．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三、最值定理(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。利用基本不等式求最值是高考的重点内容，在选择题、填空题中常常出现。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 一、利用基本不等式求最值方法方法1配凑法例1(1)(2022·长沙模拟)设0<x<eq\f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A.eq\f(9,4) B．4C.eq\f(9,2) D．9答案C解析y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时取等号，∴当x＝eq\f(3,4)时，ymax＝eq\f(9,2).(2)若x<eq\f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3答案C解析∵x<eq\f(2,3)，∴3x－2<0，f(x)＝3x－2＋eq\f(9,3x－2)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－3x＋\f(9,2－3x)))＋3≤－2eq\r(2－3x·\f(9,2－3x))＋3＝－3.当且仅当2－3x＝eq\f(9,2－3x)，即x＝－eq\f(1,3)时取“＝”．(3)(2022·天津模拟)函数y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)(x>－1)的最小值为________．答案9解析因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝eq\f([x＋1＋4][x＋1＋1],x＋1)＝eq\f(x＋12＋5x＋1＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2eq\r(x＋1·\f(4,x＋1))＋5＝9，当且仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.方法2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()A．1 B．2C.eq\f(9,4) D.eq\f(9,2)答案C解析因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以eq\f(a＋b,2)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)＝eq\f(1,2)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,2b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,2b)＋\f(5,2)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(5,2)))＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝eq\f(4,3)，b＝eq\f(2,3)时，等号成立．方法3消元法例3(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．答案6解析方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝eq\f(1,3)·x·3y≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝eq\f(9－3y,1＋y)，所以x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq\f(9－3y＋3y1＋y,1＋y)＝eq\f(9＋3y2,1＋y)＝eq\f(31＋y2－61＋y＋12,1＋y)＝3(1＋y)＋eq\f(12,1＋y)－6≥2eq\r(31＋y·\f(12,1＋y))－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝eq\f(12,1＋y)，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解方法一9－xy＝x＋3y≥2eq\r(3xy)，∴9－xy≥2eq\r(3xy)，令eq\r(xy)＝t，∴t>0，∴9－t2≥2eq\r(3)t，即t2＋2eq\r(3)t－9≤0，解得0<t≤eq\r(3)，∴eq\r(xy)≤eq\r(3)，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.方法二∵x＝eq\f(9－3y,1＋y)，∴x·y＝eq\f(9－3y,1＋y)·y＝eq\f(9y－3y2,1＋y)＝eq\f(－3y＋12＋15y＋1－12,y＋1)＝－3(y＋1)－eq\f(12,y＋1)＋15≤－2eq\r(3y＋1·\f(12,y＋1))＋15＝3.当且仅当3(y＋1)＝eq\f(12,y＋1)，即y＝1，x＝3时取等号．∴xy的最大值为3.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．方法4换元法当所求最值的代数式中的变量关系复杂，变形方向难寻我时，可通过换元的方式发现新元的特点，进而利用基本不等式求得最值．例4答案方法5多次应用基本不等式化简求最值连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等哈，则连续使用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当拆分或合并，直到取等号的条件一致.例5答案4提示b+（a-b）=a，[b+(a-b)]2=a2[b+(a